Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 9

В реальных случаях обтекания конечных тел эти значения определшотся условиями задачи в целом, При и < 1 (обтекзние выпуилого угла; рис. 3) о обращается в начале координат в бесконечность как г-м-ю. При п ) 1 (течение внутри вогнутого угла — рнс. 4) и обращается прп г = О в нуль.

Функция тока, определяющая форму линий тока, есть ф Аг тйп п8. Сгл, т иднальыдя жидкость Интегрируя зто уравнение по г в пределах от чь до радиуса /с = /с (/) и, а заполняющейся полости, получим: Г (/) У' р — — + — = — ', )с (/) 2 р где У = й~(/)/г// — скорость изменения радиуса полости, а рр †давлен иа бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на поверхности полости равны нулю. Написав соотношение (2) для точек иа поверхности полости, находим: Р (/) = /)х (/) у ы). и, подставив это выражение для Р(/) в (3), получим следующее уравпеннел 3)" ) ВУ' р л (4) 2 2 с/В р В атолл уравнении переменные разделяются и, интегрируя его при начальном условии У = 0 при /к = а (в начальный момент жидкость покоилась), найдем: / 2/, ° аз „, ./ / л/ 'Ч зр (, г Отсюда имеем для искомого полного времени заполненяя полости; Зр~ а т Этот интеграл приводится к виду В-интеграла Эйлера, н вычисление дает окончательно: т= /бахри жГ(б/6) / р = 0,9!За ~( —.

Ч 2рз Г (1/3) ' ЧЧ/ рз 3. Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по задан. ному закону /к=/к(/). Определить давление жидкости иа поверхности сферы. Решение. Обозначим искомое давление посредством Р(/). Вычисления в точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь раз ницей, что при г = и давление равно не нулю, а Р(/). В результате получим вместо( 3) уравнение Р (/) )'з Рз Р (Π— — + — = — —— )2 (/) 2 р р н соответственно вместо (4) уравнение р, — Р (/) ЗУ" ФУ = — — — /)У вЂ”.

р 2 ~И Имея в виду, что У Лй/Ж, можно привести выражение для Р(/) к виду 9. Определить форму струн, вытекающей из бесконечно длинной щели прорезанной в плоской стенке. НГСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ % 101 Р е ш е н не. Пусть в плоскости х, у стенка совпадает с осью х, отверстие есть отрезок — а/2 м„х ( а/2 этой оси, а жидкость занимает полуплоскость у ~ О. Вдали от стенки (при у-~-со) скорость жидкости равна нулю, а давление пусть будет ра.

На свободной поверхности струя (ВС и В'С' на рис. 5,а) давление р=б, а скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину Э, = Ч/2ро/р. ЛИНИН СГЕИКИ, ПРОдОЛжашщнсея В СВОООдиуЮ Граиицу СтруИ, представляют собой линии тока. Пусть на линии АВС ф = О; тогда на линии А'В'С' ф = — Я/р, где Я = ра~о~ — расход жидкости в струе (аь о,— ширина !2+6 © ,~В А' С,С' э — '- — - — Та — ' ку А в) й' у 1 В А а/ С .

С ь В А ( сь -1 ' 1 1 г) 'В' А у/ ! Рис. 5 струи и скорость жидкости в ней на бесконечности). Потенциал ф меняется как на линни АВС, так и на линни А'В'С' от — оо до +со; пусть в точках В и В' ф = О. Тогда в плоскости комплексного переменного ко области течения будет соответствовать бесконечная полоса ширины Я/р (обозначения точек на рис 5,б — г соответствуют обозначениям иа рис.

5,а в плосностн к, у). Введем новую комплексную переменную — логарифм комплексной ско- рости: (, = — 1п [ —,, — 1 =1п — '+1( — +6) (э~а / — комплексная скорость иа бесконечности струи). На А'В' имеем ьп/2 6 = О; на АВ 6 — ц иа ВС н В'С' о = оь причем на бесконечности струн 6 = — и/2.

Поэтому в плосности переменного и области течения соответствует полуполоса ширины ц, расположенная в правой полуплоскостя (рнс, б,э). Если мы теперь найдем конформное преобразование, переводящее полосу плоскости ю а полуполосу плоскости 1 (с указанным иа рис. 5 соответствием точек), то тем самым мы определим ю как функцию от с(ю/ог, функция ш может быть найдена затеи одиои квадратурой, Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еше одну вспомогательную комплексную переменную и, такую, чтобы в плоскости и области течения соответствовала верхняя полуплоскость, причем точкам В н В' соответствуют точки и = ~1, точкам С, С' и = О, а бесконечно удаленным точкам А и А' и = ~ос (рнс. 5,г), Зависимость ю от втой вспомогательной переменной определяется конформным преобразованием, переводящим верх- 43 ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ (гл ! июю полуплоекость и в полосу плоскости ю, Прв условленном соответствии точек это есть ю= — — !пи.

