Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 11

поэтому скорость их движения — порядка и — а/т, Скорость и заметно меняется на протяжении интервалов времени порядка т н на протяжении расстояний порядка Л вдоль направления распространения волны (Л вЂ” длина волны). Поэтому производная от скорости по времени — порядка и/т, а по координатам — порядка и/Л. Таким образом, условие (чЧ)ч « дч/дг эквивалентно требованию или ачба Л, (12,!) т.

е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по сравнению с длиной волны. В $ 9 мы видели, что если в уравнении движения можно пренебречь членом (чч)ч, то движение жидкости потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы можем воспользоваться поэтому уравнениями (10,6) и (10,7).

В уравнении (10,7) мы можем теперь пренебречь членом о'/2, содержащим квадрат скорости; положив )(1) = 0 и введя в поле тяжести член одг, получим: Р рйз Р дФ (! 2,2) Ось г выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве плоскости х, у выбираем равновесную плоскую поверхность жидкости.

Будем обозначать г-коордннату точек поверхности жидкости посредством ~; ~ является функцией координат х, у и времени й В равновесии ~ = О, так что ~ есть вертикальное смешение жидкой поверхности при ее колебаниях. Пусть на поверхность идехльнхя жидкость ~гл. ч жидкости действует постоянное давление рэ Тогда имеем на поверхности согласно (12,2) Ро= — Ркь Р д~ . дф Постоянную ра можно устранить переопределением потенциала ф (прибавленнем к нему независящей от координат величины ро1/р).

Тогда условие на поверхности жидкости примет внд Ы~+ д', ~ =О. (12,3) Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение ~ мало, Поэтому можно считать, в том же приближении, что вертикальная компонента скорости движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения ~: о, = д~/дй Но о, = дф/дг, так что имеем: В силу малости колебаний можно в этом условии взять значения производных при г = О вместо г = ~. Таким образом, по.лучаем окончательно следующую систему уравнений, определяющих движение в гравитационной волне: Лф=о, (12,4) (1 2,5) Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, считая эту поверхность неограниченной. Будем также считать, что длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости; тогда можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую.

Поэтому мы не пишем граничных условий на боковых границах и на дне жидкости. Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси х и однородную вдоль осн йч в такой волне все величины не зависят от координаты у. Будем искать решение, являющееся простой периодической функцией времени н координаты х: ф = сов (йх — в1) /(г), где ы — циклическая частота (мы будем говорить о ней просто как о частоте), й — волновой вектор волны, ) = 2л/й — длина волны. Подставив это выражение в уравнение Лф = О, получим для функции 1(г) уравнение — — й ~=О.

Р1 аг' ьт ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ЕГО РЕШЕНИЕ, ЗатумаЮщЕЕ В ГЛубЬ жИдКОСтИ (т. Е. Прн г-~- — ОО); р = Ае"* соь (йх — а1). (12,6) Мы должны еще удовлетворить граничному условию (12,5). Подставив в него (12,6), найдем связь между частотой и волновым вектором (или, как говорят, закон дисперсии волн): а =Ай. Распределение скоростей в жидкости получается дифференцированием потенциала по координатам: о„= — Аде"' з)п (йх — а1), в, = Айеь' соз (йх — а1).

(12,8) Мы видим, что скорость экспоненциально падает по направлению в глубь жидкости. В каждой заданной точке пространства (т. е. прн заданных х, г) вектор скорости равномерно вращается в плоскости х, г, оставаясь постоянным по своей величине. Определим еще траекторию частиц. жидкости в волне.

Обозначим временно посредством х, г координаты движущейся частицы жидкости (а не координаты неподвижной точки в пространстве), а посредством х,, г,— значения х, г для равновесного положения частицы. Тогда о = дх/йй о, = дг/Ю, а в правой части (12,8) можно приближенно написать ха г, вместо х, г, воспользовавшись малостью колебаний, Интегрирование по времени дает тогда: ь х — х, =' — А — еин соь (йха — а1). а (12,9) А г — г,=- — А — еь" з)п (йх, — а1), а Таким образом, частицы жидкости описывают окружности вокруг точек ха г, с радиусом, экспоненциально убывающим по направлению в глубь жидкости.

Скорость (/ распространения волны равна, как будет показано в 9 67, 0 = да/де Подставив сюда а = ч/Гд, находим, что скорость распространения гравитационных волн на неограниченной поверхности бесконечно глубокой жидкости равна (12,! 0) Она растет при увеличении длины волны. Длинные гравитационные волны Рассмотрев гравитационные волны, длина которых мала по сравнению с глубиной жидкости, остановимся теперь на противоположном предельном случае волн, длина которых велика по !гл ! идеАльнАя жидкость сравнению с глубиной жидкости. Такие волны называются длинными. Рассмотрим сначала распространение длинных волн в канале.

