Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 14

Поэтому, строго говоря, после такого видоизменения формы тензорэ потока импульса должно быть уточнено, чго именно подразумевается под дявленнем р. См. об этом конец 1 49. связана с непосредственнь;м переносом импульса вместе г мнссой передвигающейся жидкости '). Установить общий вид тензора в'„можно, исходя пз следующих соображений. Процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в тех случаях, когда различные участки жидкости движутся с различной скоростью, так что имеет место движение частей жидкости друг относительно друга. Поэтому в;ь должно зависеть от производных от скорости по координатам. Если градиенты скорости не очень велики, то можно считать, что обусловленный вязкостью перенос импульса зависит только от первых производных скорости.

Самую зависимость о',.„от производных до;/дх„можно в том же приближении считать линейной. Не зависящие от до;/дхь члены должны отсутствовать в выражении для в',, поскольку в',. должны обратиться в нуль при м = сопз(. Далее замечаем, что огь должно обращаться в нуль также и в том случае, когда вся жидкость как целое совершает равномерное вращение, поскольку ясно, что при таком движении никакого внутреннего трения в жидкости не происходит. При равномерном вращении с угловой скоростью ьз скорость и равна векторному произведению [йг]. Линейными комбинациями производных дв;/дхь, обращающимися в нуль при м = 1ь2г], являются суммы »ганннннн анижеипя низком жидкости 73 показано в Я 16, 49, оба они положительны: и~о, Ц=.о.

(15,4) Уравнения движения вязкой жидкости можно теперь полудо>ь чить непосредственно путем прибавления выражения дх к правой стороне уравнения Эйлера удс дс ~ др Р~ +оа )= (, д1 дх„ ) дх Это — так называемое уравнение Новое — Стокса. Оно существенно упрощается, если жидкость можно считать несжимаемой. Тогда б(ч ч = 0 и последний член справа в (!5,6) исчезает. Рассматривая вязкую жидкость, мы фактически всегда будем считать ее несжимаемой и соответственно этому пользоваться уравнением движения в виде ') д» 1 »1 — + (чу) ч = — — игай р+ — Лч. дг Р Р Тензор напряжений в несжимаемой жидкости тоже принимает простой вид: у до дол~ оы — — — рбы+ т)~ — + — ).

(,дх дх~ ) (15,8) ') Уравнение (15.7) было впервые сформулировано на основе модельных представлений Нааье (С. 5. й>аевеп 1827). Вывод ураинеинй (15,6 — 7) беа члена с 1), близкий к современному, был дан Стиксом (О. О. Яойех, 8451. Таким образом, получаем: (!5,5) Это есть наиболее с:>щий вид уравнений движения вязкой жидкости. Величины ть ~ являются, вооб>це говоря, функциями давления и температуры. В общем случае р, Т, а потому и т), Ь, не постоянны вдоль всей жидкости, так что т) и ь не могут быть вынесены из-под знака производной. В большинстве случаев, однако, изменение коэффициентов вязкости вдоль жидкости незначительно, и потому можно считать их постоянными. Тогда уравнения (!5,5) можно представить в векторном виде: Р(дг + (чУ)ч]= — кгабр+ т(бч+ (~+ — ) пгаб Йч ч.

(156) вязкдя жидкость 1гл. и Мы видим, что в несжимаемой жидкости вязкость описывается всего одним коэффициентом. Поскольку практически жидкость можно очень часто считать несжимаемой, обычно играет роль именно этот коэффициент вязкости т1. Отношение (15,9) называют кинематичесной вязкостью (а о самой т! говорят тогда как о динамической вязкости). Приведем значения величин т! и ч для некоторых жидкостей и газов .(при температуре 20'С) в абсолютных единицах: Вода.....

Воздух . Спирт . Глицерин . Ртуть . Упомянем, что динамическая вязкость газов при заданной температуре не зависит от давления. Кинематическая же вязкость соответственно обратно пропорциональна давлению, Из уравнения (15,7) можно исключить давление таким же образом, как это было сделано раньше с уравнением Эйлера. Применив к обеим сторонам уравнения операцию го1, получим: — го1 ч = го1 [» го1 ч[ + »Л го1». д В/ (ср. уравнение (2,1! ) для идеальной жидкости) . Поскольку здесь идет речь о несжимаемой жидкости, этому уравнению можно придать другой вид, раскрыв первый член в его правой части по правилам векторного анализа и учтя равенство 61»ч = 0: — го/ч -'; (»1~) го1 ч — (го1 ч 17) ч »Л го1 ч.

(15, 10) д По известному распре","лению скоростей, распределение давления в жидкости может быть найдено путем решения уравнения типа уравнения Пуассона: дп до, дтп и„ (15,11) оно получается применением к уравнению (15,7) операции 61», Приведем здесь также уравнение, которому удовлетворяет функция тока тр(х, у) при двухмерном течении несжимаемой вязкой жидкости, Оно получается подстановкой (10,9) в уравнение (15,10): Ч, г/с ° си О,О1О 1,8 ° 10 О,'О18 8',8 О,8188 и, си'/с О,О1О О,18О 0,022 8,8 О',ООГ2 ирлвннння пвижиммя вязкои жидкости тб й 1а1 Необходимо написать еще граничное условие к ур авнениям движения вязкой жидкости. Между поверхностью твердого тела и всякой вязкой жидкостью всегда существуют силы молекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней.

