А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теперь, используя определение .средних значений, преобразуем интеграл к виду (а) ((ЛК) ) 1а + (АЕГ ) 1 + ((ЛР)з) 4 ф > ~О (13 6) Чтобы неравенство (13,5) выполнялось прн произвольных значениях параметра а, необходимо выполнение неравенства ((ОР) ) ((ОК) ) ~ — 4 (М), (13,6) К РЛ СоотноШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕНноствн для ФиэиЧ. ЕЕличин ВЗ которое называют соотношением неопределенностей для физических величин Р и К В частности, при К = х и Р = )) получаем хорошо известное соотношение неопределенностей Гайзенберга (1927 г.) ((Ьр„) ) ((Ах)з) )~ (13,7) Из (13,7) следует, что если в некотором состоянии импульс имеет определенное значение (((Ар )з) = О), то координата х в этом состоянии совершенно неопределенна (((Ах)')=со); наоборот, если точно определена координата, то полностью неопределен импульс.
Согласно неравенству (13,7), микрочастица не может находиться в состоянии строгого покоя, который характеризуется значениями Ьх = Ар = О. Возможны состояния, в которых обе величины не являются определенными (волновой пакет), и тогда неопределенности значений этих величин будут связаны неравенством (13, 7), Соотношение неопределенностей часто используют для оценки среднего значения кинетической энергии частицы, которая движется в некотором ограниченном объеме пространства.. В этом случае можно положить (х)=(р)= О; тогда ((Ьх)з)= =(хг), ((Ьр)з)=(рз).
Если а — линейный размер объема, то (Р') (Е )= — = —. ккк — Епк ащек При выводе '(13,6) предполагалось, что самосопряженные операторы Р и К определены на одном и том же множестве функций (см. ~ 7). Если не учитывать это важное обстоятельство, то можно, на- и пример, прийти к неправиль- ! ному утверждению о том, что связь неопределенностей -гп Уп Гк азимутального угла гр и проекции углового момеята 1„ определяется из формального равенства (гр, Е,) = 1л.
В Ркк. а пкРкокнческкк еакоккк ккремеинкк. действительности в этом равенстве ч~ не является оператором, сопряженным Е,. Оператор Ь, является самосопряженным оператором только на множестве функций ф(Ч~), периодических с периодом 2п. Азимутальная переменная Ч~ не является оператором на этом множестве функций, так как функции гркр(~р) не принадлежат этому множеству. Оператор, канонически сопряженный Е должен быть перио- дической функцией ~у. В качестве такой функции можно выбрать ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ !Гл. ! разрывную периодическую фазовую переменную Ф(!р), изображенную на рис. 2. Как показано в работах (2„3), в этом случае (Ф,Е.,) = и 1 — 2п ~ Ь (ср — (2п + 1)) .
6 Тогда если определить, согласно Джадж !4], неопределенность азимутального угла равенством то имеет место соотношение неопределенностей ((ЛЕ.,)~) ((йр)~) ~ )" ~1 — ', ((йр))~, (13,8) из которого, прн ((ЬЕ.) ~) - О, следует ((Ех!р) В) - ж/у' 3, что соответствует равномерному распределению азимутального угла. При ((Л!р)В) ~ пх условие периодичности несущественно и (!3,8) сводится к неравенству ((ЬЕ.
)В) ((Л!р)х) ) ЬВЕ4, если ((ЕНВ)') ~ н!. В работе Каррузерса и Нито [5! в качестве оператора предлагается выбрать з!Пгр или соз гр. В этом случае из коммутационных соотношений (з1пгр, Е.,)=Ейсоз<р, (соз!р, Е.,)= — Ейз)п<р следуют неравенства ((йЕ ) ) ((Л з!и ~Р)т) ~ )4 ((соз Ч)) ((Е!Е Д ) ((Ь с05 !р) ) ~ )((з!и Ч!) ). Б общем случае, зная перестановочные соотношения между операторами любых двух физических величин, можно с помощью (13,6) получить соответствуюшее соотношение неопределенностей для этих величии. Неравенство (!3, 6) должно выполняться в произвольном состоянии для двух величин, операторы которых' не коммутируют.
Определим теперь те состояния, в которых это неравенство заменяется равенством. Полагая в (13,4) . (М) 2 ((си)') ь 1з) соотношвннн нвопгвдвлвнностви для дивич. ввличин ч7 и учитывая (13,5), имеем ) ~(з, +1ЛР) Ф~ йт=((ЛР)т) —, ~)0. (13,9) Из (13,9) следует, что знак равенства в (13,6) будет иметь место в состояниях ф, удовлетворяющих уравнению (13,10) Рассмотрим явный вид этого уравнения для случая координаты х и проекции импульса р„.
