А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 7

Этот вывод имеет очень большое значение для интерпретации физических следствий квантовой механики. Результатом измерения физической величины Р в сосгоянии фв будет с достоверностью значение Г. Если состояние системы описывается волновой функцией ф, не совпадающей ни с одной собственной функцией'оператора Р, то при измерениях величины Р в этом состоянии мы. будем получать разные значения, каждый раз равные одному из собсгвенных значений оператора Р.

Таким образом, совокупность собственных аначений оператора Р указывает возможные результаты измерений величины Р в произвольных состояниях. Этими утверждениями определяется физический смысл собственных значений операгоров квантовой механики. В некоторых случаях одному собственному значению оператора соответствует несколько линейно независимых собственных функций; тогда соответствующая физическая величина имеет определенное значение в каждом из состояний, описываемых этими волновыми функциями.

Число независимых собственных функций, соответствующих данному собственному значению, называют «рагыосгью вырождения этого собственного значения. При наличии вырождения собственные функции, соответствующие одному собственному значению, приходится снабжать вторым индексом, пробегающим значения 1, 2, ... вплоть до числа, равного кратности вырождения. Нацример„при трехкрат. ном вырождении имеются три функции арль арли, фаз, соответствующие одному собственному значению Р. Иногда, как мы увидим" в последующем изложении, волновые функции вырожденных состояний снабжают и большим числом индексов.

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то,.что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны ($7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функ'- цию ф+, комплексно сопряженную к ф, н вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим: (Р— 'Р*) ) Ф'Фг( = ) тг РФ "и — ) зрР ф с( . Используя условие (7,4) самосопряженности оператора Р, на- ходим Р = Р', что и указывает на действительность Р, Дли иллазстрацин вышесказанного вычислим собственные значении и собственные функции трех простейших операторов.

основныв понятия квлнтовон мвканики (гЛ, 1 а) Собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса Р,. Задача сводится к решенюо уравнения — Й вЂ” рхф (х). дф (х) дх Непрерывные, однозначные и конечные решения етого уравнения возможны для всех действительных значений р„, заключенных в интервале — са ( ( р ( сь. Следовательно, оператор р, имеет непрерывный спектр собсгвенных значений. Каждому собственному значениго р„= р соответствует одна собственная функция (отсутствует вырождение) фр(х) =А,р(1 — х).

! р '( й (8,6) Эта функция описывает движение частицы вдоль оси х с определенным импульсом р. Волновые фуннцин (8,6). как и другие собственные функции операторов, имеющих непрерывный спектр, нельзя нормировать обычным образом, так как ) 1фр(х) Р бр = со. Волковые функции (86) являются частным случаем волновых функций свободного движения частнц с определенным импульсом, рассмотренного в 2 5, где был указан олин из способов нормировки таких фуикцйй.

б) Собственные значении и собственные функции оператора проекции углового момента Еи Из табл. ! (6 7) имеем 7 д д1 ьх = — гй1х — — Р— 1. др дх !' Если перейти к сферической системе координат (см. мат, попели. В), то д получим ьа= — 16 —. Таким образом, залача сводится к решению урав- д~р * пения — гй — = йхф Ь) дф (ф) дф (8,7) где переменная ф изменяется в пределах О ( ю(2п.

Решенинми (8,7) яв- ляются ф(ф) =А ехр (1 — ~~р). Для выполнения условия однозначности функции ф необходимо, чтобы ф (ю) = ф (ф+ 2п). Сх = Ьи, т = О, ~ 1, ~ 2, -г- ... (8,8) Собственные функции ф~(ф), соответствующие собственным значениям (8,8) и нормированные условием ) фзгфю гйр = 1. имеют вид о фю йр) (2п) 'девая. Это условие удовлетворяется, есзи г,,lй = ю, где и = О, ~1, ~2, ~ ... Таким образом, спектр собственных значений оператора й, является дискретным: СОПСГВЕННЬГЕ ФРНКНИИ ОПЕРАТОРОВ в) Собственные значения и собственные " функции квадрата углового мо.мента, Дли вычисления собственных значений и собственных функций оператора квадрата углового момента надо решить дифференциальное уравнение у.зф йтф (8„9) Удобнее, однако, пользоваться оператором квадрата углового момента.

выраженным через сферические координаты. В этом случае (см. мат. дополн. Б) (8,10) и уравнение (8,9) сводитсн к уравнениго ) 1 д /. д! 1 дт /т! — ~э1пΠ— )+ . — + — 1ф(0,0)=0. (8,1!) з)пО дО ( дО з!из О дф' дт ) Сравним полученное уравнение с уравнением для сферических функднй Уь,: ) 1д/,д11дт — — ~з1п  — ) + —, — + / (! + 1)1 У!ж (О. 0) = 0 з!п В дО дВ з1пт О дфт где / = О, 1, 2, ... Эти уравнения совпадают, если вт = йт!(!+ !). (8,12) Таким образом, мы приходим к заключению, что собственные значения оператора квадрата углового момента определяются квантовымн числами ! = О, 1, 2, ... с помощью выражения (8,12), а собственные функции этого оператора совпадают со сферическими функциями У~ (Вф) порядка !.

