А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 18
Текст из файла (страница 18)
т. е. изменение длины волны на расстоянии 2п Вк' — должно быть значительно меньше самой длины волны. Если л 2п обозначить через а характеристические размеры системы, то — —, и неравенство (21,10) переходит в неравенство ех х 7~ Ф а. Неравенству (21, 10) можно придать и другую форму р'ъ рй~ — "„" ~. р , р = р зри — ц. и <рр, и > рр классическое рассмотрение квантовомеханических систем приближенно оправдывается при движении частиц с большими импульоами в потенциальном поле с малыми градиентами. Если неравенство (21,11) выполняется, то можно развить приближенный метод решения квантовомеханических задач, основанный на введении поправок в классическое описание.
Этот метод получил название квазиклассического приближения, или метода 4авовых интегралов. Иногда этот метод называют приближением Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (метод ВКБ). $22. Квазиклассическое приближение Квазиклассическое приближение состоит в приближенном методе решения квантового уравнения (21, 5) для функции о(г), определяющей волновую функцию стационарных состояний с помощью соотношения чр (г) = ехр ~ — „о (г)) .
(22, 1) Решение уравнения (21,5) записывается в виде формального разложения о=аз+ — ". о, +5) оз+ " (22.2) в4 связь квлнтовон мвхлннкн с кллсснчвскон мвхлникон ~гл. гм Если условия квазиклассического приближения (21,9) выполняются, то последующие члены в этом ряду значительно меньше предыдущих, и при решении уравнения (21,5) можно использовать метод последовательных приближении. Подставляя (22,2) в уравнение (21,5) и приравнивая коэффициенты, стоящие прн одинаковых степенях Л, получаем систему связанных уравнений (Ноо)з+ 2н [0(г) — Е) =О, ! Но~НоО+ д НзоО О, (НоДз+ 2НтсНоз+ Нзо1 О, (22,3) Решая первое уравнение из системы (22,3), можно определить оо(г), затем из второго уравнения определяют о~ и т. д.
Обычно ограничиваются учетом оо и оь Для иллюстрации метода вычислений рассмотрим одномерный случай. Тогда систему уравнений (22, 3) можно переписать, используя значок штрих для обозначения производной по х, в следующем виде: (о')з = р~ (х), Ф оа Р оо' ю и о, + о, 2о' =— 1 (22,4) 2ог Таким образом, последовательные приближения о'„о', ... получаются из нулевого приближения о' ~ р (х) = ~- $"2н (Š— У (х)) .ь йй (х) (22,5) простым дифференцированием.
Из второго уравнения (22,4), в частности, следует о, = — !и 'у~р+1пС. (22,6) Интегрируя (22,6) по х, определим оо, затем, учитывая (22,6), (22,2) и (22,1), можно написать волновую функцию в квази- классическом приближения, удовлетворяющую уравнению Шредингера с точностью до членов порядка аз, КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Область, где Е ~ 0(х), называется классически допустимой областью движений. В этой области й(х) — действительная функция и Вя(х) является импульсом частицы, выраженным функцией от координат. В этой области волновую функцию (22,7) можно всегда записать в виде волновой функции, зависящей от двух постоянных: л ф(х) = = з)п " й (х') Нх'+ а Ур (22,7а) ~* — »~»-,'( ", )'. (22,8) или Й Х !х — ха! ~ — =— 2р 4к ' (22,0) где Х вЂ” длина волны, соответствующая значению импульса в точке х.
Область, где Е 0(х), называется классически недопустимой областью движений В этой области к(х) является мнимой Фу и и. и ч4=»(), д и= — г»рзг — г1 1 Амплитуда волновой функции (22, 7а) пропорциональна 1/у' р. Следовательно, вероятность обнаружения частицы в малом эле'- менте объема в основном пропорциональна 1/р, т.
е. обратно пропорциональна скорости классической частицы. Этот результат отражает закон сохранения вероятности, так как в нашем приближении поток вероятности 1А(х) ~тр(х) = сопз1. Значения хь при которых Е= У(х~), называются точками поворота. Они соответствуют тем точкам пространства, в которых классическая частица останавливается, р(х;)= О, а затем движется обратно. Волновая функция (22,7) в области точек поворота становится бесконечной.
Эта расходнмость связана с тем обстоятельством, что при малых значениях импульса, согласно (21,11), квазиклассическое приближение становится неприменимым. Пусть ха — точка поворота. Определим расстояние (х — ха(, на котором еще можно пользоваться квазнклассическим приближением. Разлагая потенциальную энергию в точке х = ха в ряд, можно написать рт=21А(Š— (У(х)) = 2р~ — ~! х — ха1 Ы0 Подставляя это значение в (21, 11), находим, что квазиклассическое приближение применимо для расстояний от точки поворота, удовлетворяющих неравенству 95 связь квантовои мехАгн[ки с кЛАссическОЙ мехАникои [Гл.
[н является уже действительной функцией, можно переписать (22,7) в виде х 1 х тр (х) = ехр — [ и (х') ь[х'~ + ' ехр ~ [ и (х') ь[х' (22,10) 3 23*. Правила квантования Бора — Зоммерфельда Вычислим квазиклассическим методом уровни энергии н волновую функцию частицы массы [А, движущейся в одномерной потенциальной яме, вид которой изображен на рис. 3. Потенциальная энергия Х, 11(х) такова, что при любой энергии Е ) 11(х)м име- 1 3 ! 1 111 ются только две точки по- 11 ворота, определяемые услоь, Ь, Ьв вв х вием У(х,) =У(АЦ= Е.
Около точки поворота х[ выделим область Ьь аь а около точки поворота ха †облас Ьв, ав, где неприменимо квазиклас'- сическое приближение. Эти области заштрихованы на рис. 3. В областях 1 и 111 можно использовать функции квазиклассического приближения (22, 1О).
Рис. В. Движеиие явстицм и одвомервоз потев циввьвоц име. Первое слагаемое в (22, 10) при возрастании х экспоненциально убывает, а второе слагаемое экспоненциально возрастает. Практическое использование этих квазнклассических функций возможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего решения с экспоненциальным при переходе через точки повоЬв Че Рота.
В малой области (а,Ь) с пРотЯжением ( 1лг,, охва- ~ ~% тывающей точку поворота, нельзя пользоваться квазиклассическим приближением и необходимо решить точное одномерное уравнение Шредингера. Связь между осциллирующим и экспоненциальиым решением находится из условий непрерывности перехода экспоненциального решения в точное при х = а и точного решения в осциллнрующее при х = Ь. Примеры использования квазиклассического метода будут даны в двух следующих параграфах.
4зя пРАВилА квантовАния ВОРА-зоммВРФельдА Вт Экспонепцнально убывающие в этих областях функции при удалении от точек поворота будут соответственно иметь вид ф1 (х) = — ' ехр — ~ н (х') ~(х', х ( ао (23,1) 'г'! Ф в вн,~о= — в( — ( [Оы1. *>о. Ряд с )Чр( Осциллирующее решение с двумя произвольными постоянными А и а, согласно (22, Уа), можно написать в виде в Фп(х)= — з(п~ "й(х')дх'+а, Ь,~х-:,Ьм (23,3) )/р ) Как было указано выше, в областях аь Ь1 и аь Ьз квазиклассическое приближение неприменимо и надо решать уравнение Шредингера, которое можно записать в виде -Д + йвф = О, где вв = — „, '1Š— У (х)1. (23,4) Рассмотрим уравнение (23,4) в малой области (аьЬв).
В этой области потенциальную энергию можно разложить в ряд и сохранить только два первых члена разложения "х)='-"("- ) "=Н вЂ” "~ ~ в «,1 Подставляя это выражение в уравнение (23.4), получим уравнение ~ — — „, + Р(х — х1)1 ф (х — х,) = О. (23,5) Как показано.в $28, ненормированное решение этого уравнения выражается через функцию Эйрн Ф($): ф(х — х ) Ф(Р, где $=( ~~ ) (х, — х). (23,6) Согласно (22,8), границы области, в которой надо использовать решение уравнейия (23,5), определяются неравенством ~х — х,~» — ( — г-„— ) ', нли ~$~)) 1. Нас интересуют решения (23,5) только на границах этой области. Следовательно, функцию ф на границах области можно 4 А, с, дввыдов йв сВязь квзнтовои мвхАники с клзссинвскогАмвхАннкой [гл.
и! выразить через асимптотические значения функции Эйри прн я1.з 1. Учитывая (28, 18) и асямптотнческие значения функций есселя при больших значениях аргумента (см. мат. дополн. Г), находим 'Ф(З) — 1П . 2 ~Ь в ' з-'«екр~ — — й"'~, если 5 >) 1' (23,7) ~й~ пз(п~ — 151~'+4~, если ь~ — 1. При х>х! й (х) ~ у —, (Š— СУ (х)1 = фI -ф- (х — х!) ° /2В / 2ВР следовательно, ~| (х х!)~ ~ й (У) !(р х, При х(х! х(х) Р' у [ц(х) — Е)=3/ 2 ~(х! — х), Г 2и следовательно, -$ *ма-х р — „, (х, — х)т = ~ н(у) ду.
2 ч, 2 /2вр х Итак, решение уравнения (23,5) на границах интервала аь Ь! можно записать в виде В 2~/~ р1 — з!п ! Ь(р) г(у+ — у границы Ь,. г'Р 1 й! ! $(х) = (23,8) Сравнивая (23,8) с (23,!) и (23,3), мы видим, что волновая ункция из области 1 будет непрерывно переходить в область 1, если В А, 2С,=А и а (23,9) Решение уравнения (23,4) на границах интервала Ьв аз у второй точки поворота можно получить непосредственно из 123,8), если изменить направление ося х на обратное н в каче- 4'йз ПРАВИЛА кВАНтоВАНИВ ВОРА зОИМВРФВЛЬДА 99 стве фиксированного предела в интеграле взять хв Таким обра- зом, получим = "р~ р рррр ~ у рр щ р гр ВУ!И й (х ) дх'+ — у границы (рз.
(23,10) Учитывая (23,9), перепишем решение (23,3) в виде х р1рп (х) = — з(п~ „~ й(х') йх'+ —" ~ — з1п .Й(ХР) р(х + 4 — я + й(х') с(х . (23р11) РР (" Теперь видно, что решения (23,10) обеспечат плавный переход волновой фчнкцин (23,11)- из области П в функцию (23,2) области Ш, если выполняются условия Ар=2С=( — 1)"+'А к(х')г(х' — — "=ан, где П=О, 1, 2, хр ~рах=2нй(а+ ~).
(23,12) Равенство (23,12) определяет в квазикласснческом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует Правилу квантования Бора †Зольяерфель. Вне интервала хь хз функция ру экспоненциально затухает, внутри же этого интервала функция (23,13) 4х Если ввести фазовый интеграл ~р~Ь=2 ~ рсЬ по пути от точки хр до хз и обратно'от хз до хр, т. е. йнтеграл по целому периоду классического движения, то последнее равенство можно переписать в виде Шо связь квлнтовон мвхлники с кллссичяскоя мяхлннкоя [гл. гп й (х') ах'+ осциллирует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
