Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002

Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002, страница 15

DJVU-файл Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002, страница 15 Биофизика (2706): Лекции - 5 семестрГ.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002: Биофизика - DJVU, страница 15 (2706) - СтудИзба2019-05-10СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "биофизика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 15 - страница

д. Отметим, что переходы устойчивый узел — устойчивый фокус и неустойчивый узел — неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового щюсгранства при этолг не меняется. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркациониых переходах в лекции 6. Прн бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация нюзывается бифуркацией Андроноеа — Хотгфа по именам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рогкдение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см, лекцию 8). Модели, описываемые систпемами двух автаономных ди(ттреренциальнвтх уравнений 75 Уравнения изоклин горизонтальных касательных: ~у йгт — у= с(х в'з Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.

Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми. ду 1св Если т. = О, то — = — — у. дх ат Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым у = = у(х), пересекающим ось ординат х = т), отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные х, у имеют значения концентраций, и поэтому нас интересует только правый ворхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат.

Рассмотрим ось у = О. В месте пересечения этой оси интегральными кривыми онп описываются уравнением: При О с х < — тангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих ось абдт вг сцисс,положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличением х. Й~ ут — .=. сю при х =- —.

е(х Гг' Затем прп дальяейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, н стремится к — 1 щ>и тс -в оо. Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий.

Характер устойчивости особой точки установим, пользуясь методом Ляпунова. Характеристический определитель системы имеет вид: --тсг — Л О йг -йз-Л ~--О Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение системы: Л - (Кг — 1сз)Л вЂ” 1сгйз =- О. Корни этого уравнения ты, =-'.-а,-ус+,7~;::уст — т ат ~ 2т оба дейсгвительныт так как дискрнминант Тд — (й —, йз) — 4тсг1сз =- (йг — т"з) пологкителен при любых значениях паралтетров. утЪ всегда меньше, чем йг + йз, т. е. корни характеристического уравнения оба отрицательны.

Следовательно, стационарное состояние системы представляет собой устойчивый узел. Прн этом концентрация вещества Х стремится к стационарному состояншо всегда монотонно, концентрация вещества 1т может проходить через шш или шах. Колобательные режимы в такой системе невозможны. Пусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида: — = с'з(х, у) псу с)1 — = Р(х, у), Й (5.1) Р(х, у) = О, сс(х, у) — — О. (5.2) Стационарные состояния соответствуют особым точкам дифференциального уравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые: Ф Фх,у) асх Р(х, у) (5.3) Математический анализ поведения траекторий этой системы на фазовой плоскости связан с именами фраппузского математика Анри Пуанкаре (1854-.1912) и русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова (1857 — 1918).

Ляпунов показал, что в большом числе случаев анализ устойчивости стационарного состояния нелинейной системы можно заменить анализом устойчивости системы, линеаризованной в окрестности стационарного состояния. Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольпюм отклонении системы от состояния равновесия. Введем вместо переменных х, у новые независимые переменные С, с1, определив их как смещения относительно равновесных значений переменных (5.4) Подставив эти выражения в (5.1), получим: — ' + — ' = Р(х - Р„у + у) — ' -' — ' = Фх + 6 у -' у). ,(х дб (У УУ асс с(1 ' ' Ф с(1 (5.5) — = — = О, так как х, у координаты особой точки. сЫ ссу с1у оу Предположим, что функции Р и с„> непрерывны и имеют непрерывные производные пе ниже первого порядка.

Тогда мы можем разложить правые части уравнений (5.5) в ряд Тейлора по переменным,с ср ٠— = Р(ххб у)+ аС+ Ьу '- (рсД Ч 2рсз(с1+ряяс1 Р ...) ~ з, 2 Й с(с1 — —... сс(х, у) —, сс + ссг1 —, (с1лтб — 2с7лзсс1 — узтс1 ' ...)— Ф (5.6) где и —.. Р,'.(х, у), Ь.=- Р„'(х, у), с =.

Я',.(т,. у), д.—.— О, (х, у). (5.7) Учтем, что по определению особой точки Р(х, у) = О, Я(х, у) = О, Стационарные значения перелсенных системы определяются из алгебраических уравнений: 80 .7екция б и отбросим в уравнениях (5.6) нелинейные члены. Получим систему линейных уравнений с поггоянныъси коэффициентами систему первого приближения: д~ с(у — =ас+50, — =се-ссйр дс ' аг (о.8) Решение атой системы было рассмотрено в лекции 4. Оно определяется корнялсн характеристического уравнения системы: а — Л 5 д--Л ~ (5.9) Ляпунов показал, что в случае, если оба корня уравнения (5.9): имеют отличные от пуля действительные части, исследование уравнений первого при- ближения (5.8) всегда лает правильный ответ на вопрос о типе устойчивости состояния равновесия в системе (5.1). А имонно: ° если оба корня имеют отриоательную действипсельную часть и.

