А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 20
Текст из файла (страница 20)
о (24,11) Решая систему уравнений (24,10), получаем В йо(ь — а)+(ьо — аь)(е(Р А йо(Ь+а)+(Ьо+аЬ)(ят Следовательно, коэффициент отражения от потенциального барьера при условии Е ) У„оао определяется выражением К— (,о 2 (24,12) Л ~ Ао(Ь ( а)2 ( (А2 (.аЬ)2(Е2 Если в точках 0 и 1 значения потенциала одинаковы, то а = Ь = — у' 2(4 (Š— У (О)) и коэффициент отражения из (24,12) принимает более простой внд: (24,13) ЬЬЕОа + (Ь~~+ ао)2 (Е~ (2 .
Рассмотрим теперь движение частицы с энергией, превышающей потенциальнУю энеРгию баРьеРа (Е ) ((ааао). В этом слУ- чае область 4! (рис. 4) будет классически доступной и квази- классическая функция, согласно (22„7а), может быть записана в виде $оз связь квАнтовои мехАники с клАссическОЙ мехАникОЙ сгл. Н! Из (24, 13) и (24, 11) следует, что при условии с 11Гтэ)Г-'оЯг*- 1, х -1. т, ..., о потенциальный барьер для частицы является полностью прозрачным. Используя теорему о среднем, можно написать 1Утэ)го)*)1 г -Э, о где р †средн значение импульса частицы в области барьера. Следовательно, прозрачность барьера определяется условием 1р = пий. Или, полагая р = 2илсХ, можно написать 1 = НЦ2, т. е. на длине барьера должно укладываться целое число АС2.
1 1 1 1 1 О л Рне. б. Потенииальиав энергии электрона на травине металл — вакуум; а) беа внешнего иоле: б) орн наличии внешнего однородного электриееского иола. Š— энергии электрона, р-работа выхода. Ое-высота барьеры Выражение (24,13) определяет и коэффициент отражения частицы от потенциальной ямы, если при вычислении ср в формуле (24,11) учесть, что потенциальной яме (притяжение) соответствует У(х) ( О. Для иллюсграции использования полученных выше формул вычислим вероятиосгь испускания электронов из металла под действием сильного внешнего поля (холодная эмиссия электронов). В 'отсутствие поля потенциальная энергия электрона внутри н вне металла может быть изображена кривой У(х), указанной на рис. 5, а.
Внутри металла электрон имеет энергию Е ~ 1)сь где 1)о — потенциальная энергия электрона вне металла. Чтобы электрон вылетел из металла, ему надо сообщить энергию ср 1)о — Е (порядка 5 — 1О эВ), которую называют раб й выхода. Г сли к металлу приложено внешнее электрическое поле на- пряженности 8', то к потенциальной энергии У(х) вне металла з 24) потенциАльныи вавьвв и потвнциальная яма !07 надо добавить потенциальную энергию электрона во внешнем поле ( — ед'х), В результате получается- 'потенциальная кривая, изображенная на рис. о, б сплошной линией.
Следовательно, при наличии поля появляется возможность вылета электрона в вакуум путем прохождения через потенциальный барьер. Область сильного изменения потенциала около поверхности металла порядка размеров атомов, т. е.,значительно меньше расстояния а, при котором У(х) = Е. Поэтому для упрощения вычислений можно заменить на отрезке Оа потенциальную кривую прямой линией, т. е.
положить У (х) — Е = щ — ед'х. Подставляя это значение в (24,7), находим коэффициент прохождения электрона из металла в вакуум ГЛАВА !У ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ й 25. Частица в прямоугольной потенциальной яме В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые. простые системы, для которых можно дать строгое решение уравнения Шредингера, определяющего стационарные состояния. Такие системы являются идеализацией систем, встречающихся в природе. Исследование простых идеализированных систем позволяет более полно понять методы квантовой механики. Кроме того, полученные результаты имеют и самостоятельный ингерес, так как они в некотором приближении отражают свойства соответствующих реальных систем. Задача определения стационарных состояний движения частицы массы и во внешнем потенциальном поле сводится (см.
$16) к отысканию собственных значений оператора энергии, т. е. к решению уравнения ~рз+ ~ (Š— 0(г))~ф=О. (25,1) $ и йгадф непрерывны на а. (25,2) Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Точные аналитические решения уравнения (25;1) могут быть найдены только для некоторых видов оператора потенциальной энергии, который в координа гном п едставленин изображается функцией от координат частицы. ростейшие решения относятся к системам, в которых потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное движение) либо имеет разные постоянные значения в отдельных областях пространства, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области.
