Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Покажем, как осуществляется решение поставленной таким образом задачи. Подобно тому, как это было сделано в $106, введем безразмерные неизвестные функции согласно определениям о = — 1~(6), р=р,бф, с«= —,' 2(е), (107,2) где г г $— (107,3) л( Оа (при а = 2/5 определения (107,2) совпадают с (106А)). Напомним, что о — радиальная скорость газа относительно неподвижной системы координат, связанной с неподвижным газом внутри сферы г = 7(ы газ движется вместе с ударной волной по направлению к центру, чему отвечает о ( 0 (так что р(К) ) 0). Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области г — 14 позади ударной волны, и к достаточно малым временам ( (при которых )7 « Я«). Но формально получаемое решение охватывает все пространство г= 14 — от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена ( ( 0; при этом переменная $ пробегает все значения от 1 до со.
Соответственно, граничные условия для функций 6, У, Я должны быть поставлены при $ ! и 6 = Ро. % 1от1 СХОНЯШАЯСЯ СФВРНЧИСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА заэ После подстановки (107,2 — 3), система уравнений (106,7) принимает вид У( — ' — У), (107,5) У Л Н1пп ! с(2 2 пй т п!п$ т ы(пй т ау К(ВС вЂ” — (1 — У) с( 1и $ и 1и 2 = — ЗУ, ) с и' 1и о ох 22 (1/а — У) (у — 1г„,„ (последние два уравнения — ср. с (106,9) ).
Отметим, что независимая переменная $ входит в эти уравнения только в виде дифференциала т(!пК; постоянная !пА при этом выпадает из уравнений вовсе и, следовательно, остается неопределенной — в соответствии со сказанным выше. Коэффициенты при производных в уравнениях (107,5) и их правые части содержат только У и с (но не Ат)!). Решив эти уравнения относительно производных, мы выразим последние через эти две функции. Таким образом, получим уравнения Н (и Х Л вЂ” (1 — УП (107;6) с(У (ЗУ вЂ” и) Л вЂ” У (1 — У) (!/а — У) ' (1 — У) — = ЗУ (107,7) ~~$ 2 — (! — У)' (где и = 2(1 — а)/сту).
В качестве же третьего напишем уравнение, получающееся делением производной Ы/п(1п й на с/У7с(1п $; оно гласит: с(2 л 1 12 — (1 — У)'1 12/а — (зт — 1) У) с(У 1 — У 1 (3$' — и) Л вЂ” У (! — У) (1/а — У) т 1 ' + — 1 1. (107,8» Если найдено нужное решение уравнения (107,8), т, е. функциональная зависимость Я(У),то после этого решение уравнений (!076 — 7) (нахождение зависимости ЦУ) и затем 6($)) сводится к квадратурам. ') Именно в этом состоит преимущество введения в киче"тве основных переменных и, р, с' вместо о, р, р.
Значение к = 1 от ьечает поверхности ударной волны; граничные условия на ней совпадают с (106,6). Для установления условий на бесконечности (по $) замечаем, что при /=О (в момент фокусировки волны) все величины о, р, св на всех конечных расстояниях от центра должны оставаться конечными. Но при /=О, СФ 0 переменная $= со. Для того чтобы функции о(г, /) и с'(ц /) при этом оставались конечными, функции У($) и Я($) должны обращаться в ноль, У(оо)=0, 7(оо)=0. (107,4» ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ, Х йбв Таким образом, вся задача сводится прежде всего к решению уравнения (107,8). Интегральная кривая на плоскости У, 2 должна выходить из точки (назовем ее точкой У) с координатами У(1), 2(1) — «образа» ударной волны на плоскости У, 2.
Указанием этой точки уже определяется решение уравнения (107,8) (при заданном а): интегральная кривая уравнения первого порядка однозначно определяется заданием одной (не осо- бой) ее точки. Выясним условие, позво- )7 ляющее установить значение сз, приводящее к «правильной» интегральной кривой. л Это условие возникает из очевидного физического требования: зависимости всех величин от $ должны быть однозначны! ми — каждому значению $ должны отвечать единственные значения У, О, 2. Это значит, что во всей области изменения переменной $ (1 < $ < оо, т. е.
0 <1и $ < < оо) функции $(У), $(о), Ц2) не должны иметь экстремумов. Другими словами, производные д 1п $/с(У, ... должны ! нигде не обращаться в нуль. На рис, 95 кривая 1 †парабо 2 =(1 — У)з. (107,9) Ряс. 95 Легко видеть, что точка У лежит над ней'). Между тем, интегральная кривая, отвечающая решению поставленной задачи, должна прийти в начало координат — в соответствии с предельным условием (107,4); поэтому она непременно пересекает параболу (107,9). Но все указанные производные выражаются, согласно (107,6 — 8), дробными выражениями, в числителе которых стоит разность 2 — (1 — У)'.
Для того чтобы эти выражения не обращались в нуль в точке пересечения интегральной кривой с параболой (107,9), должно одновременно быть (ЗУ вЂ” н) 2 = У(1 — У) (1/а — У). (107,10) Другими словами, интегральная кривая должна проходить через точку пересечения параболы (107,9) с кривой (107,10) (кривая 2 на рис. 95); эта точка — особая точка уравнения (107,8) (производная с(2/с(У = О/0).
