Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 137
Текст из файла (страница 137)
В этом случае получаем для скоростей следующие простые формулы: о,= ~/2(у,'— 1)д, о, — О2= + . (129,!4) З (У2 - !) Ч У1и! р! у! — ! с17, (у +!)с2 (129,15) !1 У2+! Сравнив формулы (129,15) с аналогичными формулами (128,5) для медленного горения, можно отметить, что в предельном случае д )) си,Т, отношение температур продуктов горения, которые они приняли бы соответственно после медленного Термодинамическое же состояние продуктов горения определяет- ся формулами РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 4 1301 б77 горения и после детонации, равно таю 2тт 2 Уз Г~'в у +1 Это отношение всегда больше единицы (так как всегда у, )!)'.
Задача Определить термодннамнческне величины газа непосредственно за ударной волной, являющейся передкам фронтом сальной детонацнонной волны, соответствующей точке Чепмена — Жуге. Р еш е н не. Непосредственно за ударной волной имеется еше несгоревшая газовая смесь, н ее состоянне изображается точкой е пересечения продолження касательной аО (рнс. 132) с нзображенной пунктнром ударной адкабатой газа й Обозначая коордннаты этой точки посредством рн )'о имеем, с одной стороны, согласна уравнению (89,1) ударной аднабаты газа 1: Р1 (71 + 1) Р~ + (21 — 1) Р1 (т, — 1)Р, +(т, +1) Р', н, с другой стороны, т Р~ — Р~ 1г,' 2 Взяв для о, значение нз (129,14), получнм: 4 (тт — 1) Р~ Р~ т,— 1 Ст,' 4 4 (тз — 1) у,=— с„~ (у~ + 1) У! 1 т~+ 1 Отношение давлении Р, н давлению ре позадн детонацнонпой волны равно Р~ Ут+ 1 — = 2 —. Рг %+1 й (ЗО.
Распространение детонационной волны Рассмотрим теперь несколько конкретных случаев распространения детонационных волн в газе, который первоначально покоился. Начнем с детонации в газе, находящемся в трубе, один из концов которой (х=б) закрыт. Граничные условия в этом случае требуют равенства нулю скорости газа как впереди детонационной волны (детонационная волна не влияет на состояние газа, находящегося перед не1о), так и на закрытом конце трубы, Поскольку при прохождении детонационной волны газ приобретает отличную от нуля скорость, то в пространстве между волной и закрытым концом трубы должно происходить паление его скорости.
Для того чтобы определить возникающую прн этом картину движения газа, замечаем, что в рассматриваемой задаче нет никаких параметров длины, которые бы харак. игл. х~ч птв гндэодннхмикх гоенния теризовали условия движения вдоль длины трубы (оси х), Мы видели в $ 99, что в таком случае изменение скорости газа может произойти либо в ударной волне (разделяющей две области постоянной скорости), либо в автомодельной волне разрежения. Предположим сначала, что детонацнонная волна не соответствует точке Чепмена — Жуге, Тогда скорость ее распространения относительно остающегося за нею газа оэ ( сэ.
Легко видеть, что в таком случае за детонацнопной волной не могут следовать пи ударная волна, нн слабый разрыв (передний фронт волны разрежения). Действительно первая должна перемещаться относительно находящегося перед цею газа со скоростью, превышающей сь а второй — со скоростью, равной сэ, в обоих случаях они перегоняли бы детонационную волну. Таким образом, при сделанном предположении оказывается невозможным уменьшить скорость движущегося за детонацнонной волной газа, т. е. невозможно удовлетворить граничному условию прн х = О. Удовлетворить этому условию можно лишь с детонационной волной, соответствующей точке Чепмена — Жуге.
В этом случае пэ = сэ, и за детонационной волной может следовать волка разрежения Возникнув в точке х = 0 одповременно с началом детонации, волна разрежения будет иметь передний фронт совпадающим с де-' тонационной волной. Таким образом, мы приходим к существенному результату, что детонацнонная волна, распространяющаяся по трубе в подожженном у ее закрытого конца газе, должна соответствовать точке Чепмена — Жуге.
Она движется относи~э "~ ~ тельно находящегося непосредственно за нею э) газа со скоростью, равной местной скорости зву- ка. От самой детонационной волны начинается Ряс область волны разрежения, в которой скорость газа (отпосительно трубы) монотонно падает до нуля. Точка, в которой скорость впервые обращается в нуль, является слабым разрывом. Позади слабого разрыва газ неподвижен (рис.133,а). Рассмотрим теперь детонационную волну, распространяющуюся по трубе от открытого ее конца. Давление газа, находящегося перед детонационной волной, должно быть равно первоначальному давлению исходного газа, совпадающему, очевидно, с внешним давлением.
Ясно, что и в этом случае где-то позади детонацнонной волны должно происходить падение скорости. Если бы на всем протяженииот началатрубы до волны скорость газа была постоянной, то это значило бы, что на открытом конце трубы происходит засасывание газа извне; между тем давление газа в трубе было бы выше внешнего (так как за детонацнонпой волной давление выше, чем перед нею), и потому такое засасыва- Э !зо! рдспоостваненпг лгтонацноннои волны ние невозможно, По таким же причинам, как и в предыдущем случае, детонационная волна должна соответствовать точке Чепмена — Жуге.
