Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Г. Теория околозвуковых течений. — Мл ИЛ, 1966 (Сидег1ер К. С. Т)4еог!е зсьаппапег 81гопзппйеп. — Брг!пйег пег!ай, 195П; Фальхович С. В., Чернов И. й. — Приял. Матем. Мех„1964, т. 28, с. 342. $ !3Ц ОБТЯКАНИВ СО ЗВУКОВОИ СКОРОСТЬЮ в перпендикулярной к оси х плоскости, проходящей в районе обтекаемого тела. Значение з = — 1 соответствует звуковой линип (Ч =О), а з = г~г, как легко убедиться,— предельной характеристике.
Значение же постосниой а, зависит от конкретной формы обтекаемого тела и могло бы быть определено лишь путем точного решения задачи во всем пространстве. Формулы (120,8) Относятся лишь ко всей области перед ударной волной. Неизбежность появления последней видна уже из следующих соображений. Простое вычисление по формуле (118,5) дает для якобиана Л выражение 4 — ч О=а; (())г гЧ)Т Легко видеть, что на характеристиках и во всей области слева от иих (что соответствует области вверх по течению от предельных характеристик в физической плоскости) гг ) 0 и нигде в нуль не обращается.
В Области же справа от характеристик гг проходит через нуль, откуда и видна неизбежность возникновения здесь ударной волны. Граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения Эйлера — Трикомк на ударной волне, заключаются в следующем. Пусть Оь Ч1 и О,, Чг — значения О и Ч по обеим сторонам разрыва. Прежде всего они должны соответствовать одной и той же кривой в физической плоскости, т. е. х(ОО Ч~)=х(йг, Чг), у(Ои Чг)=у(О,,Чг). (120,9) Далее, условие непрерывности касательной к разрыву компоненты скорости (т. е, условие непрерывности производной от потенциала гр вдоль линии разрыва) эквивалентно условию непрерывности самого потенциала: гР(Оь Ч1) = ф(Ог Чг) (120,10) (120,11) В данном случае решение уравнения Эйлера — Трикоми позади ударной волны (область между ОР и ОР' в плоскости годографа; рис. 123) имеет тот же вид (120,5 — 6), ио, конечно, с другим постоянным коэффициентом (обозначим его как — аг) вместо аь Четыре уравнения (120,9 — 11) определяют отношение аг/а1 и свЯзывают междУ собой величины: Чь Оь г)г, Ог.
В РезУль- (потенциал гр определяется по функции Ф формулой (119,3)). Наконец, последнее условие можно получить из предельной формы уравнения ударной поляры (92,6), устанавливающего определенную связь между компонентами скорости по Обеим сторонам разрыва. Заменив в (92,6) угол х на Ог — Ог и введя Чь Чг вместо вь вг, получим следующее соотношение: 2(Ог — Ог) =(Чг — Ч1) (Чг+ Ч~). ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !гл. хи тате довольно сложного их совместного решения получаются следующие результаты.
Ударной волне соответствует значение з=(5 !/3+ 8)/5=2,58 параметра г в формулах (120,8), дающих при этом форму волны и распределение скорости иа передней стороне разрыва. В области позади (вниз по течению) от ударной волны коэффициент — а, оказывается отрицательным, а параметр /*/(/' — П) пробегает отрицательные значения. Вводя здесь в качестве г положитель- Р ную величину г =,, получим ч — Р' вместо (120,8) формулы ГГН5 х 25+! уя5 авизн5(а 1 5/5 Оу»5 = — — з«5(2г+ 3), (120,12) з причем а,!а! = (9 !/3 + 1)/(9 ~/3 — 1) = = 1,14, а з пробегает значения от э = (5 т/3 — 8)/б = 0.11 (на ударной волне) до нуля (на бесконечности вниз по течению).
Рис. 524 На рис. 124 изображены гра- фики зависимости 5!ух~5 и Оу»25 от ху '~5, вычисленные по формулам (120,8) и (120,12) (постоянная а! условно положена равной единице). $121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии Рассмотрим, снова с помощью уравнения Эйлера — Трикоми, отражение слабого разрыва от звуковой линии. Будем считать, что падающий на звуковую линию слабый разрыв («приходяший» по отношению к точке их пересечения)— обычного типа, возникающего, скажем, при обтекании острых Е 12Ц ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ ЕЗ$ !в ! ! ав — 21 — = — — г— ь в! ! — — — — 1лабыйраврыв й ' 2 т' — — — Звук ввав ливия,г) г в В) гГ )и ~Е а) Рес.
125 скости годографа характеристика Оа (рис. 125,а). Непрерывность координат х, у на разрыве означает, что должны быть непрерывными первые производные Ф„, Фе. Напротив, вторые производные от Ф -выражаются через первые производные от скорости по координатам н потому должны испытывать разрыв.
Обозначая скачки величии квадратиь1ми скобками, имеем, таким образом: иа Оеи (ФВ1=(ФВ)=9' (Фее1 (ФВ4 (Ф )ФО. (121,!) Сами же функции Ф в областях 1 и 2 по обе стороны от характеристики Оа ие должны иметь на ней никаких особенностей. Такое решение можно построить с помощью второго члена в (118,6) с й = 11/12, пропорционального квадрату разности (1 — 4212/902) (второе же независимое решение Фила имеет на характеристике особенность — см.
ниже); первые производные этой функции на характеристике обращаются в нуль, а вторые — конечны. Кроме того, в Ф могут войти такие часткые решения уравнения Эйлера — Трикомн, которые не приводят ии к каким особенностям течения в физической плоскости. Наиболее углов, т. е. разрыв первых производных скорости по координа. там. Он отражается от звуковой линии в виде другого разрыва, характер которого, однако, заранее неизвестен и должен быть определен путем исследования течения в окрестности точки пересечения, Последнюю выбираем ниже в качестве начала координат х, у, а ось х — вдоль направления скорости газа в этой точке; тогда ей соответствует начало координат и в плоскости годографа.
