Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Из уравнений движения гйч ч' = О, — + (чч) ч' — — (Гр' дч' ! д< р (под ч и р подразумеваются чь р» или че, рз) получаем, как и в 9 29, уравнение бр'=О. (2) На поверхности разрыва (т.е. при х яч О) должны выполняться следующие условия: условие непрерывности давления Р» =Рв условие непрерывности касательной к поверхности компоненты скорости дь д( а! +в! — =ая +ая ду " ду (где Ь(у, <) — малое смешение поверхности разрыва вдоль оси х прн возмущении) и условие неизменности нормальной скорости газа относительно разрыва о — — = ез„— — = О.
дь дь д< д< (б) В области х ( О (исходный газ 1) решение уравнений (1) и (2) пишем в виде ,1 <аз+ах-»щ <,1 за+~я-м»~ / Йа»»яч+ех»н» р! Ар, »ч — — о»д» е / В области же х) О (газ 2, продукты горения) наряду с решением вида сапате<" " " должно быть учтено еще и другое частное решение уравнений (!) и (2), в котором зависимость величии от у н < определяется тем же множителем в " . Это решение получатся, если положить р' = О; »а -»щ тогда в уравнении Эйлера правая часть исчезает, а остающееся однородное уравнение имеет решение, в котором Йа е, а са ехр ~<ау — <ы< + — х~. з и а Причина, по которой зто решение должно быть учтено только для газа 2, а не для газа 1, заключается в том, что нашей конечной целью является определение возможности существования таких частот ы, у которых мнимая часть положительна; ио для таких ы миожятель е неограниченно воз»ня<я растал бы с (х( при х ° О, и потому в области газа ! такое решение должно мндлпнноп гопнмип $!Щ быть отброшено.
Подбирая опять соответствующим образом постоянные коэффициенты, ищем решение при х О в виде пх. е В гэя-эх-!н! ° С иэ-гэг-!-!эх!э, + в ох — — — где Ыэ-ь — эж гэ - зак- !эг+!яхтах — — Се хэ йэ! (у) уэ — Врэ !хо!+ — г! е !' !ы '! гээ-ах-аэ! Положив также рег~а-гэг (8) где й = — ож Если о, ) ох, то это уравнение имеет либо дза отрицательных вещественных кориа, лабо два комплексно сопряженных корня с )(ей ( О; в этом случае движение устойчиво.
Если же о, ( о! (я соответственно рг,э рх), то оба корня уравнения (9) вещественны, причем один из них подожителен: (где (х р!/рх), так что движение неустойчиво; именно этот случай имеет место для фронта горения, поскольку плотность рх его продунтов всегда меньше плотности о! исходного газа в связи со значительным нагреванием.
Отметим, что 1ш й = О; это значит, что возмущения не распространяются вдоль фронта и усиливаются как стоячие волны. Неустойчивость имеет место для возмущений со всеми длинами воли, при!ем иикремеит усиления растет с й (следует, однако, помнить, что исследование, в котором фронт рассматривается как геометрическая поверхность, относится лишь к возмущениям, длина волны которых велина по сравнению с б: йб ~ 1). При заданном й инкремеит возрастает с увеличением р. 2.
На поверхности лгидкости проискодит горение, причем самая реакция происходит в испаряющемся с поверкности парс'). Определить условие устойчивости такого режима горения с учетом влияния поля тяжести и капиллярных снл (Л. Д. Ландау, !944). Р еш си не. Рассматриваем зону горения в паре вблязи поверкиости жидности как поверхность разрыва, ио приписываем теперь этой поверхности поверхностное натяжение а. Дальнейшие вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 1 с той лишь разницей, что вместо граничного усло.
вия (3) имеем теперь дхь Р! — Рэ — а — + (Р! — Рэ) юь ду! ') Движение. описываемое формулами (6), потенциально; для движения же, описываемого формулами (7), го(чэнь О. Таким образом, дви!кение продуктов гореияя за возмущенным фронтом оказывается завикрениым. ! Речь идет о реакции, происходящей в самом веществе пара, без участия иакик-либо посторонних компонент (например, кислорода воздуха), т.е.
о реакции самопроизвольного разложении. к подставив все полученные выражения в условия (3) — (5), получим четыре однороднык уравнения для коэффициентов А, В, С, 0'). Простое вычисление приводит к следующему условию совместности этих уравнеиик (прн вычислении следует помнить, что ! мэ р,о! = рхо!): й! (в, + о,) + 2ййо,о, + лги!о, (о! — и,) О, (9) ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ )ГЛ. ХЮ бто (средой 1 является жидкость, а средой 2 — сгоревшвй газ). Условия же (4) и (5) ие меняются.
Вместо уравнения (9) получаем теперь (аз(е, + а,) + аде,пе+ ) йе(е, — ей+ Ей (Р2 — рт) + а(г' ) 21 Псег — — О. 1 Условие устейчавести рассматриваемого режима заключается в требовании, чтобы корин этого уравнения имели отрицательную вещественную часть, т. е. свободный член уравнения должен быть положительным при произвольном 4.
