Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 122
Текст из файла (страница 122)
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ. ХИ заведомо малыми членами сводится к следующему: (114,6) В рассматриваемом случае скорость о» = о и скорость звука с близки к критической скорости с„. Поэтому можно написать: дс ~ с — с,=(о — с.)— до Ь-с или с — о=(с, — о)(1 — — „~ ). Воспользовавшись тем, что при о = с = с„согласно (83,4) имеем 3р/с(о = — р/с, пишем (при о = с,): дс дс др р дс так что с — о (с. — о) — — = а„(с — оп ! д(рс) с др !!!4,7) (114,8) Это соотношение устанавливает в общем виде связь междн числами М и М„в околозвуковом случае.
С помощью этол формулы пишем: 2 2 ок о ( ( 1 — —" = 1 — — = 2 (! — — 1 -" 2а ! 1 — — 1. — с» Наконец, вводим новый потенциал, производя замену Ф -А с, (х + Ф), так что теперь будет дф о„дф ос дф о (114,9) дк с, ' ду с,' дк с,' Внося все это в (114,6), получим окончательно следующее уравнение для потенциала околозвукового течения (с направлением скорости, везде близким к оси х): д Г д»ф дфс д'Ф 2ск. — — = —., + —,, дк дк' ду2 дс» ' (114, 10) Мы воспользовались здесь для производной с((рс)/2!р выражением (99,9), а а„обозначает значение величины а (102,2) при о с„(для политропного газа а есть просто постоянная, так что а„= а =(у+ 1)/2).
С той же точностью это равенство можно переписать в виде э !щ стхпионхоныи поостыв волны Свойства газа входят сюда только через постоянную и,. Мы увидим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств околозвукового течения от конкретного рода газа целиком определяется этой постоянной. Линеаризованное уравнение (114,4) становится неприменимым и в другом предельном случае†очень больших значений Мь не говоря уже о том, что благодаря возникновению сильных ударных волн реальное течение при таких М! фактически вообще нельзя считать потенциальным (см.
й 127). 5 115. Стационарные простые волны Определим общий вид решений уравнений стационарного плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения, при которых на бесконечности имеется однородный плоско-параллельный поток, в дальнейшем своем течении поворачиваю!ций, обтекая искривленный профиль. С частным случаем такого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении движения вблизи угла,— при этом мы по существу рассматривали плоско-параллельный поток, текущий вдоль одной из сторон угла и поворачивающий вокруг края этого угла.
В этом частном решении все величины — две компоненты скорости, давление, плотность — были функциями всего лишь от одной переменной — от угла !р. Поэтому каждая иа этих величин могла бы быть выражена в виде функции одной из иих. Поскольку это решение должно содержаться в виде частного случая в искомом общем решении, то естественно искать это последнее, исходя из требования, чтобы и в нем каждая из величин р, р, о„о„(плоскость движения вь)бираем в качестве плоскости х, у) могла быть выражена в виде функции одной из них.
Такое требование представляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, налагаемое на решение уравнений движения, и получающееся таким образом решение отнюдь не является общим интегралом этих уравнений. В общем случае каждая из величин р, р, о„, о„. являющихся функцией двух координат х, у, могла бы быть выражена лишь через две из них.
Поскольку на бесконечности имеется однородный поток, в котором все величины, в частности и энтропия з, постоянны; а при стационарном движении идеальной жидкости энтропия сохраняется вдоль линий тока, то ясно, что и во всем пространстве будет з =сонэ(, если только в газе нет ударных волн, что и предполагается ниже. Уравнения Эйлера и уравнение непрерывности имеют вид до„до ! др до„до„! др — +о о — + о дх о до Р дх ' " дх о дд р ду ' д д д (роо) + д (роо) = 0> ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ ХП Написав частные производные в виде якобиаиов, переписываем эти уравнения в виде д(о», у) д(о., х) 1 д(р, у) д(х, у) о д(х, у) р д(х, у) ' д(о„, у) д(о„, х) ! д(р, х] о» вЂ” о д (х, у) о д (х, у) р д (х, у! ' д (ро„, у) д (рор, х) р' д(х, у) д(х, у) Выберем теперь в качестве независимых переменных х и р. Для того чтобы произвести соответствующее преобразование, достаточно умножить написанные уравнения иа д(х,у)/д(х, р), в результате чего получим уравнения в точности того же вида, с той лишь разницей, что в знаменателях всех якобианов будет стоять д(х, р) вместо д(х, у).
