Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Пусть интересующая нас область 1 плоскости х, 1 граничит справа с областью 2 постоянного течения (рис. 88). В последней, очевидно, постоянны оба инварианта У+ и У, а оба семейства характеристик прямолинейны. Граница между обеими областями есть одна из характеристик С+, и линии СР одной области не переходят в другую область, Характеристики же С непрерывно продол-. е |о«1 инаяииднты РимАнА 549 жаются из одной области в другую и, покрывая область 1, приносят в нее из области 2 постоянное значение У . Таким образом, величина У будет постоянна и вдоль всей области !, так что последняя есть простая волна.
Свойство характеристик переносить вдоль себя постоянные значения определенных величин проливает свет на общую постановку вопроса о задании начальных и граничных условий ~ яро«тася асака ~ к уравнениям гидродинамики, с+ В различных конкретных физических задачах выбор этих условий обычно не вызывает сомнений и диктуется непосредственно физическими соображениями. В более сложных случаях могут, однако, оказаться полезными и чисто математические соображения, основанные на обРис.
88 щих свойствах характеристик. Будем для определенности говорить об изэнтропическом одномерном движении газа. С чисто математической точки зрения постановка газодииамической задачи сводится обычно к определению двух искомых функций (например, и и р) в области плоскости х, ~, лежащей между двумя заданными кривыми (ОА и ОВ на рис. 89,а), на которых задаются граничные значения. оаяояеае меепята 3 Л )аед (вел, ааал.
2азл. Рис. 89 Вопрос заключается в том, значения скольких величии должны быть заданы на этих кривых. В этом смысле существенно, как расположена каждая кривая по отношению к направлениям исходящих') из каждой ее точки двух ветвей характеристик С+ и С (показанным на рис.
89 стрелками) айогут представиться два случая: либо оба направления характеристих лежат по одну сторону от кривой, либо кривая расположена между ними. На рис. 89, а кривая ОА относится к первому, а ОБ — ко второму случаю. Ясно, что для полного определения искомых функций ') В плоскости к, ! «аскодяитиаи» из задзииоа точки ветвями карактеристик являя»тая витай, иаирзвлеаиые в стороиу возрзстаиия Ь ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ. х в области АОВ на кривой ОА должны быть заданы значения двух величин (например, обоих инвариантов У+ и У ), а на кривой О — всего одной.
Действительно, значения второй величины будут перенесены на кривую ОВ с кривой ОА характеристиками соответствующего семейства и потому ие могут быть заданы произвольным образом'). Аналогично, на рис. 89,б,в изображены случаи, когда на обеих граничных кривых должны быть заданы по одной или по две величины. Следует также указать, что если граничная кривая совпадает с какой-либо характеристикой, то на ней вообще невозможно произвольное задание двух независимых величин, так как их значения связаны друг с другом одним условием — условием постоянства соответствующего инварианта Римана. Аналогичным образом может быть разобран вопрос о задании граничных условий в общем случае неизэнтропического движения. Выше мы говорили Везде о характеристиках одномерного движения как о линиях в плоскости х, Г.
Характеристики могут, однако, быть определены и в плоскости любых других двух переменных, описывающих движение. Можно, например, рассматривать характеристики в плоскости переменных и, с. Для изэнтропического движения ураинения этих характеристик даются про- сто равенствами У+ — — соп51, У с соп51 с произВольными по- 7~ у' стоянными в их правых частях (будем называть их условно характеристиками Г+ и Г ). Так, для политропного газа это есть согласно (104,3) два семейства и параллельных прямых (рис.
90). Рнс. 90 Замечательно, что эти харак. теристики всецело определяются свойствами движущейся среды (газа) как таковой и не зависят от конкретного решения уравнений движения. Это связано с тем, что уравнение изэнтропического движения в переменных О, с есть (как мы увидим в следующем параграфе) линейное уравнение в частных производных второго порядка с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных. Характеристики в плоскостях х, Г и и, с являются отображениями друг друга с помощью заданного решения уравнений ') Для нллюстрапнн укажем пример такого случая. задача о движении газа прн вдвнганнн нлн выдвнганнн поршня нз бесконечной трубы. Здесь речь идет о нахождении решенкя газодннамнческнх уравненнй в областн плоскости х, Г между двумя лнннямн; правой полуосью х н линней х = Х(Г), нзображаюшей двнженне поршня (рнс.
86, 8у). На первой линии задаются знвчення двух велпчнн (начальные условия и = О, р = р, прн т = О), а на второй — всего одной велнчнны (и = и, где м(() — скорость поршня). пеоизвольнои одномигнои движении $10и движения. Это отображение, однако, отнюдь не должно быть взаимно однозначным. В частности, заданной простой волне соответствует всего одна характеристика в плоскости о, с, на которую отображаются все характеристики плоскости х, Б Так, для волны, бегущей вправо, это есть одна из характеристик Г '; характеристики С отображаются на всю линию Г, а характеристики Сь — на отдельные ее точки.