Длину канала (направленную вдоль оси х) будем считать неограниченной Сечение канала может иметь произвольную форму и может меняться вдоль его длины. Плошадь поперечного сечения жидкости в канале обозначим посредством 5 = 5(х, !). Глубина и ширина канала предполагаются малыми по сравнению х длиной волны. Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в которых жидкость движется вдоль канала.

В таких волнах компонента сх скорости вдоль длины канала велика по сравнению с компонентами пю и,. Обозначив о. просто как и и опуская малые члены, мы можем написать х-компоненту уравнения Эйлера в виде дя ! др д! р дх' а х-компоненту — в виде ! др — й' р дх (квадратнчные по скорости члены опускаем, поскольку ампли.

туда волны по-прежнему считается малой). Из второго уравнения имеем, замечая, что на свободной поверхности (г = ~) должно быть р = ро! р = ро+ар(1 — 8). Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем: — — ч до дй д! " дх ' (12,! !) Второе уравнение для определения двух неизвестных р и ь можно вывести методом, аналогичным выводу уравнения непрерывности.

Это уравнение представляет собой по существу уравнение непрерывности применительно к рассматриваемому случаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями поперечного сечения канала, находящимися на расстоянии с(х друг от друга. За единицу времени через одну плоскость войдет объем жидкости, равный (5п)„а через другую плоскость выйдет объем (5п)~+а . Поэтому объем жидкости между обеими плоскостями изменится на д (ЯЮ (5п)к+Ах — (5п)» = — ь(х, дх Ио в силу несжимаемости жидкости это изменение может произойти только за счет изменения ее уровня.

Изменение объема гохвитхпионныв волны жидкости между рассматриваемыми плоскостями в единицу времени равно дд — И». д( Следовательно, можно написать: — с(х = — — Нх. дд д (Яо) д( дх или дд д (Во) — + — ' = О. д( д.х (12,12) Это и есть искомое уравнение непрерывности. Пусть 5о есть площадь поперечного сечения жидкости в канале при равновесии.

Тогда 5 =5о+5', где 5' — изменение этой площади благодаря наличию волны. Поскольку изменение уровня жидкости в волне мало, то 5' можно написать в виде Ь~, где Ь вЂ” ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем. Уравнение (12,12) приобретает тогда вид Ь вЂ” '+ ') =О. (12,13) дх Дифференцируя (!2,13) по ( и подставляя — из (12,11)„ до получим: (12,14) Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то 5о = = сопз1 и д~~ Уло д"С О вЂ” О. дР Ь дх' (12!6) (7 ( И~о (12,16) Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в обширном бассейне, который мы будем считать неограниченным в двух измерениях (вдоль плоскости х, у), Глубину жидкости в бассейне обозначим посредством Ь.

Из трех компонент скорости малой является теперь компонента о,. Уравнения Эйлера приобретают вид, аналогичный (12,1!); до„ д! до„ дй "—." + я — =О; — "+д — =О. дЬ дх ' дЬ ду (! 2;17) Уравнение такого вида называется волновыл1; как будет пока- вано в $64, оно соответствует распространению волн с не зависящей от частоты скоростью (7, равной квадратному корню из коэффициента при дх~/дхх. Таким образом, скорость распространения длинных гравитационных волн в каналах равна бо !ГЛ ! идеАлъиАя жидкость Уравнение непрерывности выводится аналогично (12,12) и имеет внд дй д(ао„) д(Ло„) — + "+ "=О. д! дх ду Глубину л пишем в виде Ь = но+ р„где йо — равновесная глубина.

Тогда Ж~ (Лоо.) д(Аоод) (12,18) д! дх ду 11редположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно (йо — — сопв1). Дифференцируя (12,18) по ! и подставляя (12,17), получим: (12, 19) Это — опять уравнение типа волнового (двухмерного) уравнения; оно соответствует волнам со скоростью распространения, равной (7 = )/ййо. (12,20) Задачи !.

Определить скорость распространении гравитационных волн на неограниченной поверхности жидкости, глубина которой равна Л. Р е ш е н н е. На дне жидкости нормальная составлиющаи скороста должна быть равна нулю, т.е. о« = — =0 при г — Л. д!р дг Из етого условии определяется отношение между постоинньши А и В в общем решении !р = сов (Лх — мт) (Ае «+ Ве В результате наиодим: !Г = А соз !Лх — ы!) сй Л (г+ Л). из предельного условия (12,5) находим соотношение между л и ы в ниде мз-ад тьлл. Скорость распространении волны и= ~и )гьлл+ 2 .ч/И за ЛЛ сь лл1 При йй ~ 1 получается результат (12,10), а прн ль ж.