Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 125
Текст из файла (страница 125)
При исследовании решения в окрестности точки 81 = 0=0 приходится следить за его изменением прн обходе вокруг этой точки. Пусть, например, функция Фа (118,Б) изображает решение в точке А вблизи характеристики 0=8/881818 (рис. 119) и требуется найти форму решения вблизи характеристики 0 = 616 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ ХП = — з/зт)АГХ (в точке В). Переход вдоль АВ связан с пересечением оси абсцисс; между тем значение 0 = О есть особая точка гипергеометрических функций в выражении (118,6), так как их аргумент обращается в бесконечность.
Поэтому для совершении перехода необходимо сначала применить к гипергеометрическим функциям преобразование, переводящее их в функции обратного зйх аргумента (, 4,, для которых 0=0 уже не будет особой ,„,), точкой, после чего меняем знак 8 и повторным таким же преобразованием переводим их в функции прежнего аргумента, Таким способом получим для функций, входящих в выражение (118,б), следующие формулы преобразования: гх гх(ея(Ага+- ) г( — га) г( — га+ — ) (118 11) 2а1лп(2а+ — ) Г(га+ 1) Г(га+ 3 ) причем под Г~ и Рх подразумеваются выражения А Г 1 З.
4Ч' х Р1=(8) Р( — й, — й+ —, — 2й+ф 1 — —,), в которых 0 и 1 — 4т)з/901 в коэффициентах при гипергеометрических функциях берутся по их абсолютным значениям. Аналогичным образом можно получить формулы преобразования при переходе из точки А' в точку В' (рис. 119) путем обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления при этом более громоздки, так как приходится проходить через три особые точки гипергеометрических функций — точку с 8 = О и два раза точки с т) = О (напомним, что особыми точками гипергеометрической функции аргумента з являются точки з = 1 и е = ОО).
Окончательные формулы гласят: М я(44--1) и "('"+') ' г(-га — — '1 г(-га+ — 1 6 г( га)г( га+ г) РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ТРИКОМИ З нэ1 мп и (4А — — ) Рт Р,+ 5!и и (2А+ — ) (118,13) г(2А+ 1) г(2а+ 1) Наряду с рассмотренным семейством однородиых решений можно построить, конечно, и другие семейства частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми. Укажем здесь семейство решений, возникающих в связи с разложением Фурье по углу О. Если искать Ф в виде Фч =д (11) еп~ча (118,14) где т — произвольная постоянная, то для функции л, получим равнение у а",+ 'Чн,=о.
Это — уравнение функций Эйри; его общий интеграл есть к (Ч) = Ч'Ч 3ш( З " ) ' (118,15) где 3Н — произвольная линейная комбинация функций Бесселя порядка 1/В. Наконец, полезно иметь в виду, что общий интеграл уравнения Эйлера — Трикоми может быть написан в виде Ф = $ ) © Ж, ~ = г' — ЗЧЕ+ 30, (118,16) с где !(Ь)' — произвольная функция, а интегрирование производится в плоскости комплексного переменного а по любому контуру С, на концах которого производная )'(ь) принимает одинаковые значения. Действительно, непосредственная подстановка выражения (!18,16) в уравнение дает д ч — Ч два =9 (г' — Ч)1" (Ь)4(2=3~) (~)0~=31 (Ц)=0, дчч т.е. уравнение удовлетворяется.
$ 1!й. Решению уравнения Эйлера †Трнко вблизи иеособых точек звуковой поверхности Выясним теперь, какие решения ФА соответствуют тем случаям, когда в окрестности границы перехода течение газа ие обладает никакими физическими особенностями (нет слабых разрывов нли ударных волн). Для этого, однако, удобнее исходить ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [Гл. Ктт 620 не непосредственно из уравнения Эйлера — Трнкоми, а из уравнения для потенциала скорости в физической плоскости. Такое уравнение было выведено в $ !14; для плоского движения уравнение (114,10) после введения новой координаты согласно х — з х(2а,)'/з принимает вид дф д'ф дзф дх дх' дуз ' (з 19,1) Напомним, что потенциал ф определен здесь таким образом, что его производные по координатам дают скорость согласно равенствам (119,2) — =О дф ду Заметим также, что уравнение Эйлера — Трикоми можно получить и непосредственно из уравнения (119„1), переходя к независимым переменным О, т! с помощью преобразования Лежандра, причем будет Ф = — ф + хт! + у8, или дФ дФ зр= — Ф+ т) — +Π—.
дч да ' Выбрав начало координат х, у в точке звуковой линии, окрестность которой мы исследуем, разложим зр по степеням х ну. В общем случае первый член разложения, удовлетворяющего уравнению (119,! ), есть <р = — ху. ! (119,4) При этом О = х/а, т! = у/а, так что Ф = аОт!. (119,5) Если мы хотим найти уравнение звуковой линии в физической плоскости, то написанный первый член разложения недостаточен.
Следующий член разложения Ф имеет степень однородности 1, т. е. соответствует одной из функций Ф~, 'это есть первый член выражения (1!8,7), сводящийся при й =1 к полиному: 4Чз, Чз Отг' ( — 1, — —, —; — ) = 0'+ —. 2' 3' Эаз) 3 ' По степени однородности этой функции ясно, что ему соответствует одна из функций ФАГз, это есть второй член выражения (!18,7), в котором гипергеометрическая функция с й = з/з сводится просто к 1: ЧОР( — —,', О, — ,'; ф) = цО. 621 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗНЛЕРА — ТРНКОМИ е нэ1 Таким образом, первые два члена разложения Ф: Ф=аЧ0+ Ь (О'+ Я. Отсюда х=а0+ Ьт)Я, у=ат)+ 2Ь0.