При этом каждому собственному значению ьз, т. е. каждому значению кваитоного числа !, которое принято называть орбитальным квантовым числом, соответствует м'+1 сферических функпий У~ . Эти функции отличаются значениими второго квантового числа в, называемого магнитным кзаитоаььи числом, приикмаюшим прн заданном / значении и О,ж1, '...А.!. Явнаи зависимость сферических функций от углов В и ф для положи- тельных значений т определяется выражением У,„(0.

р)=01 (О) ехр (!т~р) )/2п (8,13) где 6(0)(!)'!Г(2/+1)(!ю)1(10)тд(з1пВ)(81й) ! /' 1~ Действительные функции 6 можчо выразить через производные ог полиномов Лежандра дг Р! (х) = — !- — [(х" — 1)!!. Л2 г/х где оператор квадрата углового момента определяется с помощью табл. 1 выражением э Х ~Ч»', Хзп / 1 ООИОВИЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ !гл. ! Действительно, при т,н О Епн(8)=( — !) ) 3(1+ )! ) и!п 8 (д 8 т Рг(созй) (8,На) Г(31+ 1)(1 — т)1 У1* т дт Сферические фуннции для отрипательных значений т = — 1, — 2, ... 1 определяются нэ условия ') У, „(8, р) =,( — П Уг',„(8, р).

(8,15) Сферические функции (как и собственные функции других операторов) определяются с точностью до произвольного фазового множителя, модуль которого равен 1. Например, вместо функций (8,13) иногда употребляются фуннцни УГ~ (8, ~р) 1!Уст (8, ~р). В этом случае равенство (8,15) заменнетсн равенством Уг ( — 1) Гг (8,15а) Сферические функции нормированы. функции, относящиеся к разным кван- товым числам 1 и ль ортогональны между собой. Условйя нормировки и ортогональности можно записать В виде Уг' (8. р)уг,„,(8, р)да-йгг,б„„да=в!пйдйдВ.

(8.!5) При т = 0 сферические функции сводятся к полиномам Лежандра Р~(соз 8) с помощью соотношения !'Ге(8 Чг)= у —.Рг(с 8). /31+1 '4п Используя (8,13). легко убедипся, что сфернчесние функции одновременно д являются собственными функцними оператора (з= — 18 — — проекции угдф )(Ьвого момента на ось г, так как онн удовлетворяют уравнению — 18 — уг (О,В)-8 у, (О.В).

д д~р (8.17) Итак, сферическая функции у~ (8, ф) является собственной функцией оператора квадрата углового момента, соответствующей собственному значению 5з йт1(1+ 1). Одновременно зта же функция является собственной функцией оператора проекции углового момента на ось г с соб:-тасиным значением ч) ЕСЛИ фуинцня уе „ ОлрЕдЕЛяЕтСя ранвиетнеи (8,15), тО фсриуЛа (8,!4) опранедлива и прн т < О, Таким образом, второй индекс волновой функции уьч позволяет различать состояния, отличающиеся значенннмн проекции углового момента на ось ю эй совств.

егнкции опнгхтогов с дискгвтным спвкттом зэ 9 9. Свойства собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр Пусть оператор Р имеег невырожденный дискретный спектр собственных значений Р„. Тогда собственные функции этого оператора удовлетворяют уравнению Рфа = Рифа. (9,1) Запишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (9,1), для квантового числа т: Р 'М= РМт. (9,2) Умножим уравнения (9,1) и (9,2) слева соответственно на и ф„Интегрируя затем правые и левые части новых уравнений по всей области изменения переменных и вычитая из од« ного полученного уравнения другое, находим, используя условие (7,5) самосопряженности оператора Р, (Є— Р ) ~ ф„'ф.

В=О. Если гп чь л, то из этого равенства следует ортогональиость собственных функций, относящихся к разным собственным значениям, т. е. (9,3) Физический смысл ортогональности собственных функций ф„и ф оператора Р заключается в том, что при измерении физической величины Р в этих. состояниях мы наверняка получим разные значения: Є— в состоянии ф„и Р— в состоянии ф . Игак, мы доказали, что собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны между собой. Для всех реальных систем (т.

е. систем с конечным радиусом действия сил) в состояниях с дискретным спектром энергии частица обязательно находится в ограниченной области пространства, т. е. волновые функции таких состояний должны убывать достаточно быстро к нулю вне этой области. Если бы это условие ие выполнялось, то частица могла бы. ухоДить в далекие области пространства, где отсутствуют силы. Свободное же движение возможно с любой энергией (нет квантования). Поэтому для собственных функций дискретного спектра интеграл (9,4) распространенный на всю область изменения переменных, от которых зависит ф„, всегда имеет конечное значение.