Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Этим путем можно определять интенсивность ударной волны яа больщнк расстояниях от тонкого заостренного тела вращения (в том числе ее зависимость от М1), т.е. коэффициеят в законе затухания (со» ™), о котором щла речь в предыдущем параграфе. См. Уизем Дзк. Линейные и нелинейные волны. — Мл Мнр, !977, 4 9.3 (пйпйат 6. В. 1бпеаг апб нвпнпеаг навез, — 'й(!1еу, 1974). О !23! СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА 646 При интегрировании по всей поверхности первый член исчезает, так как интеграл от рп, есть равный нулю полный поток массы газа через контрольную поверхность. Поэтому остается г»= — 2п» ~ Пк»ох= — 2пгр, ~ дт дк О!х. (123,4) дф дф На больших расстояниях (в волновой зоне) производные от потенциала вычисляются так, как это было сделано в й 74 (см. формулу (74,!7) ), и получается: к — а» дф дф О! / 1! 5» !$! дй дд*2дд Это выражение подставляем в (!23,4), причем квадрат интеграла переписываем в виде двойного интеграла; обозначая для краткости х — рг = Х, получим: + х х Р!О! 1 1 ( л (й!) 3 (е,) де! дй,дх 2 22 Произведем интегрирование по О(Х; после изменения порядка интегрирования оно должно производиться в пределах от большего из $! и $» до +ОО.
В качестве верхнего предела берем сначала некоторое большое, но конечное 7., которое затем можно устремить к бесконечности. Таким образом, получим: ! Ь Гк= — ОП ~ ~ Я ($!)5 ($Т)11П(5Т вЂ” $!) — !П41.]О(й!»Тйе О О Интеграл от члена с постоянным множителем 1п47. Тождественно исчезает, так как на заостренных концах тела обращается в нуль не только площадь 5(х), ио и ее производная Я'(х). Таким образом, окончательно получим: Ь Р!О! ! '=-Ы Р»(~)~»(.) п(~.-~)~~ ~~м О О или 2»= 4»О ~ ~ 3»(ь!) О»(ЕО) 1п ! Га ь! !»дь!»(Йт (123,5) О О овтехлние хонечных тел )гл. хгн Это и есть искомая формула для волнового сопротивления тонкого заостренного тела ').
Порядок величины стоящего здесь интеграла есть (5/Р)лР, где 5 — некоторая средняя площадь сечения тела. Поэтому Р р,п,5з/(з. Коэффициент сопротивления удлиненного тела условимся определять как (123, 6) ~)ар~о~1 относя его к квадрату длины тела. В данном случае С, оа/1', ()о3 7) он пропорционален квадрату площади поперечного сечения тела.
Обратим внимание на формальную аналогию между формулой (123,5) и формулой (47,4) для индуктивного сопротивления тонкого крыла: вместо функции Г(г) в (47,4) здесь стоит функция п,5'(х), Вввиду этой аналогии для вычисления интеграла (123,5) можно пользоваться тем же методом, который был изложен в конце $ 47. Следует также заметить, что определяемое формулой (123,5) волновое сопротивление не изменится, если изменить направление обтекания на обратное,— стоящий в этой формуле интеграл не зависит от того, в каком направлении проходится длина тела.
Это свойство силы сопротивления характерно именно для линеаризованной теории з). Наконец, несколько слов об области применимости полученной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим образом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых телом звуковых волнах — порядка величины толщины тела, которую мы обозначим посредством 6. Скорость же колебаний— соответственно порядка величины отношения 6п~/1 амплитуды 6 к периоду волны 1/пь Но линейное приближение для распространения звуковых волн (т.
е. линеаризованное уравнение для потенциала) во всяком случае требует малости скорости движения газа в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть п~/р >) щб/1, или, что фактически то же: М, К 1/6. (123,8) ') что касается подъемноа силы (для неосескмметрического тела или при наличии угла атакИ), то в рассматриваемом здесь приближении таковая вообще отсутствует.
г) Оио имеет место и в изложенной в $ 12б теории волнового сопротивления тонкого крыла. й 123) СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННОГО ТЕЛА б47 Таким образом, изложенная теория становится неприменимой при значениях М1, сравнимых с отношением длины тела к его толщине. Она неприменима, разумеется, и в обратном предельном случае слишком близких к единице значений М„когда тоже недопустима линеаризация уравнений. Задача Определить форму удлиненного тела вра1цеьия, испытывающего мини- мальную силу сопротивления при заданных его объеме )г и длине Е. Решение. Бенду указаняой в тексте аналогии вводим переменную О Е согласно х=- — П вЂ” созО)(О~О~в начало отсчета х — в переднем конце 2 тела) и пишем функцию /(х) = Я'(х) в виде /= — Е ~ А„з(п пВ а 2 (условие 8 = О при х = О, Е допускает в этой сумме, как легко убедиться, лишь значения и ) 2).