Слабые разрывы расположены, как мы знаем, вдоль характеристик. Пусть приходящему разрыву соответствует в пло- 1ГЛ. ХМ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 832 низким по степеням 6 и т! таким решением является От! ($ 119). Таким образом, вблизи характеристики Оа ищем Ф в виде П/на Г13 !9 (121,2) где индексы а1 и а2 указывают окрестности по обе стороны характеристики (в областях 1 и 2); А, В, С вЂ” постоянные, и снова введено обозначение 4ч' 5=1 —— 90' (на характеристике й = О). Мы увидим ниже, что в зависимости от знака произведения АВ могут иметь место два случая: слабый разрыв отражается в виде слабого же разрыва другого (логарифмического) характера или в виде ударной волны малой интенсивности. Отражение в виде слабого разрыва Рассмотрим сначала первый из этих случаев (Л. Д. Ландау, Е.
Ы. Лифшиц, 1954). Отраженному от звуковой линии слабому разрыву соответствует в плоскости годографа вторая характеристика (ОЬ на рис. 125, а), Вид функции Ф вблизи этой характеристики устанавливается путем аналитического продолжения функций (!21,2) согласно формулам (118,1! — 13). Однако при Й= 11/12 функция Рв теряет смысл и поэтому непосредственно воспользоваться этими формулами нельзя. Вместо этого надо положить в них сначала й = !1/12 + е, после чего устремить а к пулю.
В соответствии с общей теорией гипергеометрического уравнения при этом появляются логарифмические члены. В результате вычисления (с помощью (118,13)) для функции Ф вблизи характеристики ОЬ в области 3 получается следующее выражение (с точностью до членов второго порядка по $ включительно): Фа, = — АОт! + — ( — О)"~ (Ца 1п ! Ц )+ се+ сД+ сайв), (121,3) где са, сь св — числовые постоянные'). Аналогичное преобразование (с помощью (118,11)) функции Ф,а от окрестности характеристики Оа к окрестности характеристики ОЬ дает функцию Фва, отличающуюся от (121,3) лишь заменой В на С/2. Координаты х, у точек характеристики в физической плоскости вычис- ') Значение этих неетоянных: св = 2в. Зв/388 — 198, с, = 288/7 41,1, св 4,86, отрнжннин свиного рвзрь(нв от звнковои линни (121,4) а дифференцирование функции Фан даст такие же выра>кения с С/2 вместо В.
Условие непрерывности координат х, р на характеристике О/> приводит, следовательно, к соотношению С =2В. (121,5) Далее, для осуществления рассматриваемой картины отражения должны отсутствовать предельные линии в плоскости годографа (и тем самым — нефизические области в этой плоскости), т. е. якобиан Л нигде не должен проходить через нуль. Вблизи характеристики Оа якобиан вычисляется с помощью функций (121,2) и оказывается положительным (главный член в нем: Ь ж Ав). Вблизи >ке характеристики 05 вычисление с помощью (121,3) дает А=А' — 16( — ) АВ>1""1п)51. (121,6) При приближении к характеристике логарифм стремится к — оо, и главным является второй член. Поэтому из условия А~О имеем АВ = О, т.
е. А и В должны иметь одинаковый знак. Наконец, для определения формы звуковой линии нам понадобятся выражения для Ф вблизи оси т) =О. Выражение, пригодное в окрестности верхней части этой оси, получается просто преобразованием гнпергеометрической функции в Ф (12!,2) в гипергеометрические функции аргумента 1 — 5=4т)6/90н, обращающегося в пуль при т) =О').
Сохранив лишь члены наиболее низких степеней по т), получим Фн = — Ат)О— 2!'(1/2) 1(/6 П/6 Г (22/12) Г (17/12) ВО = — Ат)0 — 6,25В8 ° (121,7) Аналитическое же продолжение в область нижней части оси дает Ф, = — Ат)8 — 6,25 ° .1/3 Вйп/ (121,8) (вычисления аналогичны выводу формулы преобразования (118,13) ).
Теперь можно определить форму всех интересующих нас линий. На характеристиках имеем, отбрасывая члены более высо- 1) Это преебрааонанае грннедено, например, в $ е Математического приложения в Ш вЂ” формула (е,7). лаются как производные (118,4), взятые при 5=0. Так, исходя нз (121,3) найдем р — "1( — 2 ) ( б са+2с>)( — 8) плоское течение сгкимАемОГО ГАЗА !ГЛ.
ХП кого порядка: х= — ЛО, у= — Ат). Мы условились считать, что приходящему слабому разрыву отвечает верхняя характеристика (О ) О). Поскольку скорость газа направлена в положительном направлении оси х„то этот разрыв, для того чтобы быть приходящим, должен лежать в полуплоскости х «О. Отсюда следует, что постоянная А, а с нею и В должны быть пологкительными. Уравнение линии слабого разрыва в физической плоскости будет — у=Я А ( — х) =1,31А' ( — х)'.
(121,9) Отраженный же разрыв, соответствующий нижней характеристике, дается уравнением ') — у = 1,3! Л нехао (121,10) (см. рис. 125,б; обозначение линий и областей на этом рисунке Соответствует обозначениям на рис. 125, а). Уравнение звуковой линии получается из функций (121,7 — 8). Дифференцируя по т) и О и положив затем т) =О, получим из (!21,7) уравнение той части линии, на которой О ) О: х = — АО, у = — — ° 6,25ВО ', 11 яа откуда у= — 11,4ВА ~ ( — х) г~. (121, 11) Это — нижняя часть звуковой линии иа рис. 125,б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
