Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 124
Текст из файла (страница 124)
А. Никольский, !. И. Таеаиов, !946). Имеем тождественно 1 д (О. о) д (О, о) д (х, о) а д (х, у) д (х, о) д (х, у) ' или (116,10) В гц)звуковом потоке О ) О, и мы видим, что производные (д0/дх), и (до/ду)„имеют одинаковый знак. Этот результат имеет простой геометрический смысл: если передвигаться вдоль линии о = сопя! = — оа так, чтобы область о ( о, лежала справа„ то угол 0 будет монотонно возрастать, т. е. вектор скорости монотонно поворачивается против часовой стрелки. Этот ре'зультат относится, в частности, и к линии перехода из до- В сверхзвуковое течение, вдоль которой о = с = с„ Е НП ХАРАКТЕРИСТИКП ПЛОСКОГО СТАШ1ОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 611 В заключение выпишем уравнение Чаплыгина для политроп. ного газа выразив в нем в явном виде с через о: т — ! о' !в деФ т + 1 с„даФ дФ щ' + оа дое + до ' (118'1Ц 1 —— с.
Это уравнение обладает семейством частных интегралов, выра- жающихся через гипергеометрические функции '). й 117, Характеристики плоского стационарного течения Некоторые общие свойства характеристик плоского стационарного (сверхзвукового) движения были рассмотрены уже в $82. Выведем теперь уравнения, определяющие эти линии по заданному решению уравнений движения. В плоском стационарном сверхзвуковом потоке имеется в общем случае три се гейства характеристик. По двум из них (которые мы будем называть характеристиками С+ и С ) распространяются все малые возмущения, за исключением лишь возмущений энетропии и ротора скорости; последние распространяются по характеристикам третьего семейства Со, совпадающим с линиями тока.
Для заданного течения линии тока известны, я вопрос заключается в определении характеристик первых двух семейств. Направления проходящих через каждую точку плоскости характеристик С+ и С расположены по обе стороны от проходящей через ту же точку линии тока и образуют с ней угол, равный местному значению угла возмущений а (рис. 51). Обозначим посредством то тангенс угла наклона к оси (угловой коэффициент) линии тока в данной ее точке, а посредством т+ и т — угловые коэффициенты характеристик С+ и С, Тогда по формуле сложения тангенсов напишем: о'о "'- '"о !+тот+ !+тот+ ' =!да, ' = — 1на, откуда то ~ 1я а гп ! ~то!ко (верхние знаки относятся везде к С+, а нижние — к С ).
Подставив сюда о, с лто= —. !да = ол ') См., например, Седов Л. И. Плоские залачи гидролииамики н аэродинамики.-М.. Наука, 1966, гл. Х; Мизес Р. Математачсская теория течений сжимаемой жгоекости, — М.: ИЛ, 1961, й 20. и пп хлрактнристикн плоского стационарного тнчнния 61з странстве одного из инвариантов Римана, Произвольной постоянной в формулах (115,3) и (!15,4) является ф,; исключая из этих формул параметр ф, получим; /у+1 Г с~ 1 уе — — О~ агсз1п ~( 11 — — ',)— ог ~ /у+1, /у 1 о2 — — —, — 1) ).
(!17,3) — 'Ч Характеристики в плоскости годографа представляют собой семейство эпициклоид, заполняющих пространство между двумя оу окружностями радиусов (рис. 117): о=с и о= ~/ — се !у+1 Для изэнтропичес кого потенциального движения характеристики Г+, Г обладают следующим важным свойством: семейства характеристик Г+ и Г ортогональны соответственно характеристикам С и С+ (предполагается, что оси координат х, у изображены параллельными осям ос, Рис. 117 о„)'). Для доказательства этого утверждения исходим из уравнения (114,3) для потенциала плоского течения, имеющего вид А — +2 — +С вЂ”,=О д'ф д'ф д'ф дк' дк ду ду' (117,4) (существенно, что в нем отсутствует свободный член). Угловые коэффициенты т характеристик С определяются как корни квадратного уравнения Апта — 2Вт + С = О.
