А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 8

40 основныв понятия квАнтовой мвххники ~гл. ! Следовательно, собственные функции операторов с дискретным спектром всегда можно нормировать. Будем предполагать, что операция нормирования выполнена, тогда, учитывая (9,3), можно сказать, что совокупность собственных функций операторов, имеющих дискретный спектр, образует систему ортоно ми ов ныл функций, т. е. удовлетворяет условиям . ) ф„ф„Ав=б „. (9,5) Вго ым замечательным свойством собственных функций операторов, имеющих дискретныи спектр, является т, что совокупность всех собственных функций образует полную или замки гую систему функций, т. е.

любая дру ая ункция ф, зависящая от е переменных и удовлегворяющая тем же граничным условиям, для которой существует ингеграл 1 ф ('й$, может быть представлена в виде ряда ф ($) = ~~'.~ а„ф„($), (9,8) где суммирование распространено на все значения квантового числа н.

Пользуясь (9,5), легко определить способ вычисления коэффициентов разложения (9,6) а„= ) ф(5) ф„($)с(й. (9,7) Третье свойство собственных функций операторов, имеющих дискрегныи спектр, вырпЖается равенством Х ф.'О ф. а =б й' — В) где $ — совокупность всех переменных, от которых зависят функции ф„; б($' — $) — дельта-функция Дирака, свойства которой определены в мат. дополн. А. Доказать (9,8) можно путем разложения функции б(я' — я) по ортонормированной системе функций ф ($) б ($' — $) = ~'.~ а„(В') ф„($). (д 9) Это разложение является частным случаем (9,6), поэтому коэффициенты разложения определяются согласно (9,7). Следовательно, а„В')= ) б($ — $)Ф (в)с$ ф И. что и доказывает (9,8). При наличии вырождения собственные функции ф,ц оператора Р удовлетворяют' уравнению рфы = рафаи (9,10) 4 21 сОБств Функции ОпеРАХОРОВ с дискРетнь1м спектРОм 41 Повторяя действия, аналогичные тем, которые проделывалпсь с уравнением (9,1), можно доказать, что функции, относящиеся к разным собственным значениям, будут взаимно ортогональны, т.

е. ~ 2йА1(Б) фРА (й) г(е -"О, если т ~ п. При этом функции $ 1, 2) ь ..., 2Р ь соответствующие одному собственному значению Р„, вообще говоря, не будут оргогональны. Однако всегда 1 независимых функций 2р 1 могут быть заменены другими 1' независимыми функциямн, которые будут также собственными функциями оператора г и одновременно будут взаимно оргогональны. Покажем это на примере двукратного вырождения. Пусть 2р 1 и 2р 2 — две нормированные собственные функции оператора Р, соответству1ощие собственному значению г"„. Определим две другие функции 1Р1 — — ф„1, 1Р2 = а (ф„, + Х2Р„2), где Х и а — комплексные числа.

В силу линейности оператора Р функция <рз гакже будет его собственной функцией, принадлежащей тому же собственному значению. Теперь можно выбрать число А таким, чтобы выполнялось условие ортогональности 1риртд5=0. Из этого условия находим Х вЂ” ~ 2)1А12РР2 1(Е. Постоянная а определяется из условия нормировки. Таким способом мы получим нормированные и взаимно ортогональние собственные функции Ч11 и 1р2, соответствующие собственному значению р . Таким же образом можно ортогонализнровать собственные функции при вырождении любой кратности. Будем предполагать, что такая ортогонализация произведена; тогда собственные функции и при наличии вырождения будуг удовлетворять условиям ) Фи1 (В) фРА(В) г(й =бт,б1А. (9,11) Два других свойства собственных функций операторов, имею1цих дискретный спектр, можно записать в виде ф (И = Х п.тф.1 (Ю, (9,12) где ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ~гл.

3 42 (Р) = ) Ч 'Р ) Ф~. (9,14) Используя свойство полноты системы собственных функций оператора У, можно представить ф в виде линейной комбинации Ф=Хп.ф.. (9,15) Подставляя (9,15) в (9,14) и используя уравнение ' Тп апта и условие ортонормируемости системы функций ф„, находим (Р)=ХР ! Г.

(9,16) Таким же образом из условия нормировки функции находим 1= ~ фиг(я=~~'.,~ а„г'. (9,17) Равенство (9,17) называется условием полноты системы собственных функций ф„, так как оно служит критерием того, что эта система собственных функций достаточна для представления с помощью (9,!5) любой другой функции, без добавления к системе какой-либо линейно независимой функции, не являющейся собственной функцией оператора Р. Равенства (9,16) и (9,17) позволяют утверждать, что квадрат модуля коэффициента а в (9,15) определяет вероятность того, что в результате измерения физической величины Р в состоянии ф мы получим значение Гя..

Исключительная важность собственных значений линейных самоеопряженных операторов, используемых в квантовой механике, состоит в том, что они определяют возможные значения соответствующих величин при их измерении. Если состояние системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной нз собственных функций ф оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Г имеет определенное значение. Поэтому при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с достоверностью значение г . Если же волновая функция ф не совпадает ии с одной из собственных функций ф„оператора Р, то в этом состоянии физическая величина г не имеет определенного значения. При повторных измерениях физической величины г" в одном и том же состоянии ф мы будем получать различные значения Р .

