А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. г-+г'=Юг. (18,1) Обратное к (18,1) преобразование г — С тгт (18,2) Рассмотрим, как преобразуются волновые функции при преобразовании координат (18,1). В результате преобразования координат в точку г' переносится то значение функции, которое было в точке г, т. е. Чг' (г') = ф (г). (!8,3) С другой стороны, по определению, действие оператора на функцию ~р(г') должно давать новую функцию от того же аргумента ф' (г') = Щ> (г'). (18,3а) тз измвнвнив квантовых состоянии с твчвнивм вгвмвни [гл. и Сравнивая (18,3) и (18,3а), находим правило, определяющее действие оператора )г, на функцию, )г,ф(г') = ф(г). Подставляя в правую часть полученного равенства (18,2), имеем или, опуская штрих над вектором, находим окончательно очень важное равенство Л,ф (г) = ф(Я г), (18,4) определяющее закон преобразования волновых функций при преобразовании координат (!8,1).
Перейдем к исследованию интегралов движения, связанных со свойствами пространства и времени. Опытным путем-установлено, что время является однородным, а свободное пространство однородным и изотропным. Какие интегралы движения и законы сохранения связаны с этими свойствами пространства и времени? а) Однородность времени. Вследствие однородности времени оператор Гамильтона любой замкнутой системы, т. е.
системы, не подверженной внешним воздействиям, и системы, находящейся под действием постоянных внешних полей, не зависит явно от времени. Если оператор Гамильтона не зависит явно от времени ~ — = О), то, согласно (17,4), lдН 1 дŠ— = —,„(Н, Н)=О. вй ! Следовательно, учитывая (17,3), имеем „=О. Если энергия в (е) в начальный момент времени имела определенное значение, то это значение сохранится и в последующее время. Таким образом, однородность времени приводит к закону сохранения энергии в квантовой механике. . Инварнантность оператора Н относительно некоторого преобразования, определяемого оператором Р, означает, что действие оператора Р на функцию Нф эквивалентно действию Н на функцию Рф т. е. РНф = НРф.
Другими словами, инвариаитность Н по отношению к преобразованию, осуществляемому оператором Р, сводится к условию коммутации этого оператора с оператором Гамильтона РН =НР. $!Щ интеГРАлы ДВижения и услОВия симметРии 79 Введем оператор Т,— оператор смещения времени на величину х; тогда, по ойределению, Т,( = !+т, и из (18,4) следует Т.,ф (!) = !г (! — т). Величина т является параметром оператора Т,.
Однородность времени для рассматриваемых нами систем будет математически выражаться условием коммутации (Т, Н] =О. Вместо оператора смещения во времени удобно пользоваться генератором преобразования, или инфинитезимальным оператором смещения времени Т(!), который определяется как производная оператора по параметру при нулевом значении этого параметра. Таким образом, Явный вид оператора Т(г) легко получить, если учесть, что Т(Г) $(Г)= — Т,Р(Г)~ = — !Р(( — т)~ = — д! !Р, Таким образом, д 1 (г) д! ' Закон сохранения энергии связан .с коммутацией оператора Я с инфинитезимальным оператором Т(г).
В связи с этим имеющий размерность энергии оператор д — (Тй (г) = 1г!— д! иногда называют оператором энергии. Следует, однако, помнить об условности такого названия. Энергия квантовомеханической системы в стационарных состояниях определяется собственными значениями оператора Гамильтона.
Поэтому оператором энергии системы является оператор Гамильтона, т. е. некоторая функция операторов координат и импульсов. В противоположность пространственным координатам время не является оператором. б) Однородность и р остр а нс тв а. Однородность пространства проявляется в том, что свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого. Поскольку свойства системы определяются в квантовой механике ее оператором Гамильтона, то однородность пространства должна проявляться в том, что оператор Гамильтона Зо ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 1ГЛ.
И остаатся неизменным (инвариантным) при параллельном смещении системы .на произвольное расстояние. Любое конечное смещение может быть составлено из бесконечно малых смещений, поэтому достаточно рассмотреть инвариантность оператора Гамильтона относительно бесконечно малого смещения ба. Если волновая функция зависит только от координат одной частицы, то при бесконечно малом смещении г' = г+ ба функция ф(г), согласно (19,4), перейдет в функцию ' ф (1 — ба) = ф (г) — Ьа Чф (г) = (1 — баЧ) ф (г).
