Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Введем новые безразмерные переменные согласно х = 1х, у =, у, гр = — „гр (х, ()) (126,6) 1 РЕ'" (Вгг,)п~ в~~~ (мы ввели угол 6 = 6/1, характеризующий «угол раствора» тела или угол атаки). Тогда мы получим уравнение дх дх' ду (см. определение потенциала гр согласно (114,9)). На профиле же скорость должна быть направлена по касательной к нему: р„дв ду б, /х~ х рх ду дх Т 1.г/* ОБТЕКАНИЯ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ 1гл.
хгн с граничными условиями ==К, == — О на о, ==)(х) дф дф дф дх ' ду ду при у=О, где м,— ! К=— (о 8)Фз ' (126,7) Коэффициенты силы сопротивления и подъемной силы опреде- ляются интегралами по контуру профиля: 1Г дг ! Х. и, следовательно, являются функциями вида ') бз)з анз С„= — „, ),(7(), С„= — „, 7„(К). (126,8) Срвершенно аналогичным образом можно получить закон подобия для трехмерного обтекания тонкого тела, форма которого задается уравнениями вида У=8|,( !), К=8|, ( —;) (126,9) е двумя параметрами б и 1(б «1). Существенное отличие от плоского случая связано с тем, что потенциал имеет при у-+-О, 2) Область применимости этих формул определяется неравенством 1М, — 11 ~ 1.
Линеарнзоваииой же теории соответствуют большие значения 7(, т. е. 1 Мс — 11 ~ 82тз. В области 1 .н Мт — 1 Ф 8™ формулы (126,8) лолжиы, следовательно, переходить в формулы (125,6 — 8) линеаризованноа теории. Это знзчит, что прн больших )1 функции ) и )т должны быть пропорциональны К-ы'.
Эти условия содержат лишь один параметр: )г. Таким образом, мы получилн искомый закон подобия: плоские околозвуковые течения с одинаковыми значениями числа К подобны, как это устанавливается формулами (126,6) (С. В. Фалысович, 1947). Обратим внимание на то, что в выражение (126,7) входит также и единственный параметр я„характеризующий свойства самого газа. Поэтому полученное правило определяет также и подобие по изменению рода газа. В условиях рассматриваемого приближения давление определяется формулой Р Р2 Р!и! (Ох и!) Вычисление с помощью выражений (126,6) показывает, что коэффициент давления на профиль будет функцией вида 82!3 '2Р! ! ГИПЕРЗВУКОВОП ЗАКОН ПОДОВИЯ г- О логарифмическую особенность (см., например, формулы обтекания тонкого конуса в 0 113). Поэтому граничное условие на оси х должно определять не сами производные с)!р/ду, д!р/дг, а остающиеся конечными произведения: о дэ ВУ дв дг у — =у —, г — =г —.
ду Вк' да Ык' Легко убедиться в том, что преобразованием подобия в этом случае является (снова вводим угол О = 6/1) х = 1х. У = !!т У. г = †г, <Р = 10тф, (126,10) Ф причем параметр подобия 0та (126,11) (Т. Кпгтал, 1947). Для коэффициента давления на поверхность тела получим выражение вида Ср О Р (К х/1) а для коэффициента силы сопротивления соответственно') С„= 0'/ (К).
(126,12) Все полученные формулы относятся, конечно, как к малым положительным, так н к малым отрицательным значениям М,— 1. Если в точности М, = 1, то параметр подобия К = О н функции в формулах (126,8) и (126,!2) сводятся к постоянным, так что эти формулы полностью определяют зависимость С„и С„от угла О и свойств газа я,. й 127, Гиперзвуковой закон подобия Для обтекания тонких заостренных тел с большими сверхзвуковыми скоростями (большие М,) лииеаризованная теория неприменима, как это уже было упомянуто в конце 2 114. Поэтому представляет особый интерес простое правило подобия, которое можно установить для таких течений (их называют гилерзвуковоыси). Возникающие при таком обтекании ударные волны наклонены к направлению движения под малым углом — порядка величины отношения 0 =6/! толщины тела к его длине.
Этн волны, вообще говоря, искривлены и в то же время обладают большой интенсивностью — хотя скачок скорости на них относительно мал, но скачок давления (а с ним н энтропии) велик. Поэтому течение газа в общем случае отнюдь не является потенциальным, ') В области ! а М1 — ! а 0' должна получаться формула (!23,7) лннеаризоаанной теории, согласно которой С„ 0"; это значит, что при увеличении К функция )(К) должна стремнтьси к постоянной, оптнкднин коипчных тнл )гл, хгн (127,1) (127,2) причем изменение давления может быть даже (при М,О » 1) сколь угодно большим (ср. задачу 2 $112). Звуковая аналогия относится, очевидно, только к двухмерной задаче о движении в плоскости у, г, перпендикулярной направлению натекающего потока.