Раскроем эти якобианы; при этом надо иметь в виду, что в независимых переменных х и р все величины р, о„ор являются, по предположению, функциями только от р, и потому их частные производные по х равны нулю. Тогда получаем: ( дупло» ! ду / ду» до в — п о» ) х дх ) др р дх ' ~ У " дх ) ду у (где ду/дх обозначает (ду/дх)р).
Все величины в этих уравнениях, за исключением лишь ду/дх, являются функциями только от р уже по сделанному предположению, а х вовсе не входит в уравнения явным образом. Поэтому прежде всего можно заключить на основании этих уравнений, что и ду/дх есть некоторая функция только от р: ( —,'„"),=~ (р), откуда У = Ф (Р) + 1! (Р), (115,1) где(,(р) — произвольная функциядавления, Дальнейших вычислений можно не производить вовсе, если непосредственно воспользоваться известным уже нам частным решением для волны разрежения при обтекании угла (Я! 09,112).
Напомним, что в этом решении все величины (в том числе и давление) постоянны вдоль каждой прямой (характеристики), проходящей через вершину угла. Это частное решение, очевидно, соответствует случаю, когда в общем выражении (115,1) произ- вольная функция (х(р) тождественно равна нулю. Функция жв (!(р) определяется полученными в $109 формулами. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ $!!6! Уравнение (115,1) прн постоянных значениях р определяет семейство прямых линий в плоскости х, у. Эти прямые пересекают в каждой своей точке линии тока под углом Маха, Это очевидно из того, что таким свойством обладают прямые у = х1! (р) в частном решении с 1« — = О.
Таким образом, и в общем случае одно из семейств характеристик (характеристики, «исходящиея от поверхности тела) представляет собой прямые лучи, вдоль которых все величины остаются постоянными; эти прямые, однако, не имеют теперь общей точки пересечения. Изложенные свойства рассматриваемого движения в математическом отношении полностью аналогичны свойствам одномерных простых волн, у которых одно из семейств характеристик представляет собой семейство прямых линий в плоскости х, г (см. Я 101, 103, 104). Поэтому рассматриваемый класс течений играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) движения такую же роль, какую играют простые волны в теории нестационарного одномерного движения.
Ввиду этой аналогии эти течения тоже называют простыми волнами. В частности, волну разрежения, соответствующую случаю 1э — О, называют центрированной простой волной. Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств стационарных простых волн заключается в том, что течение во всякой области плоскости х, у, граничащей с областью однородного потока, есть простая волна (ср. 5 104). Покажем теперь, каким образом может быть построена простая волна для обтекания заданного профиля. На рис.
115 изображен обтекаемый профиль; слева от точки О он прямолинеен, далее от точки О начинается закругление. В сверхзвуковом потоке влияние закругления распространяется, разумеется, лишь на область потока вниз по течению от исходящей из точки О характеристики ОА. Поэтому все течение слева от этой характеристики будет предвтавлять собой однородный поток (относящиеся к нему значения величин отличаем индексом 1). Все характеристики в этой области параллельны друг другу и наклонены к оси х под углом Маха а! = агсз1п(с!/о!).