/3 (2) рл Чтобы найти зависимость Е от и, надо найти конформное отображение полу- полосы плоскости С в верхнюю полуплоскость и. Рассматривая эту полуполосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бескоиечностгч можно найти исномое отображение с помощью известной формулы Шварца— Кристоффеля; ответ гласят (3» — ( агсып и.

Формулы (2), (3) решают задачу, определяя в параметрическом виде зависимость аю/аа от ш. Определим форму струи. Иа ВС имеем ю ф, 1 /~ — +6/, а и меч 2 ияется между О и !. Из (2) в (3) получим: ф — — !п ( — соя 6), (» !4) рл а из (!) г/и/г(а = оге-' в, или аа юг г(л+ ! а(у ° вЂ” е Кр = — е !К баб, ! !в а! !э и, л откуда интегрированием (с условиями р = О, к = а/2 при 0 = — л) найдем в параметрическом виде форму струи. В частности, для сжатия струи получается аз/а = л/(2+ л) = О,б!. й 11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче об определении течения жидкости прн движении через нее того же тела.

Для получения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость. Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Лапласа /)ф = О.

Мы должны рассмотреть такие решения итого уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, поскольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем начало координат где-нибудь внутри движущегося тела (зта система координат движется вместе с телом; мы, однано, рассматриваем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный момент времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет решением 1/г, где г — расстояние от начала координат. Решением являются танже градиент т/(1/г) и следуюшие производные от 1/г по координатам.

Все зти решения (и их линейные СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть а 1 ~р= — — +Атг — + ..., Г Г где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от 1/г. Легко видеть, что постоянная а должна быть равной нулю. Действительно„потенциал <р = — а/г дает скорость а аг Т= — 7 — =— ,.3 Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом 1т. На этой поверхности скорость постоянна и равна а/1г~; поэтому полный поток жидкости через нее равен р(а/й')4л(т' = 4пра, Между тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль.

Поэтому заключаем, что должно быть а = О. Таким образом, ~р содержит члены, начиная с членов порядка !/г'. Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то члены более высоких порядков можно опустить„и мы получаем: 1 Ап ~р=АТ вЂ” = —— г г (11,1) а для скорости ч = пгад р ч = (А11) ~р —— З (Ап1 и — А (11,2) где интегрирование производится по всему пространству вне тела. Выделим из пространства часть У, ограниченную сферой большого радиуса 1г, с центром в начале координат и будем интегрировать сначала только по объему У, имея в виду стремить (и — единичный вектор в направлении г). Мы видим, что на больших расстояниях скорость падает, как 1/г'.

Вектор А зависит от конкретной формы и скорости движения тела и может быть определен только путем полного решения уравнения Л<р = О на всех расстояниях, с учетом соответствующих граничных условий на поверхности движущегося тела. Входящий в (11,2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть идедльндя жидкость ао затем )т к бесконечности.

Имеем тождественно ~ о'г(У = ~ и'г(У -1- ~ (т -1- «)(т — «)г(У, где « — скорость тела. (Ъ)скольку « есть не зависящая от коор- динат величина, то первый интеграл равен просто ив( У вЂ” Уа), где Уо — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму к+« в виде Ч(ф+ «г) и, воспользовавшись также тем, что г))чн = О в силу уравнения непрерывности, а г)(ч« — = О, имеем: ~ пз (У=ив(У вЂ” Уо)+ ~ й)ч((ф+«г)(ч — «)) е(У. Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности 5 сферы и поверхности 5, тела: ~ о г(У= и (У Уо)+ $ (ф+ «г)(ч — «) г(1.

На поверхности тела нормальные компоненты ч и «равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор с(т направлен как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по 5о тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности 5 подставляем для ф и к выражения (11,1 — 2) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по )(-ь оп, Написав элемент поверхности сферы 5 в виде г(1 = и)евдо, где г(о— элемент телесного угла, получим: и' с(У = и' Я )ты — Уо) + ~ (3 (А«) («и) — (««)' У) г(о. Наконец, произведя интегрирование') и умножив на р/2, получаем окончательно следуюгцее выражение для полной энергии жидкости: Е = — (4пА« — Увив).