Повторяя многократно эти.измерения, мы сможем определить среднее значение (Р) этой величины в данном состоянии. Это среднее значение должно совпадать со значением, полученным из соотношения з ЕЕ СОБСТВ. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ 43 й 1О. Свойства собственных функций операторов, имеющих непрерывный спектр Исследуем свойства собственных функций фр операторов, имеющих непрерывный спектр собственных значений. В этом случае собственные функции удовлетворяют уравнению Рф,= Рф,. (1О, 1) Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеровать числами. Они характеризуются значением самой физической величины Р в этом состоянии, поэтому можно сказать, что собственные функции зависят от Р как от параметра: Ь6)=фЖ Р.

Функции фр нельзя нормирбвать обычным образом, так как интеграл ) ! ф„Р ае расходится. Расходимосгь этого интеграла связана с твм обстоятельством, что ~фр(Е) ~з не обращается быстро в нуль на бесконечности. В этом случае вероятность обнаружения иастицы в любом конечном объеме пространства бесконечно мала по сравнению с вероятностью ее обнаружения в остальной бесконечно большой части пространства. Следовательно, если частица находится в состоянии фу, то она совершает. неограниченное (инфинитное) движение во всем просграпстве, и это движение характеризуется определенным значением физической величины Р. Примером такого состояния является состояние свободного движения частицы с определенным импульсом, которое описывается плоской волной фр(г)=Аехр~( 'РР ~. Совокупность собственных функций фр(е) образует полную систему функций, т.

е. любая функция ф, зависящая от тех же переменных, может быть представлена в виде линейной супер- позиции состояний, в которых физическая величина Р имеет определенное значение. В связи с непрерывным характером спектра собственных значений такая линейная комбинация будет изображаться интегралом ф(й) = )г арф, (й) НР. (10,2) Собственные функции фр операторов с непрерывным спектром можно выбрать так, чтобы 1 а„ГЕ(Р определяло вероятность того, чтобы в состоянии ф физическая величина Р имела значение, лежащее в интервале Р, Р+г(Р, основныв понятия квлнтовои мвхдннкн !гл, т Тогда условие полноты собственных функций фи сводится к равенству ) тк (а) ф(а) а$=) а,.а„с(Р=1, (10,3) которое соответствует равенству (9,!7) для функций дискрет.

ного спектра. Подставляя в первый интеграл значение ф'(Д нз (10,2) и меняя порядок интегрирования, получаем равенство )г а„, ~ )гф Я) ф„' (5) сф — а„~ ЙР = О, для выполнения которого необходимо, чтобы ар= ) ффф„'ф)сЦ. (10,4) а„= )г а„ф„ф) ф„' (5) ай с(Р'. Чтобы это равенство выполнялось при произвольных значениях коэффициентов ан, необходимо (10,5) Соотношение (10,5) и является условием нормировки собстнеиных функций непрерывного спектра, обеспечивакнцим возможность интерпретации !ам!адР как вероятностиобнаружитьзначение физической величины Р в интервале Р, Р+с!Р. Из (!0,5) следует, что при Р чь Р' собственные функции операторов с непрерывным спектром ортогональны, при Р = Р' интеграл (10,5) расходится.

Правило нормировки (10,5) собственных функций операгоров с непрерывным спектром носит название нормировки на дельта-трункцито. Формула (!0,5) заменяет в этом случае условие ортонормировки (9,5) собственных функций дискретного спектра. Приведем в качестве примера нормированные на дельта-функцию собст. веииые функции оператора импульса ф (т) (2пй) Ьехр т — . г Й Р Таким образом, правило вычисления коэффициентов 'ан совпадает с правилом нахождения коэффициентов а„для случая дискретного спектра. Подставим в (10,4) значение фД) нз (10,2), тогда получим равенство 4 кй сОВстВ. Функции ОпеРАтОРОВ с непРВРыВиым спектРОм 48 Используя формулУ ) е «вл 2пб(й) (см. мат.

дополн. А),легноубедиться, что втн функции удовлетворяют условию нормировка ~ф,. (г) ф (г) с(т = Ь(р — р ). Оператор координаты г = г также имеет непрерывный спектр. В этом можно убедиться, если мы вспомним, что действие оператора координаты на функцию сводится к простому умножению этой функции на г. Таким образом, согласно общему правилу (8,5), собственные значения и собственные функции оператора координаты определятся из уравнения г1),.

(г) = г'ф, (г). Вто уравнение имеет решения при произвольных значениях г', при этом нормированные к дельта-функции решения совпадают с дельта-функцией, т. е. ф„(г) - й (г — '). Козффнциенты аг разложения произвольной нормированной функции ф по собственным функциям оператора координаты ф(г) ~ аг.фг,(г)йс' определяются по общему правилу (! 0,4): а, = ~ ф(г)б(г — г')бт=ф(г'). Следовательно, вероятность обнаружения частицы в объеме сЬ равна ! пг Рбт=)ф(г)РЛТ, что уже отмечалось в $4. Кроме соотношения (10,5), собственные функции непрерывного спектра удовлетворяют еще одному соотношению, которое аналогично соотношению (9,8) для функций дискретного спекта. Для вывода этого соотйошения подставим (10,4) в (10,2).