В формулах (109,12 — 15) угол наклона характеристик !р отсчитывается от луча, на котором о = с = с„. Это значит (ср. 4 112), что характеристике ОА надо приписать значение угла !р, равное I т+ ! с! !р! = ~( — агссоз —, Ч у-! с и в дальнейшем отсчитывать углы р для всех характеристик от направления ОА' (рис. ! 15). Угол наклона характеристик к осн х будет тогда равен ф,— гс, где !р„= а!+гр!. Согласно формулам (109,!2 — 15) скорость и давление выразягся через угол <р плОскОе течение сжнмлемого глзл [гл. хи посредством о„=осозО, о„=о з(пО, (115,2) от=с'~1+ яп' ~/~ ф~, 0=<р, — ~р — агс10(~/ т+, С1и «/», <р), р = р, (соз 1/ ~р) (1! 5,3) (115,4) (115,5) Уравнение же характеристик напишется в виде у = х1д Ор. — ~р) + г" (~р).
(115,6) Произвольная функция г" (~р) определится по заданной форме Рае, 115 профиля следующим образом. Пусть форма профиля задана уравнением У= У(Х), где Х и У вЂ” координаты его точек. На самой поверхности скорость газа направлена по касательной к ней, т.е. (и0= чх. дг (115,7) Уравнение прямой, проходящей через точку Х, У и наклоненной под углом ~р, — ~р к оси х, есть у — У = (х — Х) 1ь (~р, — ф) Это уравнение совпадает с (115,6), если в последнем положить У()=У-Х(О«~.- ). (115,8) Исходя из заданного уравнения У= У(Х) и уравнения (115,7), представляем форму профиля в виде параметрических уравнений Х=Х(0), У= У(О), где параметром является угол О наклона касательной к профилю. Подставляя сюда О, выраженное через ~у согласно (115,4), получаем Х и У в виде функций от ф1 $ ня СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ наконец, подставляя их в (115,8), получим искомую функцию Г(ч>) При обтекании выпуклой поверхности угол 0 наклона вектора скорости к оси х уменьшается вниз по течению (рис.
!15). Вместе с ним монотонно убывает также и угол Ч~, — ~Р наклона характеристик (речь идет везде о характеристиках, исходящих От тела) Благодаря этому характеристики нигде (в области течения) не пересекаются друг с другом. Таким образом,в области у з вниз по течению от характеристики ОА„которая будет представ. ! лять собой слабый разрыв, мы будем иметь непрерывный (без ударных волн) монотонно разрежающийся поток. Иначе обстоит дело при обтеканин вогнутого профиля, Здесь наклон 0 касательной к профилю, х. а с ним и наклон характеристик возрастают в направлении тече- Рис. 116 ння. В результате характеристики пересекаются друг с другом (в области течения), Но на различных не параллельных друг другу характеристиках все величины (скорость, давление и т.
п.) имеют различные значения. Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции оказываются многозначными, что физически нелепо. Аналогичное явление мы имели уже в нестационарной одномерной простой волне сжатия (й 101). Как и там, оно означает здесь, что в действительности возникает ударная волна. Положение этого разрыва не может быть определено полностью из рас. сматриваемого решения, выведенного в предположении его отсутствия. Единственное, что может быть определено, — это место начала ударной волны (точка О иа рис. !16; ударная волна изображена сплошной линией ОВ). Она определяется как точка пересечения характеристик, лежащая на наиболее близкой к поверхности тела линии тока. На линиях тока, проходящих под точкой О (ближе к телу), решение везде однозначно; в точке же О начинается его многозначность.
Уравнения, определяющие координаты хм и, этой точки, могут быть получены аналогично тому, как были найдены соответствующие уравнения для определения момента и места образования разрыва в одномерной не- стационарной простой волне. Если рассматривать угол наклона характеристик как функцию координат х и и точек, через которые они проходят, то при значениях х и у, превышающих некоторые определенные хм у,, эта функция делается многозначной. В $101 мы имели аналогичное положение для функции п(х,г); поэтому, не повторяя заново всех рассуждений, напишем <гл, хы плоское течение сжим«вмого гхзх сразу уравнения 11 15,9) определяющие здесь место начала ударной волны. В математическом отношении это — угловая точка огибающей семейства прямолинейных характеристик (ср. $ 103). Что касается области существования простой волны при обтекании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих линий с ударной волной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
