А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 4

Суперпозиция состояний квантовой теории существенно отличается от суперпозиции колебаний в классической физике, в которой суперпозиция колебания с самим собой приводит к попому колебанию с большей или меньшей амплитудой. Далее, в классической теории колебаний существует состояние покоя, в котором всюду амплитуда колебания равна нулю. В квантовой же теории равенство Нулю волновой функции во всех точках пространства соответствует отсутствию состояния.

Для выполнения принципа суперпозиции состояний необходимо, чтобы уравнения Шредингера, которым удовлетворяют волновые функции, были линейиымн. Следует, однако, отметить, что не всякая линейная комбинация произвольных решений уравнения Шредингера для системы, состоящей из одинаковых частиц, отображает возможные состояния этой системы. Допустимымн волновыми функциями таких систем являются лишь те, -в--. ехппм.~ .: Я 72 и 73). Возможно, что принцип суперпозиции состояний нарушается в явлениях, протекающих в областях пространства, линейные размеры которых меньше '!б-и см, где могут играть некоторую роль нелинейные эффекты.

В этой книге мы будем рассматривать только состояния, удовлетворяющие принципу суперпозиция. Принцип суперпозиции состояний отражает очень важное свойство квантовых систем, не имеющее аналога в классической физике. Для иллюстрации этого свойства рассмотрим состояние, которое изображается волновой функцией (3,1), где ф, = ехр (1 (й г — в,1)), фз = ехр (1 (йзг — мз1)). ф(з, г) ) А (й) ехр (1(йя — оо1)) г(л, (3,2) т. е. в виде совокупности плоских волн, волновые векторы которых направлены вдоль оси з и имеют значения, лежащие в интервале йо — бй «й (~ йо+ ~И.

Введем новую переменную $ й — йь тогда, разлагая 1о(й) в ряд по степеням $ и.ограничиваясь только двумя первыми члег йа1 нами разложения го(й)=ео+~ — „а~ $, можно, преобразовать (3,2) к виду «%п~(о — ~ — ) у~ Ьа~ ф (я, 1) 2А (йо) „„' ехр (1 (йот — ооог)1 13 3) 4Ь о Множитель, стоящий перед быстро осциллирующей функцией ехр (1 (йод — ооой)), можно назвать амплитудой функции. Схематически вид этой амплитуды в момент 8 = О изображен на рнс. 1. Максимальное значение амплитуды, равное 2А (йо)М, соответствуег значению г = О. При я = г„яв (п~бй)п, где и = ~1, ~2, ..., амплитуда обращается в нуль.

Значение Ьа 2ао = 2п/йл можно рассматривать как пространственную протяженность волнового пакета. Чем меньше йл (разброс значений импульсов), тем боль- В состояниях 4ч и фо частица движется с определенными значениями импульса р~ —— ой» и ро = ййо соответственно. В состоянии же (3,1) движение частицы не характеризуется определенным значением импульса, так как это состояние нельзя изобразить плоской волной с одним значением волнового вектора. Новое состояние (3,1) является в некотором смысле промежуточным между исходными состояниями ф, и 4ъ, Это состояние тем больше приближается к свойствам одного из исходных состояний, чем больше относительный «вес» последнего, который, как мы увидим позднее, пропорционален отношению квадратов модулей соответствующих коэффициентов линейной суперпозиции.

Таким образом, квантовая механика допускает состояния, в которых некоторые физические величины не имеют определеняых значений. Рассмотрим теперь состояние свободного движения, когорое характеризуется волновой функцией, представленной «волновым пакетомь Рис. Ь Зависимость амплитуды волновото пакета от расстояния для с О:. ствующая максимальному значению амплитуды, перемещается в пространстве со сноростью (2,3), на- которая называется групповой скоростью. Используя ходим, что о = — где ро=ляо.

Ро з я Рассмотрим волновой пакет Ььв тр (я, 1) = ) А (я) ех р ~~ (Ы вЂ” до1)), то =— (3,5) который в момент времени к=0 ймел внд тР (я, О) = ехр ( — з7(2Г')). .Определим вид волнового пакета при г > О. Из (3,6) равенства тр(я, О) ) А(я) е'~'дя се ше пространственная протяженность пакета. Учитывая, что ЬЙ = Ьр/В, можно преобразовать равенство ЬяЬЙ =2я к виду Ья Ьр = 2яв. (3,4) С течением времени средняя точка волнового пакета, соответ- следует,-что А (л) = — ~ ф (я, О) е ™ и'г. (3,У) Подставив в это выражение значение (3,6) и используя формулу ехр ( — азх+ ура) г(я = )/ — елр ( — р74а), (3,8) получим й 4.

Статистическое толкование волновой функции Для объяснения волновых свойств электронов, наблюдаемых в опытах Дэвиссона и Джермера и др., надо допустить, что после прохождения периодической структуры распределение электронов в пространстве (регистрируемое фотопластинкой, счетчиком и т. д.) пропорционально относительной интенсивности волны в этом месте. Нельзя предположить, что сами частицы являются образованиями, составленными из волн.