Это требование приводит к условию устойчивости: 2 2 4пйр~рз 1ч,С Р1 — Рз Поскольку плотность газообразных продуктов горения мала по сравнению с плотностью жидкости (р1 л ра), те это условие фактически сводитса к неравенству 1 < 4оаР,Р: 3. Определить распределение температуры в газе перед плоским фронтом пламени. Решение. В системе координат, движущейся вместе с фронтам, распределение температуры стациеиарно, а газ движется со скоростью -еь Уравнение теплопроведиостн и'Т л'2Т тЧТ= — е,— Х— и'Х лат имеет решение Т Тее-еда где Те — температура иа фронте пламени, отсчитываемая от температуры вдали от неге. $ )29. Детонация В описанном выше режиме медленного горения его распространение по газу обусловливается нагреванием, происходящим путем непосредственной передачи тепла от горящего к еще не воспламенившемуся газу.
Наряду с таким возможен и совсем иной механизм распространения горения, связанный с ударными волнами. Ударная волна вызывает при своем прохождении нагревание газа — температура газа позади волны выше, чем впереди нее, Если интенсивность ударной волны достаточно велика, то вызываемое ею повышение температуры может оказаться'достаточным для того, чтобы в газе могло начаться горение. Ударная волна при своем движении будет тогда как бы поджигать газовую смесь, т, е.
горение будет 'распространяться со скоростью, равной скорости волны, — гораздо быстрее, чем дри обычном горении, Такой механизм распространения горения называют детонацией. Когда через некоторое место газа проходит ударная волна, в этом месте начинается реакция, после чего она будет продолжаться здесь до тех пор, пока не сгорит весь газ в этом месте, датонация й 1гв1 т е, в течение некоторого характерного для кинетики данной реакции времени т').
Поэтому ясно, что за ударной волной будет следовать передвигающийся вместе с нею слой, в котором и происходит горение, причем толщина этого слоя равна произведению скорости распространения волны на время т. Существенно, что она не зависит от размеров тел, фигурирующих в данной конкретной задаче. Поэтому при достаточно больших характерных размерах задачи можно рассматривать ударную волну вместе со следующей за ней областью горения как одну поверхность разрыва, отделяющую сгоревший газ от несгоревшего.
О такой «поверхности разрыва» мы будем говорить как о детониционной волне. На детонационной волне должны выполняться условия непрерывности плотностей потоков массы, энергии и импульса и остаются справедливыми все выведенные ранее для ударных волн соотношения (85,!в 10), являющиеся следствием одних только этих условий. Остается, в частности, справедливым уравнение игг твг + У~+ Уг 2 (Рг — Р!) =О (129,1) Рис. 132 ') Это ирами, однако, само аависнт от интенсивности ударной волны: оно быстро убывает с ростом интенсивности волны в саван с увеличением скорости протекании реакции нри вовышснин темиературы, (буквы с индексом 1 будут везде относиться к исходному, несгоревшему, газу, а с индексом 2 — к продуктам горения).
Кривую зависимости рг от 1'г, определяемую этим уравнением, будем называть детонационной адиабатой. В противоположность рассматривавшейся ранее ударной адиабате эта кривая не проходит через исходную заданную точку Рь Уь Свойство ударной адиабаты проходить через эту точку было связано с тем, что в, и шг были одинаковыми функциями соответственно от Рь Уг и рш Уг, что теперь ввиду химического различия обоих газов пе имеет места. На рнс. 132 сплошной линией изображена детонационная адиабата.
Через точку рь У1 проведена пунктиром в качестве вспомогательной кривой обычная ударная адиабата для исходной горючей смеси. Детонациониая адиабата всегда расположена над ударной в связи с тем„что при горении развивается высокая температура и давление газа увеличивается по сравнению с тем, которое имел бы несгоревший газ при том же удельном объеме. ГИДРОДИНАМИКА ГОРЕНИЯ в72 !Гл хгп Для плотности потока вещества имеет место прежняя формула (85,6) (129,2) так что графически — !' есть по-прежнему тангенс угла наклона к оси абсцисс хорды, проведенной из точки рь У, в произвольную точку р,, У, детонационной адиабаты (например, хорда ас на рис. 132).
Из чертежа сразу видно, что !е не может быть меньше значения, соответствующего наклону касательной аО. Поток ! представляет собой не что нное, как количество сгорающего в единицу времени вещества (отнесенное к ! сме поверхности детонационной волны); мы видим, что при детонации это количество не может быть меньше определенного предела ! ы (зависящего от начального состояния исходного газа). Формула (129,2) является следствием одних лишь условий непрерывности потоков массы и импульса. Поэтому уравнение (129,2) справедливо (при заданном исходном состоянии газа) не только для окончательного состояния продуктов горения, но и для всех промежуточных состояний, в которых выделилась еще лишь часть энергии реакции'). Другими словами, давление р и удельный объем У вещества во всех этих состояниях связаны друг с другом линейным соотношением р=!ч+!е(у — у) (129,3) которое графически изображается точками хорды ас! (В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
