Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 15

Д1:ссипация энергии в несжимаемой жидкости Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, переходящей в конце концов в тепло. Вычисление диссипируемой энергии в особенности просто для несжимаемой жидкости. Полная кинетическая энергия несжимаемой жидкости равна Е„„а= — , '~ ЧЧ. Вычислим производную от этой энергии по времени. Для этого пишем: д ра' даю = Ро~ д1 2 д! и подставляем для производной до;/д! ее выражение согласно уравнению Навье — Стокса: да, да,. ! др 1 дам — '= — ох — ' — — — + —— д1 дхх р дх р дх, В результате получаем: Р д ра' дам — — = — рч (чЧ) ч — уЧр + и~ — —— д1 2 дх, = — р(чЧ) ( — + — ) + Игу(ча') — пы —. /а~ р Х ° г дас (2 р! дх, Здесь посредством (чп') обозначен вектор с компонентами о,ои.

Замечая, что в несжимаемой жидкости б!чу = О, можно напи- сать первый член справа в виде дивергенции: — — = — б!ч ~оп ~ — + — ) — (чо')) — о —. (16,1) ч, да~ ы дхх' Вь ражеиие, стоящее под знаком 61ч, представляет собой не что иное, как плотность потока энергии в жидкости. Первый член в квадратных скобках есть поток энергии, связанный с про- стым переносом массы жидкости при ее движении, совпадаю- щий с потоком энергии в идеальной жидкости (см.

(10,5)). Вто- рой же член (ча') есть поток энергии, связанный с процессами гнутреннего трения. Действительно, наличие вязкости приводит к появлению потока импульса а,'.„; перенос же импульса всегда связан с переносом энергии, причем поток энергии получается, очевидно, из потока импульса умножением на скорость. Если проинтегрировать (!6,1) по некоторому объему У, то получится: д ~ ра $~,(а + р) ~)~ (1 ~ ~,2)' (! 6,2) течение по гинее (16,3) Задача Для потеиицзльного движения преобрвзовзть иитегрзл (1б,з) в интеграл по поверхности, огрзиичивзющей облзсть движения. решение. Положив доддхй - доз/дх~ ы произведя одиокрзтиое интегрирование по чзстям, получим.' ~ г дог т 1 дог й = — 2т1 ~ — ) дà — 2т) ~ о — д), 2~дх ) д„й й й или Екян Ч ~ ро $ 17.

Течение по трубе Рассмотрим несколько простейших случаев движения вязкой несжимаемой жидкости. Пусть жидкость заключена между двумя параллельными плоскостями, движущимися друг относительно друга с постоян- ') Мы рассматриваем движение жидкости в системе коордиизт, в которой жидность нз бесконечности покоится. Здесь и в зизлогичиых других местях мы для определенности говорим о бесконечном объеме жидкости, что отнюдь не означает какого-либо огравячеиия общности. Тзк, для жидкости, ззключениойв огрзиичеином твердыми стеикзми объеме, нитегрзл по поверхности этого объемз все рввио обратился бы в нуль в силу условия рввеисгвз нулю скорое~и нз стенке. Первый член справа определяет изменение кинетической энергии жидкости в объеме )У благодаря наличию потока энергии через поверхность этого объема.

Второй же член (взятый с обратным знаком) представляет собой, следовательно, уменьшение кинетической энергии в единицу времени, обусловленное днссипацией. Если распространить интегрирование по всему объему жидкости, то интеграл по поверхности исчезает (на бесконечности скорость обращается в нуль1) ), и мы получим днссипируемую в единицу времени во осей жидкости энергию в виде до 3 'йдх 22 ~й~дх дх ) (последнее равенство следует из симметричности тензора о',й). В несжимаемой жидкости тензор гг'„определяется выражением (15,8).

Таким образом, находим окончательно следующую фопмулу для днсснпацин энергии в несжимаемой жидкости: Е„„„= — — ", ~ ~ —,„'-+ —,"й ) Л . Диссипацня приводит к уменьшению механической энергии, т. е. должно быть акен ( О. С другой стороны, интеграл в (16,3) является величиной всегда положительной. Поэтому мы можем заключить, что коэффициент вязкости т) положителен. Вязкхя жидкость !гл, и ной скоростью и.

Плоскость к, г выберем в одной из них, причем ось х направим по направлению скорости и. Все величины зависят, очевидно, только от координаты у, а скорость жидкости направлена везде по оси к. Из (15,7) имеем для стационарного движения д2х †, = О.

ду1 (Уравнение же непрерывности удовлетворяется тождественно.) Отсюда р = сопз1, о = ау+ Ь. При р = О и прн у = Ь (й — расстояние между плоскостями) должно быть соответственно о = О и о = и. Отсюда находим: и = — и. у л Таким образом, распределение скоростей в жидкости линейно. Средняя скорость жидкости (!7,1) и д= — ! оду= —.