Для коэффициента сопротивлеяия имеем при этом и % ~ Сх ' — ~ иА. 4 х'.л и 2 Площадь Б(х) и полный объем тела г' вычисляются по функции /(х) как 1 Простое вычисление дает пЕ' )г = — Ат, 16 т.е. объем определяется одним лигпь коэффициентам Аз Поэтому минималь- ное Р, достигается при равяых нулю А, с я ) 3. В результате получаем: Прв этом для площади сечения тела имеем 5 '/аРА22!П'В, откуда радиус тела как функция координаты х выражается в виде Тело симмегричко относительно плоскости х = Е/2 '). ') Хотя Й(х) н обращается в нуль нэ концах тела, ио производная к'(х) обращается в бесконечность, т.
е. тело оказывается незаостреняым; поэтому, строго говоря, лежа1цее в основе метода приближение вблизи самых концов иеприме:шмо, ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТБЛ [Гл. х!п $124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла (1 — М,) — + — + — = О. з дз<р дтв дзн дхз дуз дзз (124,1) На поверхности крыла (которую будем называть поверхностью С) скорость должна быть направлена по касательной к ней; вводя единичный вектор и нормали к поверхности крыла, напишем это условие в виде ( ..) ° Поскольку крыло обладает уплощенной формой и угол атаки мал, то нормаль и направлена почти параллельно оси у, так что ~лз~ близко к единице, а и, и, малы. В написанном условии мы можем поэтому опустить малые члены второго порядка л — и п —, а вместо п„написать ~1 (+1 иа верхней поди д<р Н ду з дз ' верхностн крыла и — 1 на нижней).
Таким образом, граничное условие к уравнению (124,1) приобретает вид ва ~ — =О. др к ду (124,2) В силу предположенной тонкости крыла значение снр/ду на его поверхности можно вычислять просто как предел при у- О. Задачу о решении уравнения (124,1) с условием (124,2) можно легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жидкостью. Для этого введем вместо координат х, у, г переменные х' = х, у' = у ~/1 — М1, г' = е~/! — М1 . (124,3) В этих переменных уравнение (124,1) принимает вид (124,4) дл' ду' дз' ') оа исключением лишь небольшой области вблизи передней кромки крыла — вблизи линии остановки газа.
Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла» дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом газе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную переднюю кромки; угол атаки должен быть малым. Выберем направление обтекания в качестве оси х, а ось г — в направлении размаха крыла. Скорость газа во всем пространстве') будет лишь незначительно отличаться от скорости и~ натекающего потока, так что можно применять линеаризованиое уравнение (1!4,4) для потенциала: 5 ип ДОЗВУКОВОЕ ОВТЕКАИИЕ ТОНКОГО КРЫЛА т.е. переходит в уравнение Лапласа. Что касается формы обтекаемой поверхности, то введем вместо нее другую, С', оставив неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллельными плоскости х, у, уменьшив только в отношении (1 — М,) 2ТНЗ все азмеры вдоль размаха крыла (оси 2).
раничное условие (124,2) приобретает тогда вид п,п ~- д, А71 — М'~ =О, дв . I ~ 2 д„"1Г и для приведения его к обычному виду введем вместо у новый потенциал у' согласно У=емà — м~. (124,5) Для ~р' будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное условие па ~ — г=О, д~р' ду которое должно удовлетворяться при у' О. Но уравнение (124,4) с граничным условием (124,6) есть уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С'.
Таким образом, задача об определении распределения скоростей при обтекании крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С' Рассмотрим, далее, действующую на крыло подъемную силу гу, Раньше всего замечаем, что произведенный в $38 вывод формулы Жуковского (38,4) полностью применим и к сжимаемой жидкости, поскольку вместо переменной плотности р жидкости все равно надо в том же приближении писать постоянную величину рь Таким образом, гу = — р~п~ ~ Г Ы2, (124,7) где интегрирование производится по всей длине 1, размаха крыла. Из соотношения (124,5 )и одинаковости поперечных профилей крыльев С и С' следует, что циркуляция Г скорости при ОГ>- текании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией Г' скорости при обтекании крыла С' несжимаемой жидкостью соотношением Г'= Г~/Г ! — М~.
(124,8) Подставляя это в (124,7) и переходя от интегрирования по 2(г й интегрированию по г(г', получим: — Р~Р~ ~ Г д2 г" . 1 — М! ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ шл хрр! Величина, стоящая в чррслителе, предстсвляет собой подъемную силу, действующую на крыло С' в несжимаемой жидкости. Обозначая ее посредством Р„, имеем: Р'„ Р Д ! — м',' (124,9) Вводя коэффициенты подъемной силы е с ~2~1 ркк ~р~~р р кк ( д р.. р. ° р., р.'=р.4р — м~ ......р.....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
