Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 12

1 — результат (12,20). 2. Определить связь между частотой и длиной волны длз гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жидкость ограничена сверху, а нижняя — снизу горизонтальнымн исподних!ными плоскостями. Плотность и глубина слои нижней жидкости р н Л, а верхней р' и й' (причем р ) р'). гвавитлциот!нын волны Р е ш е н и е.

Плоскость х, у выбираем по плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в виде ф А сй й !з+ й) соз (йх — ы!), гн В св й (з — Л') соз (йх — ы() (1) (при г = О) или (2) Кроме того, схорости с, обеих жидхостей иа поверхности раздела должны быть одинаковыми. Это приводят к условию (при а = 0) дф дф' дз да (3) Далее, се= — = — и, подставляя сюда (2), получаем: дф дь да д) , дф , д"р' дзф У(Р Р) Р Р дз ди ды ' (4) Подставляя (1) в (3) и (4), получим даа однородных линейных уравнения для А и В, из условия совместности которых найдем; йа (Р— Р') р стц йй + р' с!)з йй' При йй ~ 1, йй' ~! (обе жидкости очень глубоки! ыт=йа Р Р, Р+Р а при йй сц 1, йй' м.

1 (длинные волны): д (р — р') Л/з' РЛ'+ Р'» Наконец, если йй ~ 1, йЛ' ~ 1; в' = й' уЛ' Р 3. Определить связь между частотой и длиной волны дли гравитационных волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и верхней поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность Р) бесконечно глубоха, а верхняя (плотность р') имеет толщину Л' и свободную верхнюю поверхность. Решен не. Выбираем плосхость х, у в плосхости раздела обеих жидкостей в равновесии. В нижней и верхней жидкостях ищем решение соответственно в виде Аеаз соа (й» ю!)! ф (Ве з + Сз ) соз (йх ем) (1) (так, чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, †.

решение задачи !). На поверхности раздела давление должно быть непрерывным; согласно (12,2) зто приводит к условию д) д! дф,, дф' илеАльнАя жидкость [ГЛ. Г а иа верхней свободной границе (т.е. прн к = Ь'): д<р' ! дзм' — + — —, = О. да а др (3) Первое яз уравнений (2) при подстановке (1) дает А = С вЂ” В, а два остальных условия дают два уравнения для В и С, нз условия совместности которых получаем квадратное уравнение для мз с корнями: (р — р')(! — е ) р+ р'+ (р — р') е" Прн Ь'-» оо эти корни соответствуют волнам, распространяющимся независимо по поверхности раздела и по верхней поверхности жидкостя. 4. Определить собственные частоты колебаний (см.

$ 69) жидкости глубины Ь в прямоугольном бассейне ширины а н длины Ь. Решение. Оси х и у выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем решение в виде стоячея волны: и = соз в! с)з й (з + Ь) ) (х у) для ) получаем уравнение дз) дг) , +Ь)-О, дха дуа а условие на свободной поверхности приводят, как и в задаче 1, к соотношению «'=уй !й ЬЬ. Решение уравнения для ) берем и виде ) = сов рк сов ау, р -1- д'= аз. На боковых сторонах сосуда должны выполняться условия: от= — О при к=о, а; дв дх — О при у=о, Ь.

дм ду Отсюда находим: ши пи р= — 9 о В где ги, л — целые числа. Поэтому возможные значения Ь равны ф !3. Внутренние волны в несжимаемой жидкости Своеобразные гравитационные волны могут распространяться внутри несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с вызываемой наличием поля тяжести неоднородностью жидкости: ее На поверхности раздела обеих жидкостей (т.е, при х О) имеют место условия (см. задачу 2): до дв' де, д'~р' дгв а(р р) =р дз дг' да дР д(з (2) давление (а с ним и энтропия з) непременно будет меняться с высотой; поэтому всякое смешение какого-либо участка жидкости по высоте приведет к нарушению механического равновесия, а потому к возникновению колебательного движения. Действительно, ввиду адиабатичиости движения этот участок принесет с собой в новое место свое значение энтропии з, отличное от ее равновесного значения в этом месте.

Мы будем ниже предполагать, что длина распространяю- шейся в жидкости волны мала по сравнению с расстояниями, на которых поле тяжести вызывает заметное изменение плотности '). Самую жидкость мы будем при этом рассматривать как несжимаемую. Это значит, что можно пренебречь изменением ее плотности, связанным с изменением давления в волне. Изменением же плотности, связанным с тепловым расширением, отнюдь нельзя пренебречь, так как именно оно определяет собой все явление. Выпишем систему гидродинамических уравнений для рассматриваемого движения.