При дифракции падающая волна разбивается на систему дифрагированных волн, электрон же ведет себя как единая частица. Нельзя допустить также, что волновые свойства частицы обязаны своим пронсхеждением коллективному поведению системы взаимодействующих частиц (таковы, например, звуковые волны). Дифракционная картина, отмечаемая фотопластинкой, не зависит от интенсивносги пучка частиц. Оиа наблюдается и при очень малой интенсивности пучка частиц Щ. Можно также отметить, что волновые свойства проявляются и в том случае, когда система содержит всего один электрон, например в атоме водорода.

Каждый электрон, проходя через периодическую структуру и попадая на фотопластинку, вызывает (после проявления) потемнение небольшого ее участка. Если же па фотопластинку попадет большое число электронов (независимо от того, двигались ли они вместе или один за одним через длительный промежуток времени), распределение потемнений на фотопластинке соответствует дифракционной картине. Учет этого обстоятельства по- А (л) ==ехр ( — э ). (3,9) Подставив (3,9) в (3,5) и снова используя (3,8), находим окончательное выражение ~~'+ ' ~ ехр( а(г + 'эг~ )) зволил М. Ворну (1926 г.) дать статистическую интерпретацию волновой функции, которая подтвердилась всем дальнейшим ходом развития квантовой механики.

Согласно этой интерпретации, интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства в данный момент времени пропорциональна вероятности обнаружения частицы в этом месте пространства. Эта интерпретация сохраняется и для волновой функции, описывающей состояние системы частиц. Волновая функция системы частиц заниснт от времени и от координат, число которых равно числу степеней свободы системы (см. Ч 12). Совокупность,значений всех независимых координат в некоторый момент времени кратно будем обозначать одной буквой $. Задание $ определяет точду в абстрактном пространстве, которое называют конфигурационным пространствоас Элемент объема в конфигурационном пространстве будем обозначать д$.

Для системы, состоящей из одной частицы, конфигурационное пространство совпадает с обычным трехмерным пространством. В этом случае $ = (х, у, а) и сф = с(х ду дг. Однако уже для системы, состоящей из двух частиц, конфигурационное пространство обладает шестью степенями свободы, т. е. $=(хп уп а,; хь ум а~), . г$=дх, ду, дг~ йк,г(у,доз. В этой главе будут рассматриваться значения волновых функций для определенного момента времени, поэтому время мы ие будем указывать в явном виде. Итак, волновая функпия является вспомогательным понятием, используемым в квантовой механике для вычисления значений физических величин в состоянии, определяемом этой Функцией.

В частности, в квантовой механике принимается, что волновая функция дает сведения о вероятности того, что при измерении положений частиц системы мы найдем их в тех или иных местах пространства. Именно принимаегся, что величина ! Ф(в) !эг(ь=Ч'(з) Ч (ь) а5 пропорциональна вероятности того, что в результате измерении Мы найдем значения координат частиц системы в интервале 5.ч+ $ Если резулыат интегрирования !Ф!' по всем возможным значениям координат'сходится, т. е. если ~ !ФРд$=1У, то, используя утверждение % 3 о том, что функции, отличающиеся произвольным, не 'равным нулю комплексным множртелем, соответствуют одному и тому же состоянию, моМио выбрать но.вую волновую функцию ф'=Ф такую, чтобы выполнялось равенство ~! ф'й) 105=1.

° (4,ц Равенство (4,1) называют условием нормировки, а волновые -функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными функциями. Для нормированных функций ф величина ~ф~х Ы$ определяет вероятность Н(е Щ значений коордкнат системы в интервале 5,.$ + Иг„ В этом случае величину р ($) д~ =1Ф (зН' называют плотностью вероятности Из условия нормировки (4,1) следует„что нормированная -функция определена с точностью до множителя, модуль которого равен единице,. т. е с точностью до множителя е"", где сс — любое действительное число. Эта неоднозначность не отражается ни на каких физических результатах, так как все .физические величины, как мы увидим позднее, определяются ,выражениями, содержащими произведение ф на комплексно сопряженную функцию ф* или ее производные по вещественным .аргументам.

В некоторых случаях ) 1фРсф=ос; тогда волновые функ,ции нельзя нормировать условием (4,1) и р = ~ф($) 1х не будет плотностью вероятности. Однако и в этих случаях отношение ~велячнн ~ф($)~з для разных $ определяет относительную ве.роятность соответсгвующих значений координат. Вопрос о сно~ :сабах нормировки таких функций будет рассмбтрен для частного случаи в следующем параграфе, а в общем случае в 5 1О. Если волновая функция при 1 0 имеет вид волнового па..кета (3,6), то плотность вероятности изображается функцией Гаусса р(е, 0) =! ф(г, О) 'г ехр( — е9Г») (4,2) с «шириной» Г.

При 8 > 0 эта функция переходит в (3,10). Следовательно, плотность вероятности принимает вид Р(е. 9=~1+( — ) ] ехр( — газ(1)), (4,3) .который также соответствует функции Гаусса, но уже с «шириной» Г(г)=~/Г'+~ — „"') . (4,4) возрастаюшей с течением времени. Говорят, что пакет «рас плывается» с течением времени.