Этим условием и определяется значение показателя автомодельности нп приведем два значения, получающиеся в результате численных расчетов: а 0,6884 при у = 5/3; а = 0,7172 при т = 7/5. (107,11) ') Это обстоятельство выражает собой просто тот факт, что скорость газа нз задней стороне поверхностн разрыва меньше скорости звука в нен. сходящаяся соигичгскля кдхгыхя волна 567 э !07! Пройдя через особую точку, интегральная кривая устремляется в начало координат (точка О), отвечающее предельным значениям (107,4). Для уяснения математической ситуации, опишем кратко картину распределения интегральных кривых уравнения (107,8) на плоскости У, л (при «правильном» значении а), не проводя соответствующих вычислений '). Кривые (107,9) и (107,10) пресекаются, вообще говоря, в двух точках — кружки на рис.
98 (помимо несущественной точки У = 1, Е = 0 на оси абсцисс). Кроме того, уравнение имеет особую точку с в пересечении кривой (107,10) с прямой (87 — 1) У = 2/сх (обращение в нуль второго множителя в числителе в (107,8)). Точка а, через которую проходит «правильная» интегральная кривая — точка типа седла; точки Ь и с — узлы. Узловой особой точкой является также и начало координат О.
Вблизи последнего уравнение (107.8) принимает вид л'2 22 ор У+и2 ' Элементарное интегрирование этого однородного уравнения показывает, что при У-~-0 функция Я(У) стремится к нулю быстрее, чем У, а именно Я сон а( Уа. (У07,12) Таким образом, из начала координат выходит бесконечное множество интегральных кривых (отличающихся значением сонэ( в (107,12)). Все эти кривые входят затем в узел Ь или узел с— аа исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна нз двух сепаратрис — единственных интегральных кри.вых, проходящих через седло)').
Началу координат отвечает $ = оо, т. е. момент фокусировки ударной волны в центре. Определим предельные распределения всех величин по радиальным расстояниям в этот момент. С учетом (107,12) нз уравнений (107,8 — 7) найдем, что У=сопз1 $ ', Я=сонэ( $ ~', 0=сонэ( прн й-+оо (107,13) (эначения постоянных коэффициентов могут быть найдены только путем фактического численного определения интегральной ') Исследование производится общимн методами качественной генрик. днфференпиальных уравнений.
Клвссификайию типов особых точек уравнения первого порядка можно найти в кинге: В. В. Степанов, Курс дифферендиальных уравнений, глава П. Описанная картина, как оказывается, имеет место лишь при т ( т~ =. Ц 7 .. Прн т = т, и «правильном» а точки а и Ь сливаются, а при т ) у, картина распределения интегральных кривых меняется и требуется более глубокое исследование. Напомним, однако, что в физически реальных елучаях т < 5/3 (ср. примечание на стр.
562). ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА <ГЛ. Х кривой на всем се протяжении). Подставив эти выражения в оп- ределения (107,2), получим ') 1о(оо с с«т Г-<и -и р= сопз1, р со Г-'< / -'>. (107,14) Эти законы можно было бы найти и прямо из соображений размерности (после того, как стала известной размерность А). В нашем распоря>кении имеется два параметра, р, и А, и одна переменная Г; из них можно составить всего одну комбинацию размерности скорости: А'/ Г>-по; величиной же с размерностью плотности является лишь само р,.
Найдем еще закон, по которому меняется со временем полная энергия газа в области автомодельного движения. Размеры (по радиусу) этой области — порядка величины радиуса ударной волны и уменьшаются вместе с иим. Примем условно за границу автомодельной области некоторое определенное значение ГЯ = йь Полная энергия газа в сферическом слое между радиусами Я и 5Я после введения безразмерных переменных выражается интегралом ь Е„,= — ф — ~ 0 ~ — + ~4п$тг/$ > (ср. (106,11)).
Интеграл здесь — постоянное число'). Поэтому находим, что (107,15) Для всех реальных значений у, показатель степени здесь положителен. Хоти ингенсивность самой ударной волны растет по мере ее приближения к центру, но в то же время уменьшается объем области автомодельного движения и это приводит к уменьшению полной заключенной в ней энергии. После фокусировки в центре возникает «отраженная» ударная волна, расширяющаяся (при /) О) навстречу движущемуся к центру газу. Движение в этой стадии тоже автомодельно, стем же показателем автомодельиости а, так что закон расширения й> со <". Более подробным исследованием этого движения мы здесь заниматься не будем ').
Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомодельного движения, в котором, однако, показатель автомодельности (т. е. вид автомодельной переменной $) не может быть ') Предельное значение отношения р/р1 в момент фокусировки равно 20,< для у = 7/5 и 9,55 для у =- 5/3. ') Интеграл расходится прн й~ се. Это обстоятельства — следствие неприменимости автомодельиого режима иа расстояниях г Ъ /<. ') Укажем лишь, что отражение ударной волны сопровождается дальней.
шнм сжатием вещества, достигающим <45 для т 7/5 и 32,7 для у = 5/3. ТЕОРИЯ МЕЛКОВ НОДЫз й !ОН! определен из соображений размерности; ои определяется лишь. в результате решения самих уравнений движения, с учетом условий, диктуемых физической постановкой задачи. С математической точки зрения характерно, что эти условия формулируются как требование прохождения интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка через его особую точку.
При этом показатель автомодельности оказывается, вообще говоря, иррациональным числом '). $108. Теория «мелкой водыв Замечательную аналогию движению сжимаемого газа представляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточно мала (мала по сравнению с характеристическими размерами задачи, например, по сравнению с размерами неровностей дна водоема). В этом случае поперечной компонентой скорости жидкости можно пренебречь по сравнению с продольной (ндоль слоя) скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль толщины слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