следовательно, все решения уравнений первого приближения (5.8) затухают. то состояние равновесия устойчиво; ° если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то есть система (5.8) имеет нарастаюшие решения, то состояние равновесия неустойчиво. = '.Р,(х у) — Ю, (у у)) Р,'(х, у) С;У (х, у) Р,„'(х, у) сгс„(зхй у) (5.12) Грубым сос:таяниям равновесия соотвотствуют все точки плоскости параметров о, Ь,лежаспие вне осн Ь = 0 и полуоси о = О, сх > О.

Точкам оси Ь = 0 и полуоси о =. О, гх > 0 соответствуют негрубые состояния равновесия (негрубые особью точки). Их свойства могут быть измонепы сколь угодно малыми изменениями правых частей уравнений (5.1) за счет сколь угодно малых Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицаспелен, то уравненил (5.8) не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия, и необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в рлд Тейлора правых чаоспей уравнений (5.6).

В случае, когда оба корня харзктеригтсггеского уравнения имеют отли чные от нулл действительные части (грубсяе системы), уравнение первого приближения определяют не только устойчивость стационарного состояния, но и характер фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности. Как и в случае линейных уравнений (лекпия 4) здесь возможны пять типов грубых состояний равновесия: устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус и седло. Для исследования типов состояний равновесий удобно пользоваться диаграммой., изображенной на рис. 4.10. Для системы (5.1): Исследование устойчивости стаиионарных состолний.

81 изменений функций Р(х, у), Я(х, у) и нх производных, Поэтому характер ногрубых состояний равновесия (в частности, устойчивость) уже не определяется значениями коэффициентов в правых частях уравнений первого приближения (5.8). В отличие от линейных систем, уже при небольших изменениях в правых частях содержащихся там нелинейных членов может произойти качественное изменение фазового портрета бифурноцил. Примеры 1. Кинетические уравнения Лотки (А.

Л. Еоййа, Е1егпепйэ оГ РЬуэ1са1 В1о1ону» 1925) Лоткой была исследована гийютетическая химическая реакция: — А — о Х вЂ” ' Ъ' =ч В. йо й, — й» Модель очень простая и служит хорошей иллюстрацией применения исследования устойчивости стационарного состояния системы методом линеаризации. Пусть в некотором объеме находится в избытке вещество А. Молекулы А с некоторой постоянной скоростью Йо превращаются в молекулы вещества Х (реакция нулевого порядка). Воинство Х может превращаться в вещество чй', причем скорость этой реакции тем больше, чем больше концентрация вещества Ъ', -- реакция второго порядка.

В схеме это отражено обратной стрелкой над символом Ъ. Молекулы Ъ', в свою очередь, необратимо распадаются, в результате образуется вещество В (реакция первого порядка) . Запишем систему уравнений, опнсйиваюпйих реакпию: с1х . пУ, . с1В = но ййху; = кйху 1сяу = йяу. с1г " ' Й '' ' ' с1г (5.13) Здесь х, у,  — концентрации химических компонентов.

Первые два уравнения этой системы не зависят от В, поэтому их можно рассматривать отдельно. Рассмотрил» стапионарное решение системы: — =-О., — '.— -О. с1х с1у сй ' о1г Из этих условий получим систему алгебраических уравнений, связывающих равновесные концентрации х, у: йо — 1сйху =- О, койху — йэу = О. Координаты особой точки: хЯ =Х+61), у(1) =у+О(1).

Линеаризованная система в новых переменных имеет вид: с15 й.,йо Ф 1гййо — .—.- — /сзу— оо» нз сй Уя (5З5) — — йо — Р= —. 1" й ' 'к» Исследуем устойчивость этого стационарного состояния методом Ляпунова. Введем новые переменные с, гй характеризующие отклонения переменных от равновесных концентраций У, у: 82 ,7екция 5 йойо Л й2 йгйо йв =- О, или + Л + йой1 = О. й1 йо Ь1 1(ории характеристического уравнения: Фазовый портрет системы (5.13) изображен на рис. 5.1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее