Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Аиалогичным образом из (121,8) находим уравнение верхней части этой линии: у=!1,4ч/3 ВА х~. (121,12) Таким образом, оба слабых разрыва и обе ветви звуковой линии имеют в точке пересечения 0 общую касательную (ось у), причем две ветви звуковой линии лежат по разные стороны оси у. На приходящем разрыве испытывают скачок производные от скорости по координатам. В качестве характерной величины рассмотрим скачок'производной (дт)/дх)„. Имея в виду, что ()„-.: —:! дт1 ~ д(Ч, у) д(Ч, у) тд(х, у) 1 деФ дх)в д(х, у) д(ть О) I д(ч, 0) А двт и воспользовавшись формулами (121,2), (121,5), получим для искомого скачка: ( — Ч) ~ =8( — ) — „, т) ~ 8,56 ВА г~( — у) ч~. (121,13) При приближении к точке пересечения он растет как ( — у)-1Г4. ') С учетом первых поправочных членов (вторые члены в формулах (1213)) уравнение отраженного разрыва; у 13!А!Гзлчз 105ВЛ-ы~х/~.
(121, 10а) 2 \211 ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 686 На отраженном же слабом разрыве производные скорости вообще не испытывают скачка, но распределение скоростей имеет своеобразную логарифмическую особенность. Вычислив из функции (121,3) (сохранив в ней лишь первый член в скобках) координаты х и у в функции от ч, 9, можно представить зависимость ч от х при заданном у вблизи отраженного разрыва в следующем параметрическом виде: ч= — + — — — )уК, !у! «-Те 1 А 21/А!у! 6А х — хо= ! у )з/з~ 5,7 ~1п! ~), ! в)у !чь З„/А нлнь (121,14) где Ц играет роль параметра, а ха — — хе(у) — уравнение линии разрыва в физической плоскости. Заранее очевидно, что экспоненциально близкими к характеристике будут и границы нефизической области на плоскости годографа (ОЬз н ОЬЗ на рис. 126,а), и тем самым будет экспоненциально мала интенсивность ударной волны.
Пренебрегая экспоненциально малыми значениями $ на линиях ОЬВ и ОЬз, мы получим для координат х, у на них те же выражения, которые мы имели на двух сторонах характеристики ОЬ в предыдущем случае. Поэтому условие непрерывности координат на ударной волне во всяком случае приводит к прежнему соотношению (121,5). Соответственно, остается прежним и выражение (121,13) для скачка производной от скорости на падающем разрыве.
Снова приняв, что этому разрыву отвечает верхняя характеристика Оа на плоскости годографа, будем по-прежнему иметь А ) О, так что теперь В = О. Из (121,!3) видно, следовательно, что физическим критерием происхождения двух слу- ') Приинипиальная возможность такого отражения отмечалась ранее Гу. дерлееи (К.
О. биг/ег/еу, 1848). Отражение в виде ударной волны Перейдем к рассмотрению другого случая — отражения слабого разрыва от звуковой линии в виде ударной волны (Л. П. Гаремов, Л. П. Питаевский, 1962) ') . Этот случай возникает, если произведение АВ ( О, Из (121,6) видно, что в этом случае имеется две предельные линии, экспоненциально близкие к характеристике ОЬ: якобиан Л обращается в нуль при )6!- "— 9+ — Чз'з е В 6= ь. (121,15) 2 1 2 1 Ан(2/З)ча !6!! З ! ' 16!В!Чиь' пЛОскОе ТГчение сжнмАемОГО ГАЗА 2ГЛ. ХП чаев отражения слабого разрыва является знак скачка производной скорости на падаюшем разрыве. Остаются прежними (при пренебрежении зкспоненциально малыми поправками) уравнения (121,9 — 10) линий падаюшего (слабого) и отраженного (ударной волны) разрывов.
Но ввиду другого знака постоянной В меняется расположение этих линий на физической плоскости — как это показано на рис. 126,б. 18 «! У ! г а1 — — — йла«ый до врыв — — — звуковая линия 3йарнвя волна Рис. !26 '~в Ьз~з (121,16) выбор знака при извлечении корня определяется тем, что одновременно с уменьшением скорости газа при его прохождении через ударную волну должно происходить приближение линий тока к поверхности разрыва. В соответствии с (121,15) ишем уравнения линий ОЬз и ОЬз в плоскости годографа в виде 6 т — Г1згз= аьз101е е, 8+ — 111!1= — аьз! 01е-е 2 12 Для определения интенсивности ударной волны (т. е.
скачков величин 60 и 611 на ней) надо обратиться к полной системе граничных условий, которым должно удовлетворять на ударной волне решение уравнения Эйлера — Трикоми. Они были сформулированы уже в 0 120: условия (!20,9 — 11). Из них последнее, уравнение ударной поляры, принимает вид (60)з=з1(621)з, где 68=0ьз — 8ьз, 611 =11ьз — 11ьз — экспоненциально малые скачки величин на ударной волне (индексы Ь2 н ЬЗ относятся к линиям ОЬз и ОЬз на плоскости годографа, т.
е. соответственно к передней и задней сторонам ударной волны на физической плоскости). Отсюда А Ин отРАжение слАБОГО РАзРыВА От 3ВукОВОЙ линии 637 где а»2 и аьз — положительные числа. Согласно (121,16) б(0+ 7221222) =бО+ т/т( Оп=260. Искомые скачки 00 и 021 даются поэтому следующими выражениями: ОО=а л ~ е Оп=о(з) (л) е-е (121,17) Ая (213) Уз У А кя 7ЛТ»2 ы~п( 1.») ' !н(»'"' где а=(а»2+ аьз)/2; переменные 21, О выражены через координаты на физической плоскости согласно х — — АО, у ж — Ат(. Определение коэффициента а требуетучета также и всех остальных граничных услоний, причем в них должны учитываться члены как линейные, так и квадратичные по экспоненциально малой величине ехр( — 2О).
не приводя этих довольно громоздких вычислений, укажем лишь их результат: а»2 — — а,а = а =5,2, ГЛАВА ХШ ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ф 122. Образование ударных воли при сверхзвуковом обтекании тел Простые соображения показывают, что при обтекании произвольного тела сверхзвуковым потоком перед телом возникает ударная волна. Действительно, в сверхзвуковом потоке возмущения, обусловленные наличием обтекаемого тела, распространяются только вниз по течению. Поэтому натекающий на тело однородный сверхзвуковой поток должен был бы доходить до самого переднего конца тела невозмущенным.
Но тогда на поверхности этого конца нормальная компонента скорости газа была бы отличной от нуля в противоречии с необходимым граничным условием. Выходом из этого положения может являться только возникновение ударной волны, в результате чего движение газа между нею и передним концом тела становится дозвуковым. Таким образом, при сверхзвуковом обтекании тела перед ним возникает «О' ударная волна; ее называют головной, При обтекании тела с тупым передним концом эта волна не соприкасается с самим телом.
Спереди от ударной волны поток однороден, а позади нее а) движение меняется, и поток огибает обтекаемое тело (рнс. 127,а). Поверхность ударной волны уходит на бесконечность, причем вдали от тела, где интенсивность волны мала, она пересекает направление набегающего потока под углом, близким к углу Маха. Характерной чертой обтекания тела с тупым концом является существование дозвуковой области течения за ударной волной — позади наиболее выдающейся вперед части ее поверхности; эта область простирается до обтекаемого тела и, таким образом, ограничена поверхностью разрыва, поверхностью тела н «боковой» звуковой поверхностью (пунктирные линии на рис. 127,а). Ударная волна может соприкасаться с телом только если его передний конец заострен.
