Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 17

жидкость мы будем предполагать несжимаемой. Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидро- динамические уравнения (уравнение Навье — Стокса) входит только кинематическая вязкость ч = т1/р; неизвестными же функциями, которые должны быть определены решением уравнений, являются при этом скорость ч и отношение Р/р давления р к постоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жидкости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим посредством й Скорость же натекающего потока пусть будет и.

Таким образом, каждый тип движения жидкости определяется тремя параметрами: ч, и, й Эти величины обладают размерностями: [ч] = смх/с, [1] = см, [и] = см/с. Легко убедиться в том, что из этих величин можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, именно, 1и/ч. Эту комбинацию называют числом Рейнольдса и обозначают посредством и': й= — =— ри1 и1 (19,1) Ч Всякий другой безразмерный параметр можно написать в виде функции от ц. Будем измерять длины в единицах 1, а скорости — в единицах и, т.

е, введем безразмерные величины г/й ч/и. Поскольку единственным безразмерным параметром является число Рейнольдса, Вязкая жидкость [гл и то ясно, что получающееся в результате решения гпдродвнами- ческих уравнений распределение скоростей определяется функ- циями вида я=и1( —,, ц). (19,2) Из этого выражения видно, что в двух различных течениях одного и того же типа (например, обтекание шаров различного радиуса жидкостями различной вязкости) скорости ч/и являются одинаковыми функциями отношения г/1, если только числа Рейнольдса для этих течений одинаковы.

Течения, которые могут быть получены друг из друга простым изменением масштаба измерения координат и скоростей, называются подоб. ными. Таким образом, течения одинакового типа с одинаковым числом Рейнольдса подобны — так называемый закон подобия (О. )гедпоЫз, 1883) Аналогичную (19,2) формулу можно написать и для распределения давления в жидкости. Для этого надо составить из па.

раметров я, 1, и какую-нибудь величину с размерностью давления, деленного на р; в качестве такой величины выберем, например, из. Тогда можно утверждать, что р/риз будет функцией от безразмерной переменной г/1 и безразмерного параметра К. Таким образом, р=ри') ( —, К). (19,3) Наконец, аналогичные соображения применимы к величинам, характеризующим течение жидкости, но не являющимся уже функциями координат. Таковой является, например, действующая на обтекаемое тело сила сопротивления Р. Именно, можно утверждать, что безразмерное отношение Р к составленной из ч, и, 1, р величине размерности силы должно быть функцией только от числа Рейнольдса. В качестве указанной комбинации из т, и, 1, р можно взять, например, произведение рих(з.

Тогда Р = ри'(э((К). (19,4) Если влияние силы тяжести на движение существенно, то движение определяется не тремя, а четырьмя параметрами: 1, и, ч и ускорением силы тяжести д. Из этих параметров можно составить уже не одну, а две независимые безразмерные комбинации. В качестве их можно, например, выбрать число Рейнольдса и число Фрдда, равное Г = из/1д. (19,5) В формулах (19,2 — 4) функция 1 будет зависеть теперь не от одного, а от двух параметров (Й и Г), и течения являются по- добными лишь при равенстве обоих этих чисел. ТГЧРИИВ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РРПИОЛЬДСА Наконец, скажем несколько слов о нестационарных движениях, Нестационарное движение определенного типа характеризуется наряду с величинами ч, и, ! еще значением какого-либо характерного для этого движения интервала времени т, определяющего изменение движения со временем.

Так, при колебаниях погруженного в жидкость твердого тела определенной формы этим временем может являться период колебаний. Из четырех величин ч, и, 1, т можно опять составить не одну, а две независимые безразмерные величины, в качестве которых можно взять число Рейнольдса и число 8 = ит/1, называемое иногда числом Струхала (Ягоийа!). Подобие движений имеет место в таких случаях при равенстве обоих этих чисел. Если колебания в жидкости возникают самопроизвольно (а не под влиянием заданной внешней вынуждаюшей силы), то для движения определенного типа число Я будет определенной функцией числа Й: Я = !(й). $20. Течение при малых числах Рейиольдса Уравнение Навье — Стокса заметно упрощается для движений с малым числом Рейиольдса.

Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид (чЧ) ч = — — угад р+ — Ьч. 1 ч Р Р Член (ХЧ)ч имеет порядок величины и'/1, где и и ! имеют тот же смысл, как и в 9 19. Выражение же (г1/р)оч — г1и/РР. Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при !т (( 1 членом (ХЧ)ч можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению Чбч — игад р = О. (20,1) Вместе с уравнением непрерывности Йчч=О (20,2) оио полностью определяет движение.

