Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 18

зчи 2к Поэтому интеграл (20,!3) сводится к выражению Окончательно находим следующую ЧУормулд Стокса для силы сопротивления, действующей на медленно движущийся В 93 течение при мАлых числАх РеинольдсА жидкости шар '); (20, 14) Отметим, что сила сопротивления оказывается пропорциональной первым степеням скорости и линейных размеров тела. Такая зависимость могла бы быть предсказана уже нз соображений размерности. Дело е том, что в приближенные уравнения движения (20,1 — 2) параметр р — плотность жидкости — не входит. Поэтому определенная с их помогцью сила Р может выражаться только через величины ть и, гг; из них можно составить только одну комбинацию с размерностью силы — произведение т)итт.

Такая же зависимость имеет место и для медленно движу- шихся тел другой формы. Направление силы сопротивления„ в общем случае тела произвольной формы, не совпадает с направлением скорости; в общем виде зависимость Р от ц может быть написана как г; =т)амим (20,15) где ам — не зависящий от скорости тензор второго ранга. Существенно, что этот тензор симметричен.

Это утверждение (справедливое в линейном по скорости приближении) является частным случаем общего закона, имеющего место для медлен. ных движений, сопровождаюшихся диссипативными процессами (см. Ч, $121). Уточнение формулы Стокса Полученное выше решение задачи об обтекании оказывается неприменимым на достаточно больших расстояниях от шара, несмотря на малость числа Рейнольдса.

Для того чтобы убедиться в этом, оценим член (ЕЧ)е, которым мы пренебрегли (20,1), На больших расстояниях скорость к ж п. Производные же от скорости на этих расстояниях — порядка величины ий(/гз, как это видно из (20.9). Следовательно, (ку) и итгг/гт, Оставленные ') Имея в виду некоторые дальнейшие применения, укажем, что если производить вычис гения, пользуясь выражением (20,7) для скорости с неопределенными постоянными а н Ь, то получится г" = злат)и, (20,!4а) Сила сопротивления может быть вычислена и для медленно движущегося произвольного трехосного зллипсоида.

Соответствугощне формулы можно найти в книге ктзмб Г. Гидродинамика.— Мз Гостехиздат, 1947. Укажем здесь предельные выражения для плоского круглого диска (радиуса й), движущегося в направлении, перпендикулярном к своей плоскости: г" 1Епки, и для такого лге диска, движущегося в своей плоскости~ г" (32 /3) Ч)ти. Вязкая жидкость 1ГЛ М (С. В'. Озеегз, 1910). Мы не станем излагать здесь ход решения зтога уравнения для обтекания шара '). Укажем лишь, что с пошью получаемого таким образом распределения скоростей можно вывести уточненную формулу для испытываемой шаром силы сопротивления (следующий член разложения этой силы по числу Рейнольдса зч = и/7/Ч): Р=б"т(ц/т(!+ 6 (20,18) Укажем также, что при решении задачи об обтекании бесконечного цилиндра жидкостью, движущейся в поперечном к цилиндру направлении, необходимо с самого начала решать уравнение Осеена (уравнение же (20,1) в этом случае вовсе не обладает решением, удовлетворяющим граничным условиям на поверхности тела и в то же время обращающимся в нуль на бесконечности).

Отнесенная к единице длины сила сопротивления оказывается равной 4ппи 4нт(и 1/2 — С вЂ” 1п (/ги/4т) !п (3,70и//(и) где С = 0,577... — число Эйлера (О. /.ат/з, 1911) '). (20,19) ') Его можно найти в книгах: Кочин Н. Е., Кибеле Н. А,, Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963, ч. 2, гл. П, 6 25, 26; Лэмб Г. Гидродивамика.

— Мз Гостехиздат, 1947, 5 342, 343. з) Невозможность вычисления силы сопротивления в задаче о цилиндре с помощью уравнения (20,1) очевидна уже из соображений размерности. Как уже отмечено выше, результат должен был бы выражаться только через параметры Ч, и, /7. Но в данном случае речь идет о силе. отнесенной к единице длины цилиндра; величиной такой размерности могло бы быть только произведение Чи, не зависящее от размеров тела (н тем самым не обращающееся в нуль прн и-ь О), что физически нелепо. же в уравнении (20,1) члены — порядка величины т(/2и/ргз (как это можно увидеть из той же формулы (20,9) для скорости или формулы (20,12) для давления). Условие ит)/г/ргз )> из/с/гз выполняется только на расстояниях г чК т/и.