В этом случае ЛК =х — хь, д М = й, ЛР = — (й — — рь. Следовательно, уравнение (13, 1О) дк переходит в дифференциальное уравнение Оно имеет решение Ф(х)=(2я((йх))) "ехр~ — 4((ахи> + ~э ~ (13,11) В состоянии, описываемом функцией (13, 1Ц, произведение не. определенностей имеет наименьшее значение, т. е. ((бх)') ((АЬ)') = й'/4. В классической физике предполагается, что в любом состоянии в каждый данный момент частица имеет определенные значения координаты х и импульса р .
Мы видим, что в квантовой механике такое утверждение оказывается неправильным. Классические понятия координаты н импульса имеют ограниченную применимость к объектам микромира. Соотношение неопределенностей (13,7) указывает на пределы применимости этих понятий. Оказывается, что используемое в классической физике определение импульса как величины дг р=р дт неприменимо к атомным и ядерным объектам. Понятие импульса в квантовой механике относится в целом ко всему состоянию движения частицы.
Поэтому импульс частицы не является функцией координат. С' помощью квантовой механики мы можем'вычислить среднее значение импульса в любом со стоянии движения или вероятйость некоторого значения импульса в данном состоянии движения. Измеряется импульс в квантовых системах путем измерения кинетической энеогии движения частицы или путем исследования днфракционной ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1гл. 1 картины, образуемой при прохождении потока частиц через периодические структуры. Итак, с точки зрения квантовой механики используемое в классической физике понятие импульса частицы в определенном месте пространства столь же ограничено, как и понятие частоты периодического процесса в данный момент времени. Вследствие малости постоянной Ь соотношение неопределенностей (!3,7) существенно только для микросистем.
В гл. П1 мы увидим, что при некоторых условиях (квазиклассическое приближение) квантовомеханическое описание сравнительно мало отличается от классического, и можно приближенно говорить об импульсе как функции координат. В классической физике х и р„ называют канонически сопрлэхенныл1и Величинами. Операторы квантовой механики, соогветствующие канонически сопряженным величинам классической механики, не коммутируюг между собой. Согласно Н.
Бору, каждая физическая величина вместе со своей канонически сопряженной образует пару дополнительных величин (например, х и р„). При этом в любом состоянии квантовых систем из каждой пары таких величин определенное значение может иметь только одна из них, либо обе не имеют определенного значения. В связи с этим утверждается, что описание состояния в квантовой механике распадается на' два взаимно исключающих класса, которые являются дополнительными друг к другу атом смысле, что их совокупность могла бы дать в классическом понимании полное описание состояния системы (11риниип дополнительности Бора (!928 г.)). Принцип дополнительности некоторыми физиками отождествляется с идеалистическими толкованиями квантовой механики. Согласно идеалистической концепции принцип дополнительности отражает не объективные свойства микросистем, а определяется условиями измерения.
При этом, преувеличивая роль измерительного прибора, некоторые доходят до утверждения, что без прибора нет и объекта. Конечно, измерение физических величии в определенном состоянии нарушает это состояние. Все явления природы взаимосвязаны между собой. Результат измерения за-. висит как от свойств измерительного прибора, так и от свойств измеряемого объекта. 'Однако, исследуя квантовую систему (объект) разнообразными приборами, мы имеем возможность все более полно изучить свойства самого объекта и использовать эти свойства для практических целей. Математический аппарат квантовой механики отражает реальные свойства микрообъектов, которые проявляются в их взаимодействии между собой и макроскопическими системами. Из соотношения неопределенностей (!3,7) следует, что если в некотором состоянии одна из величин х или р имеет определенное значение, то э и1 описания состоянии с помощью млтвицы плотности вторая остается полностью неопределенной.
Однако из-за ограниченности энергии и объема системы невозможны значения ((Лря)з) = оо или ((Ьх)а) = оо. Поэтому практически нельзя реализовать сосгояния, в которых ((Лхз)) либо ((Лрл)з) равнялись бы нулю. й 14*. Описание состояний с помощью матрицы плотности Если система находится в смешанном состоянии, т. е.
в состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, тоэто' значит, что мы «приготавливаем» состояние, не определив максимально возможное число независимых физических величин, знание которых необходимо для полною описания с помощью волновой функции. Например, состояние неполяризованного пучка фотонов относится к смешанному состоянию, которому нельзя сопоставить волновую функцию. Смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний чрш со статистическим весом яр(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