На поверхностях разрыва потенциала волновая 'функция должна быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной энергии на поверхности разрыва конечный, то из (25,1) следует необходимость непрерывности йтадф на поверхности разрыва. Итак, граничные условия на поверхностях и с конечным скачком потенциала сводятся к требованию ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ !09 Рассмотрим частицу, движущуюся в потенциальном поле (рис. 6): О, если — а/2 ( х ( а/2, (.у(х) = ~ его, если х имеет другие значения. В этом случае уравнение (25,1) сводится к одномерному урав- нению ~ — „,, +-йс-(з — (т'(х)) ~т)(х)=0.
(25,3) й =-мнт —, 2ие уя = — я ((уо — з). Тогда уравнение (25,3) можно записать в виде ( — „, +но)ту,=О, 0(Х~ —, (" ) Конечные при х-+.со решения тугу можно записать в виде, туп — — Ае-т" (25,4) Решения фь соответствующие состояниям положительной четности, будут ф'+' В соз йх. Потенциальная энергия и оператор Гамильтона инвариантны относительно преобразования инверсии х -ь — х, поэтому (см.
$ 18) все стационарные состояния относятся либо к со- ий стояниям положительной четности, либо к состояниям и, отрицательной ' четности. Учет указанного свойства 11 Ы симметрии потенциальной а а х энергии значительно упрощает решение: достаточно найти решение тОлькО в Об- Рне. о. потеняньньняя энергия прямоугольной ласти положительных зна- Формы. чений х, т. е, в области 0 ~ и.:, х ( оо. Волновые функции состояний отрицательной четности должны обращаться в нуль в точке х 0; для состояний положцтельной четности при х = 0 должна обращаться в нуль производная волновой функции по координате. Будем отсчитывать энергию от «дна» потенциальной ямы, тогда энергия з) О.
Рассмотрим значения энергии з((угь Пусть далее ыо пРОстеншиВ пРименения кВАнтОВОЙ мехАники и'л. 1т Для состояний отрицательной четности $< '=Сз(пах. Рассмотрим вначале состояния положительной четности. Из условия непрерывности ф и д в точке х = — следует два дф а ах однородных уравнения для определения А и В: Всоз — = Ае-' ~', аа Взш а = ть Ае Рчз. 2 а (25,5) Эта система уравнений имеет отличные от нуля решения только при условии й12 —,=у = ~~ — — йе. аа Г 2Н~/О 22 Поскольку тангенс является периодической функцией с перио- дом и, то это уравнение можно преобразовать к виду йа =пп — 2агсз(п йа г'2нГ4 (25,6) ~а(л) =пп — 2агсз)п йа (25,7) Особенно простой вид имеюг решения уравнения (25.6) для бесконечно больших значений Ую (Уа „"ь з).
В этом случае агсз(п О аь ) 2НВа и й„= — и, где п=1, 3, ... При этом энергия частицы и а а аРИ вам= в П' И НЕчЕткое. 2рай э (25,8) где п = 1, 3, ...; значения арксинуса надо брать в интервале О,п/2. Уравнение (25,6) является, трансцендентным уравнением, определяющим положительные значения волнового числа а и, следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие состояниям положительной четности..Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, то значения я могут лежать только в интервале О~А ~ (Уйнйа/л.
Значения а, удовлетворяющие (25,6) при п = 1, 3, ..., соответствуют точкам пересечения прямой йа н монотонно убывающих кривых л М) ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОИ ЯМЕ 1!! Волновая функция фн О. А волновая функция внутри ямы, нормированная условием л/2 ) ($~(тг(х=1, -а~э ИМЕЕТ ВИД ф1+' = р' — соз — х, л нечетное. -Г2 яа а а (25,9) Для состояний отрицательной четности условия непрерывности ф и д„ в точках я= в приэодят к системе уравнений Нь а Сэ!п — =Аа 1", Аа 2 Ссоэ — = — т Ае тл/А. Аа Т 2 А (25,10) Иэ условия разрешимости этой системы уравнений имеем йс!К 2 — — — У. Аа (25,1 1) или в явном виде а T2р(7А > пй(л — !).
(25,12) Условие (25,12) всегда выполняется при л = 1. Следовательно, симметричная одномерная яма с произвольными значениями а и (7А имеет не менее одного дискретного уровня энергии. Возможное число уровней в яме. определяется максимальным значврирм л, при котором еще выцолняется неравенство (25,12). Учитывая периодичность котангенса, можно получить из (25,11) уравнение, по форме совпадающее с трандцендентным уравне. пнем (25,6), При л = 2, 4, 6, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