Соответственно этому граничное условие к уравнениям движения нязкой жидкости состоит в требовании обращения в нуль скорости жидкости на неподвижных твердых поверхностях: ч = О. (15,13) Подчеркнем, что здесь требуется исчезновение как нормальной, так и тангенциальной компонент скорости, между тем как граничные условия к уравнениям идеальной жидкости требуют обращения в нуль только о, ').

В общем случае движущейся поверхности скорость ч должна быть равна скорости этой поверхности. Легко написать выражение для силы, действующей на соприкасающуюся с жидкостью твердую поверхность. Сила, действующая на некоторый элемент поверхности, есть ие что иное, как поток импульса через этот элемент. Поток импульса через элемент поверхности М есть 11га г()а = (ро»п» — ога) сЧ». Написав ф» в виде с((» = п»гт(, где и — единичный вектор нормали к поверхности, и помня, что на твердой поверхности ч = О'), находим, что сила Р, действующая на единицу площади поверхности, равна т Р,= — а, п,=рп,— о,„п . (15,14) Первый член есть обычное давление жидкости, а второй представляет собой действующую на поверхность силу трения, обусловленную вязкостью.

Подчеркнем, что и в (15,14) есть единичный вектор нормали, внешней по отношению к поверхности жидкости, т. е. внутренней по отношению к твердой поверхности. Если мы имеем границу раздела двух несмешивающихся жидкостей (или жидкости и газа), то условия на этой поверхности гласят, что скорости обеих жидкостей должны быть равны и силы, с которыми они действуют друг на друга, должны быть ') Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить лищ нему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию обращения в пуль таигеипиальной скорости. гйатематнчески зто связано с более низины (первым) порядком етого уравнения по координатным производным, чем порядок (второй) уравнения Навес — Стокса. ') При определении действующей на поверхность силы надо рассматривать данный злемеит поверхности в системе отсчета, в которой ои покоится.

Сила равна просто потоку импульса только при неподвижной поверхности. вязкая жидкость !гл. и одинаковы по величине и противоположны по направлению. Второе из этих условий записывается в виде нп!<1!о + ан!<т!т1 О / атрею патио — рн! = О. (15,16) Уравнения движения в криволинейных координатах Приведем для справок уравнения движения вязкой несжи- маемой жидкости в часто используемых криволинейных коор- динатах. В цилиндрических координатах г, тр, г компоненты тензора напряжений выглядят следующим образом: дог Г1 дог доя о о = — р+ 2т(— гг = дг ' а =т(~ — — + — — — ) оо ~г де дг г ) ~1 до о, ~ /доо 1 дог~ а = — р+ 2т1~ — — ~+ — ), а =т1~ — + — — ), ФФ ~г дч г)' оо ~ дг г де)' (15,17) доо г доо дог Х а„= — р+ 2т! дг, Навье — Стокса принимают вид: ! де / о, 2 до — — + о(Ьо — — — — — ~ ~, р д.

~ ° . ар) ! др / оо 2 дог~ — — + о~йо — — ~+ — — 1, рг до (, о г' г' д~р)' (15,18) Три компоненты уравнения до, о„ 3- — '+ (от) о — — =— д! г а., огоо + (ор) о„+ — =— — '+ (тгтг) о — — — + ойо, дог ! др дг Р дг причем операторы (о~т) и Л определяются формулапг д! оо д! д! (тр) ! = о — + — ' — + о. —, 'дг г дч где' ! д Г д! т 1 д'1 д ! Ь|= — — ! г — )+ — — + —.. г дг ~ дг) г' д~рг дг.' ' Уравнение непрерывности: 1 д (гог! ! доя дог + — — ~+ — =О. г дг г де де (!5,19) где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям. Векторы нормали па! и и!з! имеют взаимно противоположные направления, пго = — и<'> ян и, так что можно написать: (15.,15) На свободной поверхности жидкости должно выполняться ус- ловие крввнгния лвижяния вязкон жилкости Б сферических координатах г, !р, О имеем для теиаора напря- жений Огг= Р+ 2Ч д до, ( ! до иг пес!66 з о = — Р+ 2з) —.

—. + — + — ). Фо з,гз!па до г г г" аое ог з о = — р+ 2з! !з — — + — ), ее = ~ ° дЕ р! до, дое сез о = т11 — — + — — — ), 1, ° ае дое ! до ос с!66~ т)(гз!пе до + г де г /' (15,20) Уравнения Навье — Стокса; ди, из+ о,з 3 з +(яз) ог ! др = — — — +о Ло р дг ~ г 2 а (ое вгп 6) 2 до, в!пе а 1 2и, г' в!п'Е ае гз Ф 2 сов В доо 1 '" мп'е 2совВ дое о, 2 дог + причем а) о, а( и, а) (я7))'=о„— + — — + "дг г дЕ гв!пе дс ' !.',) ' 6 ае'з ае) ' ' 'Е Уравнение непрерывности: ! д (гзо„) 1 д (Мп Еое) ! г' дг + го!пе дВ го!пЕ д'р — з = О. (15,22) дое о,ое оз сга Š— + ("!г) ое + д! г г др 1 2 ди, = — — — + о ~Лов+ рг аЕ ~ о гз де до о о,ио оооо с!я д, +(зги)ос+, + ! ар = — — — +о!Ло + рг д~р Е о г' мпЕ др г ззп В до гзз!пз61' ВязкАя жидкость 1гл и та $16.