=а) (17,2) о Из (15,14) находим, что нормальная компонента действующей на плоскости силы равна, как и должно было быть, просто р, а тангенциальная сила трения (на плоскости у = О) равна да Чи (!7,3) (на плоскости у = Ь она имеет обратный знак). Далее, рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя неподвижными параллельными плоскостями при наличии градиента давления. Координаты выбираем, как в предыдущем случае; ось х направлена по направлению дпнжелия жидкости.

Уравнения Навье — Стокса дают (скорость за ч.сит, очевидно, только от координаты у): д'и ! др ду — = О. ду' Ч дх ' ду Второе из этих уравнений показывает, что давление не зависит от у, т. е. постоянно вдоль толщины слоя жидкости между пло- скостями. Тогда в первом уравнении справа стоит функция только от х, а слева — только от у; такое уравнение может вы- полняться, только если его левая и правая части являются по- стоянными величинами. Таким образом, — = сопя(, др дх т. е. давление является линейной функцией координаты к вдоль направления потока жидкости. Для скорости же получаем теперь ! ду е о = —, — у'-+ гп + Ь.

2Ч дх Ь ВЛ течение по тоуеВ в! Постоянные а и Ь определяются нз граничных условий о = О гри у = О н у = 6. В результате получаем: ! др о = — — — у(у — 6). 2Ч дх (!7,4) Таким образом, скорость меняется вдоль толщины слоя жидкости по параболическому закону, достигая наибольшей величины посредине слоя.

Для среднего по толщине слоя жидкости значения ее скорости вычисление дает аи др й= — —— !2Ч дх ' (17,5) Сила трения, действующая на неподвижную стенку: ди ! а др а. =Ч вЂ” ~) 'и ду (и-и 2 Ых (! 7,6) Наконец, рассмотрим стационарное течение жидкости по трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы). Ось трубы выберем в качестве оси х. Очевидно, что скорость о жидкости направлена везде по оси х и является функцией только от у и г, Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а у- и г-компоненты уравнения Навье — Стокса дают опять др/ду = др/де = О, т. е. давление постоянно вдоль сечения трубы.

х-компонента уравнения (15,7) дает д'и д'и 1 др —.+ —,= — — ° дуи дх-' Ч дх (17,7) Отсюда опять заключаем, что — =соне(; градиент давления др дх можно поэтому написать в виде ар/1, где ар — разность давлений на концах трубы, а ! — ее длина.

Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двухмерным уравнением типа Ло = сопз1, Это уравнение должно быть решено при граничном условии о = О на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения н вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии о = о(г), Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем: Интегрируя, находим: о 4 ! г +а!пг+Ь. (17,8) Постоянную а надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая его (гл н вязкая жидкость центр.

Постояннную Ь определяем из требования о = 0 при г 14 (14 — радиус трубы) и получаем: 4 аР г г 4ч( (17,9) Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону. Легко определить количество (массу) жидкости Я, протекающей в 1 сек. через поперечное сечение трубы (или, как говорят, расход жидкости в трубе). Через кольцевой элемент 2игс(г площади сечения трубы проходит в 1 с количество жидкости .2пго с(г. Поэтому р 0=2пр ~ гой' о С помощью (1?,9) получаем: пор зт( (17, 10) Задачи кольцевым сечением (вкуобщем решении (17,8) иэ 1. Определить течение жидкости по трубе с грецкий и внешний радиусы трубы )сг и )сг), Решение.

Определяя костоппиые а и Ь в условий о = 0 при г = )тг и г = Вг, иакодим: г г ВР г г ~~а 1 о — (с, — г + 4ч( Вг "й Количество протекающей жидкости равио Р 4 4 ('г 1) Я вЂ” ((г — (7г~— 8т( йг 2. То же длп трубы эллиптического сечения. Решение. Ищем решение уравнения (177) в виде о Ауг+Взг+С. Постопииые А, В, С определяем из требоваиик, чтобы зто выражение удовлетворило уравнению и граничному условию о = 0 иа контуре сечения (т.е.

уравнение Арг+ Ва'-1- С = 0 должно совпадать с уравнением конкура г) Выражаемая этой формулой зависимость 6 от ор и )1 была уставов- лена эмпиричесии Гагепом (6. Навел, 1839) и Пуазейлел (У. ь. М. Роаеицгс, 1840) и обьпспека теоретически Стоксол (6. 6. Яойез, 1845). В литературе параллельиые течеиии вязкой жидкости между иеподвижиымп стенками часто иазывают просто лразейлееыми; в случае (17,4) говорят о плоском пуазейлевом течении. Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы').