Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 3

Как известно, все термодинамические величины определяются по значениям каких-либо двух нз них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости ч, давления р и плотности р, полностью определяет состояние движущейся жидкости.

Все эти величины являются, вообще говоря, функциями коорр динат х, у, г и времени 1. Подчеркнем, что н(х, у, г, ~) есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, г пространства ') Мы,оворнм здесь н ниже для краткости только о жидкости, имея врн атом в виду как жидкости, так я газы, ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ [гл. ! в момент времени 1, т.

е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем в пространстве; то же самое относится к величинам р, р. Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике. Рассмотрим некоторый объем У, пространства. Количество (масса) жидкости в этом объеме есть ~ р гПг, где р есть плотность жидкости, а интегрирование производится по объему го.

Через элемент М поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, в единицу времени протекает количество рчЛ жидкости; вектор Л по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Условимся направлять Л по внешней нормали. Тогда рчЛ положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если жидкость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема Рв есть, следовательно, ф рчйЕ, — д ~р'Г~ Приравнивая оба выражения, получаем: — ~ р ФР= — $ртЛ. д Г дГ з П,!) Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему: $ р» Л ~ б1ч ру ИР.

Таким образом, 1(+, '+б) рч)~и=и Поскольку это равенство должно иметь место для любого объема, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем. С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объеме кзможно написать в виде УРАВНЕНИЕ ЭИЛЕРА т. е. Р + йч рч = О. др дГ (1,2) Это — так называемое уравнение непрерывности. Раскрыв выражение йчрч„(1,2) можно написать также в виде дг + Р йчч+ ч йгад Р=О. др (1,3) Вектор (1,4) )= рч называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через единицу плошади, расположенной перпендикулярно к скорости.

ф 2. Уравнение Эйлера Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем: — $ рд1= — ~ угад рЛ'. пе р — = — цгаб р. И (2,1) Стоящая здесь производная дч/а1 определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в про- Отсюда видно, что на каждый элемент объема д(т жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила — др пгад р, Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила — цгад р.

Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу — игад р произведению массы р единицы объема жидкости на ее ускорение дч/аГ: 1гл. Г ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ странстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относягциеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение стч скорости данной частицы жидкости в течение времени стс складывается из двух частей: нз изменения скорости в данной точке пространства в течение времени с(1 и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием стг, пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени Ж. Первая из этих частей равна — с(г дч дс где теперь производная дч/д1 берется при постоянных х, у, г, т. е.

в заданной точке пространства. Вторая часть изменения скорости равна с(х — + с(у — + стг — =(дгЧ)т. дч дч дч дк ду дк Таким образом, с(ч = — с(с + (асг Ч)» или, разделив обе стороны равенства на пт'), дс + (ФЧ) ч' йч дч (2,2) Подставив полученное соотношение в (2,!), находим: — +~(ттЧ) ч = — — йтаб р. дч 1 де Р (2,3) — +(ЕЧ) = — — + а.

дч чр де Р (2,4) ') Определенную такам образом пронзводную ййн называют субстанциональной, подчеркивая тем самым ее связь с перемещаюшнмсп аешеством. Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Д. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера и является одним из основных уравнений гидродинамики. Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила Рп, где и есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой сторопе уравнения (2,1), так что (2,3) приобретает вид УРАВНЕНИЕ ЭИЛЕРА Прн выводе уравнений движения мы соверщенно не учитывали процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками.

Поэтому все излагаемое здесь и в следующих параграфах этой главы относится только к таким движениям жидкостей н газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости. Отсутствие теплообмена между отдельны222и участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит аднабатически, причем адиабатнчески в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое. При аднабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве, Обозначая посредством з энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением — =О аз П2 (2,5) — + удгадз=О. д» З2 (2,6) Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости.

С помощью (1,2) его можно на- писать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии »2 + о(у (рзу) О о(Р) (2,7) Произведение рзу представляет собой плотность потока энтропии. Обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой н неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде (2,8) где полная производная по времени означает, как и в (2,1), из- менение энтропии заданного перемещающегося участка жидко- сти.

Эту производную можно написать в виде идехльнхя жидкость !в [гл. т что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим. Изэнтропичностью движении можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение движения (2,3) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением йо = Т Нэ -1- У др, где и! — тепловая функция единицы массы жидкости, У = 1/р— удельный объем, а Т вЂ” температура. Поскольку з = сопз1, имеем просто йи!=УЫр = — Ыр, ! Р и поэтому ! — чр= 7иь Р Уравнение (2,3) можно, следовательно, написать в виде — + (чч) ч = — огай и.

дч ш (2,9) Полезно заметить еше одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит только скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа — угад о'= [ч го! ч]+ (чч) ч, можно написать (2,9) в виде дч г О2х — — (чго! ч) = — нгаб ~в+ — ). ш з) (2,10) Применив к обеим сторонам этого уравнения операцию го1, получим уравнение — го! ч= го(~(что! ч), д (2,! 1) содержашее только скорость. К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках.

Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА компонента скорости жидкости: ол = О (2,! 2) (в общем же случае движущейся поверхности о„должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности). На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раз.

дела). Как уже было указано в начале 5 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами; тремя компонентами скорости и и, например, давлением р и плотностью р. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее аднабатичность движения. Задача Написать уравнения одномерного течения идеальной жидкости в переменных а, й где а есть х-координата частиц жидкости в некоторый момент времени г = ге (так называемая переменная Лагранжа) ').

Решение. В указанных переменных координата х каждой частицы жидкости в произвольный момент времени рассматривается как функция т и се же координаты а в начальный момент: х = х(а, г). Условие сохранения массы элемента жидкости прн его движении (уравнение непрерывности) капишется соответственно в виде р йх = рз да, или р( ) — ра.

где рз(а) есть заданное начальное распределение плотности. Скорость жидкой т дхх ГдоЧ частицы есть, по определению, о = ( — ), а производная ( — ) определяет 'ч дт ла' д) а изменение со временем скорости данной частицы по мере ее движения. Уравнение Эйлера напишется в виде а уравнение адиабатнчности; ') Хотя эти переменные н принято называть лагранжевыми, ио в действительности уравнения движения жидкости в этих координатах были впервые получены Л. Эйлером одновременно с основными уравнениями (2,3), ИДКАЛЬНАЯ ЖНДКОСТЬ 1гл 1 20 ф 3, Гндростатнка Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера (2,4) принимает вид угад р = рп. (3,1) Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.