(18,5) Из (18,5) следует, что множитель Ть, = (1 — баЧ) можно назвать оператором бесконечно малого смещения, так как действие его на функцию эквивалентно смещению радиуса- вектора г на величину ба. Учитывая теперь (18,5а), можно сказать, что условие инвариантностн оператора Н относительно бесконечно малого смещения сводится к равенству ЧН=НЧ, Итак, из однородности пространства следует соотношение (18,6), которое в силу (17,4) сводится к утверждению, что импульс свободной частицы является интегралом движения. Выражая Ч через оператор импульса, можно преобразовать оператор бесконечно малого смещении к виду рва Тзч= 1 1 е (18 7) Оператор смещении на конечный вектор а можно получить пу- тем последовательного применения (18,7); таким образом, на- ходим Т =ехр~ — 1 ). (18,8) Три компоненты а1 вектора смещения а являются параметрами оператора смещения (18,8).
Генератором преобразования пространственного смещения, или инфинитезимальным оператором пространственного смещения Т(х1), называется производная оператора смещения (18,8) по параметру аь взятая при нулевых так как единица и постоянный вектор ба коммутируют с любым оператором. Поскольку оператор 7) отличается от Ч только постоянным множителем ( — И), то последнее равенство можно записать в виде (18,6) $!Щ интеГРАлы движения и услОВия симметРии 81 значениях всех параметров. Таким образом, инфинитезимальный оператор смещения вдоль оси к~ Г 7 (к,) = — — бГ непосредственно связан с соответствующей проекцией оператора импульса. Если функция ф относится к системе частиц, то оператор бесконечно малого смещения всей системы как целого также выражается формулой (18,7), если понимать под оператором импульса Р суммарный оператор импульса всех частиц системы, т.
е. если Р = Х Рь В этом случае инвариантность относительно пространственных смещений сводится к закону сохранения полного импульса системы. в) Изотропия пространства. Изотропия пространства (эквивалентность всех направлений) проявляется в инвариантности свойств замкнутых систем относительно произвольных поворотов. Такая же инвариантность имеет место и для систем, находящихся в центрально-снмметричных полях, если поворот осуществляется относительно центра поля. Определим оператор бесконечно малого поворота. Будем считать бесконечно малый поворот на угол б~р вектором Ьр, направленным вдоль оси вращения и по абсолютной величине равным углу поворота. Изменение радиуса-вектора г при таком повороте определяется выражением г — ~ «+ (б~ Х г).
Вычислим соответствующее изменение волновой функции при учете членов первого порядка малости: ф (г — (М Х г)) =(1 — Ьр!г Х Я) ф (г). (18,9) Из' (18,9) следует, что )~АР=1 — Ьр(г ХЧ является оператором бесконечно малого поворота на угол Ьр. Согласно $7, векторное произведение [г Х 'У) можно выразить через оператор углового (вращательного) момента — 18( ХЧ=Х. Таким образом,' оператор бесконечно малого поворота на угол б~р выражается через оператор углового момента формулой зй изменении квантовых состоянии с твчннинм вивиани !гл. и Инвариантность оператора Гамильтона относительно произвольных бесконечно малых поворотов выражается коммутацией его' с оператороьг яэт или с проекцией оператора углового мог мента на произвольное направление оси вращения п1.Н= ОпХ, (18,10) Ф'= Ехр( — 1хлэ' — "„).
(18,11) Из (18,11) следует, что генератор преобразования поворота, или ин4инитезимальный ойератор поворота, вокруг оси и опреде- ляется проекцией углового момента на эту ось 1(п) = — Хп. Ь (18,12) Связь между оператором проекции углового момента и инфинитезимвльным оперэтором поворота вокруг этой оси можно использовать для определения операторов проекций углового момента и перествновочных соотногвений между ними, Пусть а в угол поворотэ вокруг оси !; тогда в декартовой системе координат оператор поворота иэ угол а можно записать в виде матрицы о о йо= 0 сава — э!па 0 з!па сова/ Следовательно, инфннитеэимзльный оператор поворота вокруг осн ! выра- жвется мэтрицей 10 о о~ ΠΠ— ! доо ! О ! 0 .Таким же образом находим для поворотов вокруг двух других осей 13= 0 0 О, 13 — — ! 0 0 где и — единичный вектор оси вращения.
Из (!8,!О) следует, что в свободном пространстве и в любом центрально-симметричном поле интегралом движения является проекция момента на произвольное направление. Если внешнее поле имеет аксиальную симметрию, то оператор Гамильтона инвариантен лишь по отношению к вращению вокруг акснальной оси симметрии и сохраняется только проекция углового момента на зго направление.
Из операторов бесконечно малого поворота вокруг некоторой оси, определяемой единичным вектором п, можно составить оператор поворота вокруг той же оси на любой конечный угол 5 пй ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 83 Используя получерные выражения и правила перемножения матриц, можно вычислить перестановочные соотношения между инфинитезимальными операторами вращения Два других соотношения получаются из етого круговой перестановкой индексов. Поскольку Гг — ьь то из найденных перестановочных соотной шений для й следуют перестаиовочные соотношения для проекпий оператора углового момента й,с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