В этой двухмерной задаче линейная скорость источника звука — порядка величины п,О; кроме нее в задачу входят в качестве независимых параметров еще только скорость звука с~ и размеры источника б (и параметр плотности р,)'). Из них можно составить всего одну без- ') Мы имеем в виду, коне ено, не только уравнения лвиження газа, но и граничные условия к ним на поверхности тела и условия, которые должны выполняться иа ударных волнах. Газ предполагается политропным, так что его газодаиамическне свойства зависят только от безразмерного параметра у; получаемое ниже правило подобия не определяет, однако, характера зависимосун течения от этого параметра. Следует отметить, что прн обтекании с М~ ль 1 газ сильно нагревается, в результате чего могут сумествснно измениться его термодинамические свойства.
Поэтому количественный смысл формул для полнтропного газа (т. е. в предположении постоянства его теплоемьости) для гнперзвуковых скоростей фактически огрзничеж Будем считать, что число М~ — порядка величины 1/О или больше. Ударная волна понижает значение местного числа М, но оно во всяком случае остается порядка величины 1/О (ср. задачу 2 й 112), так что число М велико во всем пространстве.
Воспользуемся указанной в $ 123 «звуковой аналогисйхч трехмерная задача о стационарном обтекании тонкого тела с переменным сечением 5(к) эквивалентна нестационарной двухмерной задаче об излучении звуковых волн контуром, площадь которого меняется со временем по закону 5(п,у); роль скорости звука играет прн этом величина п,(М, — 1) '' или при больших М, просто сь Подчеркнем, что единственное условие, обеспечива1ощее эквивалентность обеих задач, заключается в малости отношения 6/1, что дает возможность рассматривать небольшие вдоль длины тела кольцевые участки его поверхности как цилиндрические.
При больших Мь однако, скорость распространения излучаемых волн сравнима по величине со скоростью частиц газа в них (ср. конец 5 123), и потому задача должна решаться на основе точных, нелинеаризованных уравнений. Возмущение скорости (по сравнению со скоростью у~ натекающего потока) мало уже при всяком сверхзвуковом обтекании тонкого заостренного тела. При гиперзвуковом обтекании дополнительно еще возмущение продольной скорости мало по сравнению с возникающими поперечными скоростями: пд ох пФ пх о~ пФ Изменения же давления и плотности отнюдь не малы: ГИПНРЗВУКОПОИ ЗАКОН ПОЛОНИЯ 4 ю71 размерную комбинацию К=М~О, (127,3) которая и является критерием подобия ').
В качестве масштабов длины для координат у, г и масштаба времени надо при этом взять величины соответствующей размерности, составленные из тех же параметров, например, б и б/о1О = 1/о,; естественным же параметром для координаты х является длина тела й Тогда можно утверждать, что о = о,бо'„, и, = о,йо',, р = р,о';Озр', р = р,р', (127,4) где о„', о,', р', р' — функции безразмерных переменных х/й о/б, г/б и параметра К; при этом в виду (127, 1 — 2) можно утверждать, что эти функции — порядка единицы з). Сила сопротивления Р„вычисляется как интеграл Р„= $ р с(у Ыг, взятый по всей поверхности тела (в силу граничного условия О =О, ЧЛЕН Оз(УП) В ПЛОтНОСтИ ПОтОКа ИМПУЛЬСа ОбРаЩаЕтСЯ в нуль на поверхности тела; и — нормаль к этой поверхности).
Перейдя к безразмерным переменным согласно (127;4), получим коэффициент сопротивления С„ (определенный согласно (123,6)) в виде Сз=2О'$р'Ну'Н . Оставшийся интеграл — функция безразмерного параметра К Таким образом, С„= О4( (К). (127,5) Такой же самый закон подобия получается, очевидно, и в плоском случае — для обтекания тонкого крыла бесконечной протяженности. Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы получаются при этом формулы вида С„= ОЧ„(К), С„= Озр„(К). (127,6) При примсненин законов (127,6 — 6) следует помнить, что подобие течений предполагает, что форма, размеры и ориентация ') Если не предполагать М, большим, то получилось бы правило подобия с параметром К =9 Ч/ М, — 1.
Оно, однако, не представляет интереса, поскольку прн небольших М линеарнэовзниая теория в действительности полностью определяет зависнчость всех величин от этого параметра. ») Закон подобия для гиперзвукового обтекания сформулирован Нянь Сюэ-с»нем (Н. Я. ГэГен, 1946). Его связь со «звуковой анзлогней», распрострзненной иа нелинейную задачу, указана Хейзом (И'.
1У. Нарез, 1947); в спепнальной литературе эту аналогию называют «поршневой». ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ !Гл. х!н обтекаемых тел относительно натекающего потока получаются друг из друга только изменением масштаба 6 вдоль осей у, г и масштаба 1 вдоль оси к. Это значит, в частности, что если отличен от нуля угол атаки сс, то для подобных конфигураций отношение сс/О должно быть одинаковым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