(119,6) (119,7) Звуковая линия (Ч = О) есть прямая у = 2Ьх/а. Для нахождения же уравнения характеристик в физической плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя 0 = х/а, ч = у/а в уравнение годографических характеристик 0 = ~2ЧЯ1а/3, получим: уэ,'2 2 3 ь!а т. е. снова две ветви полукубической параболы с точкой возврата на звуковой линии (жирная кривая на рис. 120). Это свойство характеристик заранее оче- л а яака ль видно из следующих простых соображея оь ний. В точках линии перехода угол Маха сей равен и/2. Это значит, что касательные к х ьеФ' характеристикам обоих семейств совпадают, что и означает наличие здесь точки возврата (рис.
120). Линии же тока пересекают звуковую линию перпендикулярно к характеристикам, не имея здесь особенностей. Решение (119,6) неприменимо в том исключительном случае, когда линия тока перпендикулярна к звуковой линии в рассматриваемой точке').
Вблизи такой точки течение, очевидно, симметрично относительно оси х. Этот случай требует особого рассмотрения (Ф. И. Франк.ть и С. В. Фалькоиич, 1945). Симметрия течения означает, что при изменении знака у ско- рОСтЬ ба МЕНяЕт ЗНаК, а Пх ОСтаЕтея НЕИЗМЕННОЙ. ДруГИМИ СЛО- вами, потенциал !р должен быть четной функцией у (а потенциал Ф вЂ” четной функцией О). Первые члены разложения !р будут поэтому в этом случае иметь следующий иид: ах' а'ху' а'у' (1 19,8) Рнс. 120 (относительный порядок малости х и у не предопределен, так что все три написанных члена могут быть одинакового порядка).
Отсюда находим следующие формулы преобразования из ') В решении (! 19,6) этому соответствовало бы равенство нулю постоянной а; но прн а = О это решение теряет смысл, так как иа линии Ч = О обращается в нуль якобиаи б. ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ. ХП физической плоскости в плоскость годографа: ааа а а уа а1 = ах+ — ", 0 = азху + в" (119,9) ау' х= 2' 'ауа ,. х=— г г Дозвукав оаяа уяовая ааз / Рас !21 числе во всей дозвуковой области„ Т1 ( 0; рис. 121), это уравнение имеет всего один вещественный корень, который и должен быть взят в качестве функции у(0, Т1). В области же справа от характеристик вещественны все три корня; из них должен быть взят тот, который является продолжеинем вещественного в левой области корня. Характеристики в физической плоскости (проходящие через начало координат) получаются подстановкой выражений (1!9,9) в уравнение 4т1з = 90з.
Это дает две параболы: характеристики 23 и бб: х= — ауз/4, характеристики 34 и 43: х=ауа/2 (цифры указывают, какие две области в физической плоскости разделяет данная характеристика1. Звуковая же линия (т1=0 Уже ие решая этих уравнений относительно х и у в явном виде, легко видеть, что степень однородности функции у(0,а1) равна '/в. Поэтому соответствующая функция Ф имеет й = '/в+ '/з = з/з, т.
е. заключена в общем интеграле Фзль Иключив из уравнений (119,9) х, получим для определения функции у(0, т1) кубическое уравнение (ау)з — ЗТ1ау+ 30=0. (119,10) При 0' — 4Т1з/9) О, т. е. во всей области слева от годографических характеристик, проходящих через точку а1 = 0 = 0 (в том у !Гл.
хн ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИВ!АЕМОГО ГАЗА 624 получающиеся согласно формулам (1!8,9) и (118,!0) из Фиа путем последовательных дифференцирований (Ф. И. Франкль, 1947). К алгебраическим функциямсводятсятакжетефункцпи Фа с й — ~ 2 ° й — 3 3= 2 (1!9,!6) в которых гнпергеометрнческая функция сводится к полиному ') (так, при й = и/2 это есть первый член, а при й = — п/2 — второй член.
выражения (118,6) ). К этим трем семействам алгебраических функций Ф„относятся, в частности, все те функции, которые могут соответствовать (в качестве потенциала Ф) течениям, не имеющим никаких особенностей в физической плоскости. Именно, для таких течений все члены разложения Ф вблизи несимметричной точки линии перехода (первые два члена которого даются формулой (! 19,6)) могут иметь лишь 2 =5/6+ и/2 или й= 1+ и/2.
Разложение же Ф вблизи симметричной точки (начинающееся членом с й=2/3) может, кроме того, содержать еще функции с 2=2/3+ и/2. $120. Обтекание со звуковой скоростью Упрощенное уравнение Чаплыгина в форме уравнения Эйлера — Трикоми должно, в принципе, применяться к исследованию основных качественных особенностей стационарного плоского обтекания тел, связанных с наличием в нем околозвуковых областей. Сюда относятся, в первую очередь, вопросы, связанные с возникновением ударных волн. В околозвуковой зоне интенсивность ударной волны мала; подчеркнем, что именно это обстоятельство делает законным применение уравнения Эйлера— Трикоми в этих условиях. Напомним (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
