Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 4

(Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто 7р = О, т. е. р = сопз1,— давление одинаково во всех точках жидкости.) Уравнение (3,1) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной во всем ее объеме, т е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Направляя ось з вертикально вверх, имеем: др др др — = — =О, — = — ра, дх ду ' дз Отсюда р = — рдз+ сопз1. Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте Ь), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление рч, то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью з = й.

Из условия р = рч при з = й имеем сопз1 = ра + рай, так что (3,2) р = рч+ рй(Ь вЂ” з). Для больших масс жидкости или газа плотность р нельзя, вообще говоря, считать постоянной; это в особенности относится к газам (например, к воздуху). Предположим, что жидкость находится не только в механическом, но и в тепловом равновесии. Тогда температура одинакова во всех точках жидкости, и уравнение (3,1) может быть проинтегрировано следующим образом. Воспользуемся известным термодинамическим соотношением НФ = — зНТ+ г'с1р, где Ф вЂ” термодинамический потенциал, отнесенный к единице массы жидкости.

При постоянной температуре дФ= Р1(Р = — ЫР. 1 Р 1 Отсюда видно что выражение — 7р можно написать в рас Р Гидгостхтихх сматриваемом случае как УФ, так что уравнение равновесия (3,!) принимает вид 7Ф=д. Для постоянного вектора д, направленного вдоль оси г (в отри- цательном ее направлении) „имеет место тождество Таким образом, откуда находим, что вдоль всего объема жидкости должна быть постоянной сумма Ф + дг = сопз(; (3,3) 1 Кр р= а2 (3,4) тоже является функцией только от г.

Но давление и плотность однозначно определяют температуру в данной точке тела, Следовательно, и температура должна быть функцией только от г. Таким образом, при механическом равновесии в поле тяжести распределение давления, плотности и температуры зависит только от высоты. Если же, например, температура различна в разных местах жидкости на одной и той же высоте, то механическое равновесие в ней невозможно. Наконец, выведем уравнение равновесия очень большой массы жидкости, части которой удерживаются вместе силами гравитационного притяжения (звезда). Пусть ~р — ньютоновский гравитационный потенциал создаваемого жидкостью поля.

Он удовлетворяет дифференциальному уравнению Лф = 4пбр, (3,5) где б — гравитационная постоянная. Напряженность гравитационного поля равна — пгабф, так что сила, действующая па представляет собой потенциальную энергию единицы массы жидкости в поле тяжести. Условие (3,3) известно уже из статистической физики как условие термодинамического равновесия системы, находящейся во внешнем поле. Отметим здесь еще следующее простое следствие из уравнения (3.1). Если жидкость или газ (например, воздух) находятся в механическом равновесии в поле тяжести, то давление в них может быть функцией только от высоты г (если бы на данной высоте давление было различно в различных местах, то возникло бы движение).

Тогда из (3,1) следует, что и плотность ИДГАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ [гл. ! на массу р, есть — рдглб~р. Поэтому условие равновесия будет цгад р = — р йтад ф. Разделив это равенство на р, применив к обеим его сторонам операцию г((ч и воспользовавшись уравнением (3,5), получим окончательное уравнение равновесия в виде г)1ч ( — йтад р) = — 4пбр. Г! Р (3,6) й 4. Условие отсутствия коивекции Жидкость может находиться в механическом равновесии (т.е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение (3,1), являющееся условием механического равновесия, может быть удовлетворено н при непостоянной температуре в жидкости.

Прн. этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение носит название конвенции. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции.

Оно может быть выведено следуюшим образом. Рассмотрим элемент жидкости, находяшийся на высоте л и обладающий удельным объемом У(р, з), где р и з — равновесные давление и энтропия на этой высоте. Предположим, что этот элемент жидкости подвергается адиабатическому смещению на малый отрезок $ вверх; его удельный объем станет при этом равным У(р', з), где р' — давление на высоте г+ к, Для устойчивости равновесия необходимо (хотя, вообше говоря, и не достаточно), чтобы возникающая при этом сила стремилась вернуть элемент в исходное положение.

Это значит, что рассматрн. Подчеркнем, что здесь идет речь только о механическом равновесии; существование же полного теплового равновесия в уравнении (3,6) отнюдь не предполагается. Если тело не вращается, то в равновесии ово будег иметь сферическую форму, а распределение плотности и давления в нем будет центрально-симметричным. Уравнение (3,6), папи; санное в сферических координатах, примет прн этом вид 1 к гг' лрх — — ~ — — ) = — 4пстр. г' лг а Нг (3 7) УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ КОНВЕКПИИ эо Разлагая эту разность по степеням р 22 з — з= — $ э получим: (4,1) Согласно термодинамическим формулам имеем: где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Теп- лоемкость ср, как и температура Т, есть величина всегда поло- жительная; поэтому мы можем переписать (4,1) в виде (4,2) Большинство веществ расширяется прн нагревании, т. е.

( ) — > О; тогда условие отсутствия конвекцни сводится к не- дУК дГ )р равенству (4,3) т. е. энтропия должна возрастать с высотой. Отсюда легко найти условие, которому должен удовлетворять дт Ыз градиент температуры —. Раскрыв производную —. пишем: д2 22 ' Наконец, подставив согласно (3,4) лр я Иа У' получим~ лт арт ( ° Ва Рр ' (4,4) ваемый элемент должен оказаться более тяжелым, чем «вытесненная» им в новом положении жидкость. Удельный объем последней есть у'(р', з'), где у' — равновесная энтропия жидкости на высоте г+ $. Таким образом, имеем условие устойчивости У(Ф', з') — У(а', з) ) О. ИЛЕАЛЬИАЯ ЖИДКОСТЬ )гл.

1 й 5. Уравнение Бернулли Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумева!от такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени. Другими словами, и является функцией одних только координат, так что дч/д! О. Уравнение (2,10) сводится теперь к равенству — йтад о — (и го1 и) = — йтас) тв.

2 2 (5,1) Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени; они определяются системой дифференциальных уравнений Нх НР п2 од оя еа При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеется, не имеет места: касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение (5,1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозначим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению. По- ') Для воды при 20 "б значение в правой части (4,4) составляет около !' на 6,7 нм; для воздуха значение в правой части (4,0) составляет около 1' на 100 метров. 1 га~Х где р = — ( — ) — температурный коэффициент расширения. )т (,дТ )я Если речь идет о равновесии столба газа, который можно считать идеальным (в термодинамическом смысле слова), то ))Т = 1 и условие (4,4) принимает вид — — < —.

дт й (4,5) Н2 Ср Конвенция наступает при нарушении этих условий, т. е. если температура падает по направлению снизу вверх, причем ее градиент превышает по абсолютной величине указанное в (4,4 — 5) значение'). ПОТОК ЭНЕРГИИ $ е! этому искомая проекция от пгас( Гв есть дтн/д1. Что касается вектора ]чго1ч], то он перпендикулярен к скорости ч, и потому его проекция на направление 1 равна нулю. Таким образом, из уравнения (5,1) мы получаем: Э!1 2 +ю) О. е' Отсюда следует, что величина — +ю постоянна вдоль линии 2 тока: е" — + ю= сопя(.