Полезно также заметить уравнение Лго1ч = О, (20,3) получающееся применением операции го! к уравнению (20,1), Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости (6. 6. Жойез, !851). Эта задача вполне эквивалентна задаче об обтекании неподвижного шара потоком игл и вязкхя жидкость жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость а, Распределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости а; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью — а.

Если мы рассматриваем движение как стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем. Поскольку 01ч(ч — а) = Жч ч = О, то ч — а может быть представлено в виде ротора некоторого вектора А: ч — а = го1 А, причем го$А обращается на бесконечности в нуль.

Вектор А должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела — шара — нет никаких выделенных направлений за исключением направления а. Этот параметр а должен входить в А линейно — в виду линейности уравнения движения н граничных условий к нему. Общий внд векторной функции А (г), удовлетворяющей всем этим требованиям, есть А = = ['(г) [па], где и — единичный вектор в направлении радиус- вектора г (начало координат выбираем в центре шара), а ['(г)— скалярная функция от г.

Произведение ['(г)п можно представить в виде градиента некоторой другой функции ((г). Таким образом, мы будем искать скорость в виде ч = а+ го( [7[.а] = а+ го(го([а (20,4) (в последнем равенстве учтено, что а = сопя(). Для определения функции [воспользуемсяуравненнем (20,3). Имеем: го( ч = го( го1 го([а = (цтад 31ч — Ь) го([а = — А го([а.

Поэтому (20,3) принимает вид Ь' го( [а = А' [Ч[ а] = [Ь' втаб [. а] = О. Отсюда следует, что должно быть А'цтад [ = О. (20,5) Первое интегрирование дает А'[= сопзй Легко видеть, что сопя( должна быть положена равной нулю. Действительно, ца бесконечности разность ч — а должна исчезать; тем более это относится к ее производным. Выражение же А'[ содержит четвертые производные от [, между тем как сама скорость выражается через ее вторые производные. ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА Таким образом, имеем Ьз( ф — „" ( ' — "„',~) = 0.

Отсюда Ь1 = —, + с. Постоянная с должна быть положена равной нулю для того, чтобы скорость о — и исчезала на бесконечности. Интегрируя остающееся уравнение, находим: ~=аг+ —, (20,6) (аддитивная постоянная в 1 опущена как несущественная — скорость определяется производными от'1). Подстановка в (20,4) дает после простого вычисления п+ и (пп) 1 зп (пп) — п тг=п — а— г гг (20,7) Постоянные а и Ь должны быть определены из граничного усло- вия и = 0 при г = Я (на поверхности шара): (1 — — ' — — ',)+ ( )( — — '+ — зь,)=0. Поскольку это равенство должно иметь место при произволь- ном и, то коэффициенты при н и при п(нп) должны обращаться в ноль каждый в отдельности. Отсюда находим и = ЗЯ/4, о = = )сз/4 и окончательно: 3 Яэ ~= — В+ —, 4 4г ' зг и+ 1 ) А" п — зп( ) 4 г гэ + и.

(20,8) (20,9) Лг ч о = и соз 0[1' — — + — 1. 1 Зг Ег'.1' 3Я Л41 о = — из)п0!1 — — — — ~. е [ 4г 4г~ 3' (20, 10) Этим определяется распределение скоростей вокруг движущегося шара. Для определения давления подставляем (20,4) в (20,1); угад р = т) Ьч = т1 Ь го1 го1 1н = т) Ь(йгад д!ч )н — и Ь)) Компоненты скорости в сферических координатах (с полярной осью в направлении н): !гл и ВязкАя жидкость Но А9 = 0 и потому агам р = пгаг((п А йч)и) = ятаб (пп пгаб АД. Отсюда (20,11) р = т!и пгад А!'+ Ро (рь †давлен жидкости на бесконечности). Подстановка ! приводит к окончательному выражению (20,!2) С помощью полученных формул можно вычислить силу 'Р давления текущей жидкости на шар (или, что то же, силу сопротивления, испытываемую движущимся в жидкости шаром). Для этого введем сферические координаты с полярной осью вдоль скорости и; все величины будут в силу симметрии функциями только от г и полярного угла О.

Очевидно, что сила г направлена по скорости н. Абсолютная величина этой силы может быть определена с помощью (15,14). Определяя из этой формулы компоненты (по нормали н по касательной к поверхности) силы, приложенной к элементу поверхности шара, и проецируя эти компоненты на направление и, найдем: Р = ~ ( — р соз 0+ о'„соз 8 — о, 'з1п О) д~, (20,13) где интегрирование производится по всей поверхности шара. Подставив выражения (20,10) в формулы да Г! дш дьз аз Х о =2т! —, о =т!!А — — + — — — ! г~ дг ' гз ~ г да дг г (см. (!5,20)), найдем, что на поверхности шара о„=0, о = — — из!п8, ~В а давление (20,12) Р = Ро — соз О.