й 106. Произвольное одномерное движение сжимаемого газа Рассмотрим теперь общую задачу о произвольном одномер. ном изэнтропическом движении сжимаемого газа (без ударных волн) и покажем прежде всего, что эта задача может быть сведена к решению некоторого линейного дифференциального уравнения. Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от одной пространственной координаты) непременно потенциально, так как всякую функцию о(х, 1) можно представить в виде производной о(х, ~)= дф(х, г)~дх. Поэтому мы можем воспользо; ваться в качестве первого интеграла уравнения Эйлера уравнением Бернулли (9,3): дч и — + — +ю=б. дГ 2 С помощью этого равенства получаем для дифференциала дф: дф дч г р2 с(ф = — Ых + — й = о Ых — ( — + гв) Й.
дх дГ (, 2 Независимыми переменными являются здесь х и ~; произведем теперь переход к новым независимым переменным, выбрав в ка'- честве таковых о и гв. Для этого производим преобразование Лежандра; написав йр=д(хп) — хд~ — д~~ ( + — ')~+ь((~+ — ") и введя вместо потенциала ф новую вспомогательную функцию Х=ф — хо+С(м+ — ", ), получаем: ~тХ= — хпп+М(в+ — ) =~Игл+(п~ — х) Ип, где Х рассматривается как функция от о и гв.
Сравнив это соотношение с равенством 4~= — -Йз+ — по, имеем: дХ дХ дэ до И вЂ” к=в дх дм ' ди '. ОднОмеРнОе дВижение сжнмхгмого гхзх (гл. х — х=п — — —. дх дх дх (105,1) дв' дв до' Йсли функция )((о, и) известна, то по этим формулам определится зависимость и и в от координаты х и времени 1.
Выведем теперь уравнение, определяющее у. Для этого исходим из неиспользованного еще уравнения непрерывности дР д др др да — + — (рп)= — + и — + р — =О. а) ах = аС дх ах Преобразуем это уравнение к переменным о, в. Написав частные производные в виде якобианов, имеем: д(р, х) д(д р) д(д о) или, умножая на д(1,х)/д(в, р): д(р, х) д(ь р) д(Д о) При раскрытии этих якобианов надо иметь в виду следуюшее. Согласно уравнению состояния газа плотность р есть функция каких-лнбо двух других независимых термодинамических величин; например, можно рассматривать р как функцию от в и з.
При з = сопз1 тогда будет просто р = р(ю); существенно прн этом, что в переменных о, и плотность оказывается не зависящей от о. Раскрывая якобианы, получаем поэтому др дх др д( д) — — — и — — +р — =О. дв до дв до дв Подставляя сюда для ( н х выражения (105,1), получаем после сокрашений: др Г аХ д'Х~ аоХ р дв (. дв до' ) дв' При з = сопз1 имеем йо =Ыр/р. Поэтому можно написать др др д р дв др дв с' Окончательно получаем для х следующее уравнение: д'х д'х дх с~ — — — + — = 0 дв' до' дв (105,2) (скорость звука с надо рассматривать здесь как функцию от ю).
Задача об интегрировании нелинейных уравнений движения приведена, таким образом, к решению линейного уравнения. Применим полученное уравнение к политропному газу. Здесь ра (у — 1)в, н основное уравнение (105,2) принимает вид (105,3) % кв! ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Это уравнение может быть проинтегрировано в общем виде элаз — у ментарным образом, если число — является целым четным у †! числом: — =2а, у=, П=О, 1, 2, ... (106,4) З вЂ” у в+2л у — ! ' Ел+1 Этому условию как раз удовлетворяют одноатомный (у =5/3, п = 1) и двухатомный (у = 7/5, и = 2) газы.
Вводя и вместо у, переписываем (105,3) в виде 2 д'х д'х дх — по — — — + — = О. 2л + ! доло дло доо (105,6) Будем обозначать функцию, удовлетворяющую этому уравнению пРи заданном и, посРедством Х„. ДлЯ фУнкции Хо имеем! 2по — — — + — = О.
д'Хо д'Хо дХо доло дло доо Введя вместо но переменную и = т/2по, получаем: д'х д'х — — — = О. ди' дл' (106,6) Покажем теперь, что если известна функция Х„, то функцию Хлн можно получить простым дифференцированием. В самом деле, дифференцируя уравнение (105,5) по по, получаем после перегруппировки членов: 2.+! дол!ад )+ Ел+! ди (д ) д (д ) Если ввести вместо о переменную 2л+ 3 2л+ ! то получим для дХ„/дпо уравнение совпадающее с уравнением (105,5) для функции Х.+о(но, а').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
