А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Матрица плотности большого канонического ансамбля Гиббса определяется выражением р(х, х')= ~ р,„, нлр',,н,(х')~р,н(х), (14,24) в Щ ОПИСАНИЯ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ Щ где ф,н(х) — собственные функции операторов энергии Н(х) и числа частиц Я каждой подсистемы; р...,„,=б„,бц,,Е-'(6, У, р)ехр~ — ', ), Е(6, Р', р)='~~~акр( — ', ~ ) (14,25) ,— сумма состояний большого ансамбля. Она определяется из условия 3рр — Хр.л.. вл р — химический потенциал, определяемый условием Н= Зр(рй).
Логарифм суммы состояний (14,25) связан с термодинамическим потенциалом подсистемы равенством 0(6, р, $~) = — 61п Е(6, р, Р). (14,26) С' помощью (14,26) матрицу плогности (14,24) можно записать в виде р(х, х') =~ ф,„(х) ф,,„,(х')ехр( ' ' ). (14,27) В более компактной — операторной форме выражения (14,26) и (14,27), имеют вид 11(6, р, )т) = — 61п Зр~ехр ( — "~)~.
(14 23) р = ехр ~ " ~. (14,29) В более общем случае, если кроме полной энергии состояние подсистем характеризуется многими интегралами движения (угловой момент, число частиц, импульс и т. д.)„соответсгвующими операторам 7М то (14,29) следует заменить выражением ~ И вЂ” Н+ ~ аь!А (14,30) где Й определяется из условия нормировки матрицы плотности так, чго Ц~~а У вЂ” и ~ ы(6, ..., а„, ...)= — 61ПБр ехр~ ~ . (14,31) При этом ав — постоянные величины, определяемые из условий (7А7 = Вр(р7А) (14,32) А, С, Дввввов ГЛАВА В ф' "' . ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧ Е НИ ЕМ ВРЕМЕН И 4 Э й 16.
Волновое уравнение Шредингера Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний вантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде  — =Н$, (15,1) где Н вЂ” оператор Гамильюна системы, совпадающий с оператором энергии~если он не зависиг от в емени.
Вид оператора Н определяется свойствами системы. ля нерелятивистского движения частицы массы р в потенциальном поле 0(г) оператор Н действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы Н=- —,' ~'+ Й(г). (15,2) Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным (см. гл. У11!). Хотя уравнение (15,1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оио имеет и ,периодические решения.
Поэтому уравнение Шредингера (15,1) ,часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (15,1) прн известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции чр(г) в любой последующий момеят времени, если известно это значение е начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает и ин иа п ичинносг скан ике. Волновое уравнение редингера можег быть получено на основании следующих формальных соображений.
В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов Е Я(рь а,), (15,3) то переход к классическому уравнению Гамильтона — Якоби для функции действия 5 дЗ , ( дЯ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА можно получить из (15,3) формальным преобразованием дЗ д8 Е-~.— —, р~-э —. дГ ' ау, Таким же образом уравнение (15,1) получается из (15,3) при переходе от (1$,3) к операторному уравнению путем формаль- ного преобразования Е-Р 1Л вЂ”, ру -+ — 1л —, д д дГ ' дд (15,4) Д2 Н = — — 7э волновой функцией 2в ф (г, 1) = А ехр ~ 1 ( '~~ — — „) ~, описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса.
В общем случае справедливость уравнения (15,!) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения. Покажем, что из уравнения (15,1) следует важное равенство — „ф'ф сь=О, дГ (15,5) указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (15,1) на функцию ф', а уравнение, комплексно сопряженное к (15,1), на функцию ~р .и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда на- ходим 13-~;(ф'ф)- ф'г $ — фй'т~". (1Я,б) Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учйтывая самосопряженность оператора Я, получаем (15,5), если (15,3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит гакие их произведения, которые после перехода к операторам (15,4) коммутируют между собой (см.
3 7); Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию ф операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (15,1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера явЛяется обобщением опытных данных. Оно не выводится в кван,товой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.