Тогда поверхность разрыва тоже обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела '(рис, !27, б); при несимметричном обтекании часть этой поверх- г) Рис. 127 ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 1 !221 ности может являться поверхностью слабого разрыва. Для тела заданной формы такой режим обтекания оказывается, однако, возможным лишь прн скоростях, превышающих определенный предел; при меньших скоростях ударная волна отрывается от носика тела, несмотря на налачие острия (см. $ 113), Рассмотрим осесимметричное сверхзвуковое обтекание тела вращения и определим давление на переднем закругленном конце тела (в точке остановки — точка О на рис.
127,а). Из соображений симметрии очевидно, что линия тока, заканчивающаяся в точке О, пересекает ударную волну в нормальном к ней направлении, так что в точке А нормальная к поверхности разрыва компонента скорости совпадает с полной скоростью. Значения величин в набегающем потоке отмечаем, как обычно, индексом 1, а значения величин в точке А на задней стороне ударной волны — индексом 2. Последние определяются по формулам (89,6 — 7) в виде р, = ! ' ~2уМ! — (у — 1)~, 2+ (у — 1) М2 (у+ 1) М2 п,=с, РЗ=Р! (у+ 1) М! " 2+ (у — 1) М2! Давление ра в точке О (в которой скорость газа о = О) можно получить теперь с помощью формул, определяющих изменение величин вдоль линии тока.
Имеем (см. задачу к й 83) ! У вЂ” 1 Р 2 -! 2 Ч! РА=Р2 1 +— 2 22 и простое вычисление приводит к следующему результату; у+! ! УУ+(ХУ-! 2Г У вЂ” 1Ч Рд =Р! ~ — ) М! у — — . (122!) 2 ~ 2М2! Этим и определяется давление на переднем конце тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком (М! ) !).
Для сравнения приведем формулу для давления в точке остановки, которое получилось бы в результате непрерывного аднабатического торможения газа без ударной волны (как это было бы при дозвуковом обтекании): Ро = Р! (1 + — 2 — М!) (122,2) При М! = 1 обв формулы дают одинаковое значение рз, а прн ОБТЕКАНИЕ КОНГЧНЫХ ТЕЛ 1ГЛ. Х111 У+! т 1 т — 1 2 Ре=Р! ( 2 ) 'т' М1, (122,3) т. е. давление Рэ пропорционально квадрату скорости обтекания.
Е1а основании этого результата можно сделать заключение о том, что и полная испытываемая телом сила сопротивления при скоростях, больших по сравнению со скоростью звука, пропорциональна квадрату скорости. Обращаем внимание на то, что этот закон — такой же, по которому меняется сила сопротивления при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, но настолько больших, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико (см. 2 45). Помимо самого факта необходимости возникновения ударных волн, можно еще утверждать, что при сверхзвуковом обтекании конечного тела на больших расстояниях от него во всяком случае должны иметься две следующие друг за другом ударные волны (Л.
Ландау, 1945). Действительно, на больших расстояниях от тела вызываемые им возмущения слабы и поэтому их можно рассматривать как цилиндрическую звуковую волну, расходящуюся от оси х, проходящей через тело параллельно направлению обтекания; рассматривая, как это мы везде делаем, движение в той системе координат, в которой тело покоится, мы будем иметь волну, в которой роль времени играет х/о1, а роль скорости распространения оп/~М! — 1 (см. ниже 2 123).
Поэтому мы можем непосредственно применить результаты, полученные в () 102 для цилиндрической волны на больших расстояниях от источника. Таким образом, мы приходим к следующей картине ударных волн на далеком расстоянии от тела: в первой ударной волне давление испытывает скачок вверх, так что за ией возникает сгущение; затем давление постепенно убывает, сгущение сменяется разрежением, после чего давление вновь возра- ~) Это утверждение имеет обшнй характер н нс связано с предполагаемой в (!22,1-2) полигропностью газа (н даже с его термодинамнческой идеальностью). Действительно, прн наличии ударной волны энтропия газа в точке О зч ) зь между тем как в ее отсутствие энтропия была бы равна зь 21 Тепловая же функция в обоих случаях равна шэ — — ш1+ е1/2, так как при пересечении линией тока прямого скачка уплотнения величина в+ ох/2 ие меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