Рассмотрим выражение с(о"„' с(х + с(о~~ с(у, в котором дифференциалы скорости берутся вдоль характеристики Г+, а дифференциалы координат — вдоль С . Имеем тождественно: г(о+с(х +Но+г(у дтф — г(х~ г(х + ф (г(х~ с(у + с(х Ыу~) + д с(у г(у ') Это утверждение не относится н караитеристикав осефнииетрнческого движения в плоскости х, г1 плОскОе течение сжимАемОГО ГАЗА !ГЛ. ХИ Разделив это выражение на йх+йх-, получим в качестве коэффи. циентов при дагр/дхду и да!р/дуа соответственно гп++ гп = 2В!А и т+и =С/А, после чего ясно, чго в силу уравнения (!1Т,4) выражение обращается в нуль.
Таким образом, йо„" йх- + до+ йу- = йч+ йг- = О. Аналогично получим: йч-йг+ = О. Эти равенства и выражают собой сделанное выше утверждение. — — 1 =а ( — — 1). Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплыгина. Третий член уравнения (116,8) мал по сравнению со вторым, содержащим 1 — ое/са в знаменателе. Во втором же члене полагаем приближенно а с, с 1 — о'(с' 2 (1 — о(с) 2а* (1 — о)с,) ' Наконец, вводя вместо скорости о новую переменную т)=(2а )иа —" (118,1) получим искомое уравнение в виде деФ дтФ вЂ” — т! — = О.
дч' дз' Уравнение такого вида в математической физике называется уравнением Эйлера — Трикоми '). В полуплоскости т) О оно от- (118,2) ') К рассматриваемой гааодииамической проблеме уравнение Траками было привлечено Ф, И. Фрвнклел (!945). й 118. Уравнение Эйлера — Трнкоми. Переход через звуковую скорость Существенный принципиальный интерес имеет исследование особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверхзвуковую область, илн обратно. Стационарные течения, сопровождающиеся таким переходом, называются смешанными или трансзвуковыми, а самую границу перехода называют переходной или звуковой поверхностью. Для исследования течения вблизи границы перехода в особенности удобно уравнение Чаплыгина, сильно упрощающееся в этой области.
На границе перехода о = с = с„ а вблизи нее (в околозвуковой области) разности о — с„ и с в с, малы и связаны друг с другом соотношением (114,8): уРАВнение эйлеРА — ТРикоми 818 3 нз1 носится к гиперболическому, а в полуплоскости т) ( 0 — к эллиптическому типу, Мы рассмотрим здесь ряд чисто математических свойств этого уравнения, которые существенны для исследования тех или иных конкретных физических случаев. Характеристики уравнения (118,2) определяются уравнением имеющим общий интеграл: (118,3) где С вЂ” произвольная постоянная.
Это уравнение изображает в плоскости т), 8 деа семейства характеристик, представляющих собой ветви полукубических парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками возврата иа оси 8 (рис. 118). При исследовании движения в небольшой области пространства, в которой направлениескорости газа меняется незначительно '), всегда можно выбрать направление оси х так, чтобы отсчитываемый от нее угол 8 во всей рассматриваемой области был малым. Тогда сильно упрощаются также и уравнении (116,6), определяющие координаты х, у по функции Ф(т),8)'): нз дФ дФ х=(2а, ) —, у= —.
д»1' дв ' Рнс. 118 дф дф х= —, у= —. дч дВ (118,4) Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функция у(ть 8) (ио не х(т), 8) ) тоже удовлетворяет уравнению Эйлера — Трикоми. Имея это в виду, можно написать якобиан пре- ') Слова «пебольшзя область» не следует, разумеется, понимать буквзльно. Речь может идти и об исследовании окрестности бесконечно удален.
Чоа точки, т.е. о течении нз достаточно больших расстояниях от обтекаемого тела. ') Мы опустили в правых сторонах рззенствз множители !)с«; зто ознз. чает лишь замену фуикпня Ф не с«Ф, не меияюп)ую урзвиения (118,2) н потому всегдя допустимую, Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего мно- дсителя (2а,)нз, мы будем ниже, в Ц 118 — 121, пользоваться вместо координаты х величиной х(2сз,)-ыз, обозначая ее той же буквой х.