Будем отмечать значения величии в состоянии механического равновесия индексом нуль, а малые отклонения от этих значений В волне в штрихом. Тогда уравнение сохраиения энтропии з = зо +з' напишется с точностшо до величии первого порядка малости в виде да' д, + ЧЧзе — — О, (!3,!) где зм как и равновесные значения других величин, является заданной функцией вертикальной координаты г. Далее, в уравнении Эйлера снова пренебрегаем (в силу малости колебаний) членом (УЧ)у; учитывая также, что равновесное распределение давления определяется уравнением Чр, = = роя, получим с той же точностью ду Чр ЧР Чрз + и + з дз р Рз Рз Поскольку согласно сказанному выше изменение плотности свя- зано только с изменением энтропии, ио ие давления, то можно написать: ') Г'радиент плотности связан с градиентом давления равенством Чр=) «) Чр сгЧр, г др 'ч др где с — скорость звука в жидкости.

Поэтому из гидростатяческого уравнения Чр = ря имеем Чр = (р/сз)я. Отсюда видно, что суспественное изменение плотности в поле тяжести происходит на расстояниях 1 ж ст)Е. для воздуха 1 яв 1О км, для воды 1 м~ 200 км. э ~з1 ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ вз идеАльнАя жидкость !гл ~ и мы получим уравнение Эйлера в виде (13,2) р, можно ввести под знак градиента, так как изменением равновесной плотности на расстояних порядка длины волны мы, согласно сказанному выше, все равно пренебрегаем. По этой же причине можно считать плотность постоянной и в уравнении непрерывности, которое сводится при этом к г)1ч ч =О. (13,3) Будем искать решение системы уравнений (13,1 — 3) в виде плоской волны: ч=сопэ( ° еиы- и н аналогично для з' и р'.

Подстановка в уравнение непрерывности (13,3) дает та=О, (13,4) т. е. скорость жидкости везде перпендикулярна к волновому вектору (поперечная волна). Уравнения >ке (13,1) и (13,2) дают тз'= — э~за, — Йоч = — ( — ) а'я — — р'. а ВРаа Ра (. Еаа )р Ра Условие йч = О, примененное ко второму из этих равенств, при- водит к соотношению гор'= (ф) з'(йй), и исключая затем из обоих уравнений т и з', получим искомый закон дисперсии — соотношение между частотой и волновым вектором: ьаа = 'а з!и'О, (13,5) где обозначено (13,6) Мы опускаем здесь и ниже индекс нуль у равновесных значений термодинамических величин; ось г направлена вертикально вверх, а 0 есть угол между осью г и направлением й.

Положительность выражения (13,6) обеспечивается условием устойчивости равновесного распределения з(е) (условием отсутствия конвекции, см. $4). Мы видим, что частота оказывается зависяшей только от направления волнового вектора, но не от его величины, При 0 = О, и получается в = О; это означает, что волны рассматриваемого типа с волновым вектором, направленным вертикально, вообще невозможны.

ВОЛНЫ ВО ВРАШАЮШЕИСЯ ОКИНКОСТИ О Рв Если жидкость находится не только в механическом, но и в полном термодинамическом равновесии, то ее температура постоянна и можно написать: Наконец, воспользовавшись известнымн термодинамическими соотношениями (с, — теплоемкость единицы массы жидкости), получим: -= / -нм~ В частности, для термодинамически идеального газа эта формула дает Ч ыо==,. А~срТ (!З,в) Зависимость частоты от направления волнового вектора приВодит к тому, что скорость распространения волны (1 = доо/дК не совпадает по направлению с (с. Представив зависимость ы(к) в виде ы=ооо '~/1 ( ) ы) 4) = — — (пт) (т — .;па] и), мь (13,9) где п = М/й. Эта скорость перпендикулярна к вектору й, а по величине равна и = — "' созВ.

й Ее проекция на вертикаль: От = — ~' соз В з)п В. а $14, Волны во вращающейся жидкости Другой своеобразный тип внутренних волн может распространяться в равномерно вра цаюшейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при воашении кориолисовымн силамн. (т — единичный вектор в направлении вертикально вверх) и про- изведя дифференцирование, получим идехльнхя жидкость [гл.

г (14, !) Кориолисова же сила равна 2[к(!], она появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы коор- динат (ч — скорость в этой системе). Перенеся этот член в ле- вую сторону уравнения Эйлера, напишем его в виде (!4,2) Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сводясь для несжимаемой жидкости к равенству б(чч = О. Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении (14,2), которое примет вид -щ- + 2 [Щ = — — !тр', (1 4,3) где р' — переменная часть давления в волне, а р = сопз1.