Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 5

(5,3) Значение сопз1, вообще говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5,3) называют уравнением Бернулли ') Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (5,1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести и. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси г, причем положительные значения г отсчитываются вверх. Тогда косинус угла между направлениями и и 1 равен производной — с(г/с(1, так что проекция и на 1 есть л'е Я нч ' Соответственно этому будем иметь теперь —,', Я+ +а.)=о.

Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остается постоянной сумма о' + Гв + йг = сопз1. 2 (5,4) ое р — +па, 2 где первый член есть кинетическая энергия, а второй — внутренняя энергия (е — внутренняя энергия единицы массы жидкости). ~) Оно было установлено дла несжимаемой жидностн (см. $10) Д. Бернулли в!738 г. $6. Поток энергии Выберем какой-нибудь неподвижный в пространстве элемент объема и определим, как меняется со временем энергия находящейся в этом объеме жидкости. Энергия единицы объема жидкости равна ипеАльнАЯ жидкость [ГЛ.

! Изменение этой энергии определяется частной производной д! ( 2 +Р') Для вычисления этой величины пишем: д рю' в! др дв — — = — — +рч— д! 2 2 д! ' д! илн, воспользовавшись уравнением непрерывности (1,2) и уран. пением движения (2,3), д рв' в! — — = — — йчрч — ч афтаб р — рч (чЧ) ч.

д! 2 2. В последнем члене заменяем ч(чЧ)ч = '/,чЧов, а градиент давления согласно термодниамическому соотиошенив в(ср = Т!(з+. +'Ир/р заменяем иа рЧш — рТЧз и получаем: д рв' р' . г в' з — — = — — йч рч — рчЧ (ш + — ) + рТч Чз. д! 2 2 (, 23 Для преобразования производной от ре воспользуемся термо. динамическим соотношением Ые= Тпз — де(У ~ Т Из +-ч в(р. р Имея в виду, что сумма е+ р/р = е+ рУ есть ие что иное, как тепловая функция в единицы массы, находим: !((ре) = е Ыр+ре(е = шЫр+ рТ!Й, н потому — = се — + рТ вЂ” = — ср йч рч — рТч Чз.

д (рв~ др дв д! д! д! — ( +ре) = — (!э+ — ) йчрч — р(чЧ) (ш -1- — ), или окончательно ( — + ре) = — йч ~рч ( — + Ф)~ (6,1) Для того чтобы выяснить смысл полученного равенства, про. интегрируем его по некоторому объему: ,й! ~ (», +ре) !(У вЂ” ~ йч(рч( — +ш)~!(У, Здесь мы воспользовались также обшим уравнением адиабатнчности (2,6). Собирая полученные выражения, находим для искомого изменения энергии поток нмпгльса или, преобразовав стоящий справа объемный интеграл в инте- грал по поверхности: (6,2) Слева стоит изменение в единицу времени энергии жидкости в некотором заданном обьеме пространства.

Стоящий справа интеграл по поверхности представляет собой, следовательно, количество энергии, вытекающей в единицу времени из рассматриваемого объема. Отсюда видно, что выражение рч ( — + гв) (6,3) представляет собой вектор плотности потока энергии. Его абсолютная величина есть количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности, расположенную перпендикулярно к направлению скорости. Выражение (6,3) показывает, что каждая единица массы жидкости как бы переносит с собой при своем движении энергию и+ и'/2.

Тот факт, что здесь стоит тепловая функция ш, а не просто внутренняя энергия в, имеет простой физический смысл. Подставив ж = в+ р/о, напишем полный поток энергии через замкнутую поверхность в виде — $ рч ( — +а) Л вЂ” $ ряЖ Первый член есть энергия (кинетическая и внутренняя), непосредственно переносимая (в единицу времени) проходящей через поверхность массой жидкости. Второй же член представляет собой работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности.

2 7. Поток импульса Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жидкости. Импульс единицы объема жидкости есть рч. Определим скорость его изменения: д — рч. д1 Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем: д до др ри'=Р + д1 ' дз д1 Воспользуемся уравнением непрерывности (1,2), написав его в виде др д(ри,) дт дх, идеАльнАя жидкость !гл. э и уравнением Эйлера (2,3) в форме де до ! др — = — и д!»дх„р дх,' Тогда получим: Первый член справа напишем в виде дх "г»дх и находим окончательно: д дП, — ро,=- — ', д! дх» (7,1) где тензор Пы определяется как Пм = рб,» + рого».

(7,2) Он, очевидно, симметричен. Для выяснения смысла тензора П,» проинтегрируем уравнение (7,1) по некоторому объему: д Г Г дП,» д! ) Рпг«г дх, Стоящий в правой стороне равенства интеграл преобразуем в интеграл по поверхности '): дг ) Рог с()г = — $ Пг»«7» д Г (7,3) Слева стоит изменение в единицу времени г-й компоненты импульса в рассматриваемом объеме.

Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность. Следовательно, Пм «1» есть г-я компонента импульса, протекающего через элемент «7 поверхности. Если написать «7» в виде п»«7 («7 — абсолютная величина элемента поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к нему), то мы найдем, «1г .+ «'г' —.

д дх,' ') Правило преобразования интеграла по замкнутой поверхности в интеграл по охватываемому этой поверхностью объему можно сформулировать следующим образом: оно осуэгествляется заменой элемента иоверхности «й д оператором «!г —, который должен быть применен ко всему подынтедх гральному выражению сохглненив цигкчляции скоэости »и что П,впв есть поток вчй компоненты импульса, отнесенный к единице плошади поверхности.

Заметим, что согласно (7,2) Пмпв = = рп, + рова»пв, это выражение может быть написано в векторном виде как рп + рч(чп). (7,4) Таким образом, Пс«есть вся компонента количества импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси км Тензор Пгл называют гензором плотности потока импульса. Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором; поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга. Вектор (7,4) определяет поток вектора импульса в направлении и, т. е.

через поверхность, перпендикулярную к и. В частности, выбирая направление единичного вектора и вдоль направления скорости жидкости, мы найдем, что в этом направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем плотность ее потока равна Р+ Ро ° В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится лишь поперечная (по отношению к ч) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто р. й 8.

Сохранение циркуляции скорости Интеграл Г=$ча!, взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура. Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «лсидкий», т. е. как составленный из находящихся на нем частиц жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними перемешается и весь контур. Выясним, что происходит прн этом с циркуляцией скорости вдоль контура.

Другими ело. вами, вычислим производную по времени — $чввй Ыы пишем здесь полную производную повремени соответственно тому, что ищем изменение циркуляции вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в пространстве. Во избежание путаницы будем временно обозначать дифференцирование по координатам знаком б, оставив знак с( для идеальная жидкость [гл. г зо дифференцирования по времени.

Кроме того, заметим, что эле- мент Л длины контура можно написать в виде разности Ьг ра- диус-векторов г точек двух концов этого элемента. Таким обра- зом, напишем циркуляцию скорости в виде При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только т, но и Ьг: — (~ т Ьг= $ — „Ьг + $ т — „, . Поскольку скорость и есть не что иное, как производная по времени от радиус-вектора г, то ДЬг Дг о' т —,= тб — = тбт = Ь вЂ”.

иг пт з ' ~~ $тбг= $ — „, Ьг. Теперь остается подставить сюда для ускорения г(н/М его выражение согласно (2,9): лт — = — пгаб ж. лг Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку го1 ргали ш — О): $ — Ьг = ~ го1 — Ь1= О. оу лу ан =,) йг Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно '): — гугпс(1= О, и .с или $тг)1= сопз1. (8,1) ') Этот результат сохраняет силу н в однородном поле тяжести, так кан го1К ем О. Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает и остается сохранение циркуляции скорости а! Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона (Ф'.

Т)готзоа, 1869) или законом сохранения циркуляции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования уравнения Эйлера в форме (2,9) и потому связан с предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтропического движения этот закон не имеет места '). Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру бС и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим: $чй[=~ го(ч Л = бр го(ч=сопз1, (8,2) где Л вЂ” элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур бС.

Вектор го(ч часто называют завихренносгеюз) течения жидкости в данной ее точке. Постоянство произведения (8,2) можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью. Задача Показать, что при ненззнтропическом течении для каждой перемещающейся частицы остается постоянным связанное с ней значение пронзнедення (7з го1 ч)/р (0. Егте), !942).

Решение. При неиззнтропическом движении правая сторона уравнения Эйлера (2,3) ие может быть заменена на — Чв и вместо уравнения (2,11) получается — го1 [чв)+ —, [7р ° Чр[ дв ! (для краткости обозначено в го1ч). Умножим зто равенство на 7з; по. скольку з з(р, р), то 7з выражается линейно через 7р н Чр и произведение 7з[7р 7р) О. После етого выражение в правой стороне уравнения преобразуем следующим образом: Чз — Чз ° гот [чв) — бгч [7з [чвЦ = — б!ч (т (в Чз)) + б!ч (в (чрз)) дв д! = — (в Чз) б!ч ч — ч ягаб (в 7з) + в ягаб (ч 7з). Согласно (2,6) заменяем (чрз) =- — дз(д! и получаем уравнение — (в Чз) + ч ргаб (в Чз) + (в Чз) б!ч ч О.