Легко убедиться, что уравнение (15,1) удовлетворяется при аз изменение кВАнтОВых состояний с течением ВРемени ~гл. и Если в соотношение (15,6) подставить явное Выражение оператора Гамильтона (15,2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности) д, +б(ТУ=О, дв где р = ф*ф является плотностью вероятности, а вектор 21и (~ (15,8) можно назвать вектором плотности тока вероятности.
Комплексную волновую функцию ф всегда можно представить в виде ф (г, 1) = Я (г, 1) ехр (1Ф (г, 1)), где )т(г, 1) и Ф(г, т) — действительные функции времени и коор- динат. Таким образом, плотность вероятности р= ят(г, 1), а плотность тока вероятности 1= — 11З(г, 1) йтаб Ф р дгаб ~ — ). (15,9) Из (15,9) следует, что у = О для всех функций ф, у которых функция Ф не зависит от координат.
В частности, 1 = О для всех действительных функций ф Решения уравнения Шредингера (15,1) в общем случае ,изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо .одной комплексной функции ф состояние системы можно описать двумя вещественными функциями ~р и Х, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н— вещественный, то, подставив в (15,1) функцию ф = ~р+ 1Х и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений й — =НХ й — = — НЦ дх д~ ' дФ при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид р=~р +Хз, ~= — (Ча бХ вЂ” Ха бт). в в Кроме изменения во времени волновой функции ф, обусповленного изменением состояния под влиянием сил, действующих в системе, и определяемого однозначно уравнением Шредингера СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ $1б) й 16.
Стационарные состояния Рассмогрим систему, у которой оператор Гамильтона не зависит явно от времени, т. е. дН вЂ” =О. дб (1'6,1) В этом случае волновое уравнение Шредингера (15,1) допускает решение с разделенными переменными бг(5, 1) = бр($) А(1). (16,2) Подставляя (16,2) в (15,1), находим й— дА А о (1) ~(') =Е, (16,3) где Š— постоянная величина. Из (16,3) следуют два уравнения: Нф (и=ЕЬа. (16,4) (й — = ЕА (1).
(16,5) Уравнение (16,4) является уравнением, определяющим собственные значения оператора Гамильтона, который при условии ( 1 5, 1 ), в квантовой механике расом атриваются еще «изменения» волновой функции, обусловленные процессом измерения. В этом случае речь идет собственно не об изменении волновой функции, а о замене одной волновой функции другой волновой функцией в связи с изменением постановки задачи — меняются начальные условия. Поясним это примером. Предположим, что состояние системы описывается функцией фР, и в этом состоянии физическая величина Р имеег определенное значение. Тогда, измеряя физическую величину Р, мы с достоверностью получим значение Р.
Однако после измерения система переходит в новое состояние бр, отличное от исходного, в котором величина Р не имеет определенного значения. Например, измерение импульса электрона можно осуществить путем дифракционного опыта. При таком измерении электрон, попадая на фотопластинку, вызывает потемнение (после проявления) небольшого ее участка. Таким образом, в результате измерения электрон из состояния свободного движения с определенным значением импульса перешел в состояние с определенным значением координаты.
Переход из состояния бр в состояние 1Р' в результате измерения носит название «редукции волнового пакета». После измерения получается новое состояние, которому соответствует и новая функция. 7О изменение кВАнтОВых сОстОяний с течением ВРемени [Гл. н (16,1) является оператором энергии. Волновые функции фв(й) соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенное значение. Решение уравнения (16,5) может быть записано в явном виде: А (1) = ехр ( — 1Е-й~~. (16,6) В квантовой механике состояния, имеющие определенную энергию, йазываются стационарными состояниями, Согласно (16,2), (16,4) и (16,6), волновая функция стационарных состояний имеет вид ф(5, г) ф~($) ехр( — 1Š— „).
(16,7) (Р)- ~ ф'(~, 1) Рф(~, 1) (~ — сопз1. Сами физические величины могут иметь определенное значение в стационарных состояниях в тех случаях, когда их операторы коммутируют с О. г) Вероятность обнаружения определенного значения любой физической величины в стационарном состоянии не зависит от времени. Действительно, вероятность обнаружения значения Р» физической величины Р в состоянии фЦ, 1) определяется квадфатом модуля коэффициента разложения ф по собственным функциям фь Следовательно, )т (РА) =! ОА Г=~ ) ф(е, 1) ф' ($)О$~ =сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