Тогда плоскок ткчииив сжимлвмого глзл )гл. хп 6!6 4Ч' 5=! — —., 90э ' Ф=о 7 6), где й — постоянная (степень однородности функции Ф по отношению к указанному преобразованию). Переменную $ мы выбрали такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходящих через точку т) = 0=0. Сделав подстановку, получим для функции Я) уравнение $(1 — $)1 +~6 2й — Ц г 2й)~~' — й(й 9)~=0. Это — частный случай гипергеометрического уравнения, С помощью известного выражения для двух независимых интегралов гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при иецелом числе 2й+ 1/6) в виде Фа О )!АР( й й+Т Ой+ 6' 1 90 г!+ таг I ! 5 4яак +В(1 — эва) Р(,й+ 6, й+ з, 2й+ 6, 1 — 902Б (118,8) С помощью известных соотношений между гипергеометрически! ! а ми функциями от аргументов г, —, 1 — г, —, — можно а' ! — а ! — а представить это решение еще в пяти других видах; при исследовании различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми этими видами ').
Мы приведем здесь лишь следующие два ') Соответствующие формулы можно найти, например, в ке Математического приложения в )!!. Пользуемся случаем исправить опечатку в формбчле (е, 9) этого параграфа: во втором члене должен стоять множитель а (вместо ао т). образования из физической плоскости в плоскость годографа в виде д 0 — — Фчв — ФччФев (,а ) т)),д0) ' (118,5) Как уже сказано, уравнение Эйлера — Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрестности начала координат в плоскости т), О. В физически интересных случаях эта точка представляет собой особую точку решения. В связи с этим особое значение приобретает семейство частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, облада!оп;их определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным Оа и т)а! такие решения должны существоватгь поскольку преобразование Оа- аОа, т)а — ~-ат)а оставляет инвариаитным уравнение (118,2).
Будем искать этн решения в виде 9 !!8! УРАВКЕИИЕ ЗИЛЕРА — ТРИКОМИ 017 нида Ф, =Они ~АВ ~ — й. — й+ —,', — ,'; ф)+ 90' ФА=Ч "~АР~ — !8, — и+ з, 2, 418)+ 0 1 5 3 90! тт +  —.р~ — /т+ —, — й+ —, —; — ц (1!8,8) Зм 2 6' 2' 4ЧЗЯ (постоянные А, В в формулах (1!8,6 — 8), конечно, не совпадают). Из этих выражений сразу следует важное сиойство функций Фы не видное непосредственно из выражения (118,6): линии т1=0 и 0=0 не являются их особыми линиями (из (118,7) видно, что вблизи т! = О Фа разлагается по целым степеням 81, а из (118,8) — то же самое по О). Из выражения же (118,6) видно, что характеристики, напротив, являются особыми линиями общего (т. е.
содержащего обе постоянныс А и В) однородного интеграла Фа уравнения Эйлера — Трикоми: прн нецелом 2й + 1/6 точками разветвления обладает множитель (908 — 4818)~~~'~, а при целом 2и+ 1/6 один из членов в (118,6) вообще теряет смысл ') (либо при 2й+ 1/Б = О совпадает с другим) и должен быть заменен вторым независимым решением гипергеометрического уравнения, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую особенность.
(118,7) Между интегралами Фа с различными значениями й имеются следующие соотношения: Фа = Ф и иа(908 — 4т18) ~ ч", (118,9) Фа-па = л0 . (118,10) аф, Первое следует непосредственно из выражения (118,6), а второе — из того, что функция дФА/дО удовлетворяет уравнени!о Эйлера — Трикоми и имеет Рис. 119 ') Напомним, что ряд Р(сс, р, т; а) при т = О, — 1, — 2, ... таряст смысл. ту же степень однородности, что и Фа ит. В этих формулах под ФА подразумевается, конечно, общее выражение с двумя произвольными постоянными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