В результате получается картина движения, схематически изображенная на рис. 133,б. Непосредственно эа детонационной волной начинается область автомодельной волны разрежения, в которой скорость монотонно падает по направлению к началу трубы, причем меняет в некоторой точке знак. Это значит, что в некотором начальном участке трубы газ будет двигаться в направлении к открытому концу трубы, из которого и будет вытекать наружу; выходная скорость этого вытекания равна местному значению скорости звука„ а выходное давление превышает внешнее (мы видели в $97, что такой режим вытекания возможен) ').
Рассмотрим, далее, важный случай сферической детонациоииой волны, расходящейся от точки начального воспламенения газа как нз центра (Я. Б Зельдович, !942). Поскольку газ должен быть неподвижным как впереди детонациоиной волны, так и вблизи центра, то и здесь скорость газа должна падать по направлению от волны к центру.
Как и в случае движения в трубе, здесь также нет никаких заданных характерных параметров размерности длины. Поэтому возникающее движение газа должно быть автомодельным, с той разницей, что роль координаты к играет теперь расстояние г от центра; таким образом, все величины должны быть функциями только отношения г/! '). Для центрально-симметричного движения (о, = о(г, !). о„= = ив=О) уравнения движения имеют следующий вид. Уравнение непрерывности: — + — + — =О; др д !ор) 2пр дт дг г уравнение Эйлера дв до ! др — +а — = — —— д! дг р дг и уравнение сохранения энтропии дз дз — + и — =О. д! дг Вводя переменную й = г/гЦ ) О) и считая, что все величины являются функциями только от $, получим следующую систему ') Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми может сопровождаться распространение детонапнонной волны.
Как н в случае медленного горения, зтн потери могут сделать распространение детонапии невозможным. При детонации в трубе источником потерь являются в первую очередь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря трепню, ') Безразмерную авточодельпую переменную в втой задаче можно определить как гд 1/д, где характерный постоянный параметр Ч вЂ” теплота рсак-. ппи иа единицу массы.
1гл. х|о гидоодинамикх гояаиия уравнений: $ — о) — =о + —, р', 2о (130,1) ($ — о) о'= Р Р (5 — о) з' = 0 (130,2) (130,33 (' означает дифференцирование по $). Положить здесь о=', нельзя, так как это противоречит первому уравнению. Поэтому из третьего сразу имеем з' = О, т. е. з = сопз!. написать р'=с'р', и Имея в виду постоянство энтропии, можем уравнение (130,2) приобретает вид (5 — о) о' = со— Р ' Подставив сюда р'/р из (!30,!), получаем шение: (130,4) следующее соотно- ~ (Х вЂ” о)' 1, 2о (130,5) Уравнения (130,4) и (130,5) ие могут быть проинтегрированы в аналитическом виде, но свойства их решения могут быть исследованы. Область, в которой газ соверц1ает движение рассматриваемого типа, ограничена, как мы увидим ниже, двумя сферами, иэ которых наружная представляет собой поверхность самой детонационпой волны, а внутренняя является поверхностью слабого разрыва, причем скорость обращается на ней в нуль.
Изучим прежде всего свойства решения вблизи точки, где и обращается в нуль, Легко видеть, что в точке, где о = О, непременно должно быть одновременно $ = с: о=О, 5=с, (130,5) Действительно, при стремлении о к пулю 1п о стремится к — оо; поэтому, когда 5, уменьшаясь, стремится к значению, соответствующему внутренней границе рассматриваемой области, производная и'!нофа должна стремиться к +со, Между тем иэ (130,5) имеем при о =0 о'1оо 2 ~1$ й Я'/о' — 1) ' Это выражение может стремиться к +оо лишь при 5- с.
В самом начале координат радиальная скорость должна обратиться в нуль уже непосредственно в силу симметрии. Таким образом, вокруг начала координат будет находиться область не- еаспоостеананиа днтопационнон волны 68! подвижного газа (область внутри сферы я =см где со — значение скорости звука при о = 0), Выясним свойства функции о(я) вблизи точки (130,6). Из (130,5) имеем; С точностью до величин первого порядка малости (каковымн являются о, 5 — с„с — со) получаем после простого вычисления~ о Л (1 — со) оо =(5 — с,) — (о+ с — с,). Согласно (102,1) имеем о+ с — со — — аоо, где ао — положительная постоянная (значение при о =0 величины (102,2)), и мы получаем для ~ — с, как функции от о следующее линейное дифференциальное уравнение первого порядка: с (1 — са) о оо (ь со) = нос Ре|пение этого уравнения есть сопв1 я — со = ноо 1п (130,7) Этим определяется в неявном виде функция о(5) вблизи точки, где о =О.
Мы видим, что внутренняя граница является поверхностью слабого разрыва: скорость обращается на ней в нуль, не испытывая скачка. Кривая зависимости о($) имеет на этой границе горизонтальную касательную (но/на =0). Мы имеем здесь дело со слабым разрывом весьма своеобразного типа: первая производная на нем непрерывна, а все производные высших порядков обращаются в бесконечность (в чем легко убедиться на основании (130,7)). Отношение г/г' при о = 0 есть, очевидно, не что иное, как скорость перемещения границы области относительно газа; согласно (130,6) она равна местному значению скорости звука, как и должно быть для слабого разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