(20, 16) На ббльших расстояниях сделанные пренебрежения оказываются незаконными и полученное распределение скоростей неправильным. Для получения распределения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого тела следует учесть отброшенный в (20,1) член (иЧ)м, Поскольку на этих расстояниях скорость чг мало отличается от н, то можно написать приближенно (иЧ) вместо (КЧ). Тогда мы получим для скорости на больших расстояниях линейное уравнение (иЧ) ч = — — Чр + т Гз» 1 р ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕП!ЧОЛЬДСА 95 Возвращаясь к задаче об обтекании шара, надо сделать следующее замечание.

Произведенная в уравнении (20,17) замена ч иа и в нелинейном члене оправдана вдали от шара, на расстояниях г » Р. Естественно поэтому, что, давая правильное уточнение картины движения на больших расстояниях от обтекаемого тела, уравнение Осеена не дает такого уточнения на близких расстояниях (это проявляется в том, что решение уравнения (20,17), удовлетворяющее необходимым условиям на бесконечнасти, не удовлетворяет точному условию обращения в нуль скорости на поверхности шара; это условие соблюдается лишь для нулевого члена разложения скорости по степеням 'числа Рейнольдса и не выполняется уже для члена первого порядка).

Поэтому на первый взгляд может показаться, что решение уравнения Осеена не может послужить для правильного вычисления поправочного члена в силе сопротивления. Это, однако, не так по следующей причине. Вклад в силу Г, связанный с движением жидкости на близких расстояниях (для которых и «т/г), должен быть разложим по степеням вектора и. Поэтому первый происходящий от этого вклада отличный от нуля поправочный член в векторной величине Р будет пропорционален низ, т. е.

дает поправку второго порядка по числу Рейнальдса и, таким образом, не отразится на поправке первого порядка в формуле (20,18). Вычисление же следующих поправок к формуле Стокса и правильное уточнение картины течения на близких расстояниях с помощью прямого решения уравнения (20,17) невозможно. Хотя сам по себе вопрос аб этих уточнениях н не столь важен, 'выяснение своеобразного характера последовательной теории возмущений для решения задач об обтекании !вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса представляет заметный методический интерес (а.

(чар(ип, Р, А. 7.айегз(тат, 1957; 7. Ргоиг(тап, У, г(. Реагхоп, 1957). Опишем имеющую здесь место ситуацию, приведя все нужные для ее уяснения формулы, но не останавливаясь на детальном проведении вычислений '). ') Его можно найти в книге ВангЛпйк М. Методы возмущений в механике жидкости.

— Мз Мир, !9Е7, гл. Ъ'Н! (рпп Гзрче М. Рег1пгЬа)сзп гпензопз (п !1п14 шее!~зп1сз. — Асвдеш!с Ргезз, 1994). Вычисления произведены здесь не в терминах скорости ч(г), в в менее наглядных, нп более компактных термнивх функпни тока. Для осесимметрнчных течений (к которым относится ббтекзнне шара) функпвя тока ф(г,в) в сферических координатах вводится согласно определению 1 Вф о,= "Мпв ~Е ' 1 дф о = — —, о =О. Е гыпв дг' ч Тем самим тождественно удовлетворяется уравнение непрерывности (15, 221. нязнхв жидкость !Гл. » Для явного выявления малого параметра К вЂ” числа Рейнольдса — введем безразмерные скорость н радиус-вектор ч' = ч/и, г' = г/>с и ниже в атом параграфе будем обозначать их теми же буквами ч и г, опуская штрих.

Тогда точное уравнение движения (которое возьмем в форме (15,10) с исключенным давлением) запишется в виде >сго1(чго1ч)+ Л го1 ч = О. Выделим в пространстве вокруг обтекаемого шара две области: ближнюю и дальнюю, определенные соответственно условиями г (( 1/>с и г » 1, Вместе зти области исчерпывают все пространство, причем частично они перекрываются в «промежуточной» области 1/К » г » 1. (20,21) При проведении последовательной теории возмущений исходным приближением в ближней области является стоксово приближение — решение уравнения Лго1ч = О, получающегося из (20,20) пренебрежением члена с множителем й. Это решение дается формулами (20,10); в безразмерных переменных она имеет вид па>=созО(! — — + — ), п'н= — з!п9~! — — — — ) ага) в г3 г (( 1/!х (20,22) (индекс (1) отмечает первое приближение).