А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 17
Текст из файла (страница 17)
вокруг осей третьего порядка Са и, наконец, класс отражений в трех плоскостях симметрии. Группа Сг„имеет три неприводимых представления. Характеры неприводимы» аа изменение квантовых состояния с течением Времени (Гл. и тов. Поскольку вращения вокруг аксиальной оси возможны в двух направлениях ~ ф, то имеются два элемента в каждом классе, соответствующие повороту на угол зр или — ф.
Характеры неприводимых представлений группы 'С , указаны в табл. 4. Из таблицы характеров 1 — 1 О О 1 1 2 сов ф 2 соз 2ф А В Ез Ез Еа 2 2 созлф О следует, что в системе, обладающей группой симметрии С „, возможны два типа невырожденных состояний. Волновые функции состояний, соответствующих неприводимому представлению А, являются полностью симметричными; волновые функции состояний неприводимого представления В меняют знак при операции отражения в плоскости, проходящей через ось.
Все остальные состояния двукратно вырождены, так как должны относиться к двумерным представлениям Е(, Ем .. „ представлений группы Сав указаны в табл. 3. Два непрнводимых представления А н В группы Сзе первого порядка, поэтому они соответствуют невырожденным состояниям системы. Третий возможный тип состояний в такой системе относится к двумерному представлению Е, поэтому соответствующие состояния будут обязательно двукратно вырожденными. Никакие другие типы состояХарактерм иеприводимык ннй невозможны в этой системе.
ВРедставлеии" ГРУппы ~зе Например, нет трехкратно вырож- денных состояний, если не учитыСзе з тоз ~е ВаТЬ Так НЗЗЫВаЕМОГО СЛУЧайНОГО вырождения, обусловленного особым характером потенциальной энергии (см. Я 25 и 37). Е 2 — 1 О В качестве третьего примера рассмотрим систему с аксиальной осью симметрии. Если при этом система не обладает центром симметрии, то ее группой симметрии будет С „.
Элементами симметрии этой группы, кроме единичного элемента е, являются всевозможные повороты вокруг аксиальной оси С на произвольной угол зр и отражения ое в любой плоскости, проходящей через ось. В группе С, все плоскости симметрии эквивалентны, тайника 4 поэтому все отражения О, Характеры иеяриводиммк составляют один класс с не- представлений группы С прерывным рядом элемен- а зщ изменение с течением ВРемени матРицы плотности зв Пользуясь теорией групп, легко установить правила полного нли частичного снятия вырождения состояний в системе при изменении ее симметрии под влиянием внешнего поля. Теория групп позволяет сделать некоторые заключения о вероятностях переходов систем из одних состояний в другие. Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем.
$20*. Изменение с течением времени состояний, описываемых матрицей плотности В 5 14 было указано, что в некоторых случаях состояние системы не может быть описано волновой функцией, и была введена матрица плотности р, позволяющая вычислять средние значения любой физической величины, характеризующей систему. Исследуем теперь, как будет меняться матрица плотности с течением времени. Согласно (14,7), элементы матрицы плотности определяются равенством р„,„(1) = ~ч~', ят(г) а*„~о(1) а<9(1). Из (20,1) следует, что д (дам ~ да~~~ 1 а~ р ° (~) Х)" (Ч ~~ ~"~+ ~" (20,1) (20,2) да1ая Для определения производных —" подставим Ч""> Х и~'1(1) ф„(1) в уравнение Шредингера 1Й вЂ” = НФО.
ат<~ дг Тогда, умножая полученное уравнение на ф' (в) и интегрируя по области изменения переменных 5, находим да~~~ 13 — „=,')',( ~Н~ ) „, а (20,3) где (т! Н 1и) — ~ ф' ($) Н~)„®г1$. (20,4) Подставляя (20,3) в (20,2) и учитывая (20,1) и эрмитовость матрицы (20,4), находим  — р„,„= ~~)~~ [(и'! Н (1) рм — р„ч (Ц Н ~ и)]. (20,5) ЭО ИЗМЕНЕНИЕ КВВНТОВЫХ СОСТОЯНИИ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. П Используя матричные обозначения, это уравнение можно записать в виде [л Нр рН (20,6) Матричное уравнение (20, 6) позволяет определять матрицу плотности для любого момента времени, если она известна в какой-либо начальный момент времени.
Уравнение (20,6) иногда называют квантовым уравнением Лиувилля, так 'как оно соответствует уравнению Лиувилля для классической функции распределения в статистической физике. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то из (20,6) следует р ([) а-[анар (0) а[ннл (20,7) Если функции ф, относительно которых определены коэффициенты а в (20,1), являются собственными функциями оператора К то матричные элементы (20,4) имеют особенно простой вид (т ! Н [а) = Е„Ь „, (20,8) где Š— собственные значения энергии системы. Подставляя (20, 8) в (20, 5), находим дчя этого случая [и аг — — (Е, — Е„) Р„.„(О.
ар„,„([) (20,9) Уравнение (20,9) может быть легко проинтегрировано. Если в момент г = 0 элементы матрицы плотности равны р„,„(0), то р„,„(г) = р„,„(0) ехр ~ [' (ń— Е„,) — „~. Таким образом, элементы матрицы плотности с течением времени изменяются по гармоническому закону. Частота колебаний определяется разностью энергий состояний л и и', относительно которых вычисляется элемент матрицы плотности.
Г Л А В А 111 связь квлнтовои мехлники с кллссическои мехлн и кой й 21. Предельный переход от квантовой механики к классической ниах импульса ях, уравнение ого уравнения ый переход от акой предельволновой опспользовалась овой механики. а от квантовой дставив волно- (21, 1) В 2 17 уже отмечалось, что при больших значе частицы, движущейся в достаточно плавных пол движения частицы мало отличается от класснческ Ньютона.
Исследуем теперь более полно предельн квантовой механики к классической механике. Т ный переход формально аналогичен переходу от тики к оптике геометрической. Эта аналогия и в первых работах, приведших к построению квант Наиболее просто условия предельного переход ,механики к классической можно исследовать, пре вую функцию в виде ф (г, 1) = ехр~ — о (г, 1) ~. Подставляя (21,1) в волновое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы массы 1г в потенциальном поле с энергией 0(г), находим уравнение — — = — + (7 (г) — — 1пз, дд (тд)~ га дг 2и 2н (21 2) определяющее комплексную функцию Я(г, 1). Если бы можно было отбросить последнее слагаемое в правой части точного квантовомеханического уравнения (21;2), то мы получили бы известное из классической механики [81 уравнение Гамильтона — Якоби: (21,3) Уравнение (21,3) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от действительной функции действия, определяемой через функцию Лагранжа (Ь) С помощью интеграла Вв сВязь кВАнтоВОЙ мехАники с клАссическОЙ мехАникои [Гл.
1и Траектория движения частицы в классической механике нор- мальна к поверхностям равных значений функции действия. Это непосредственно видно из того, что импульс частицы опреде- ляется соотношением р= угад Ео. Сравнивая (21,2) с уравнением (21,3), мы видим, что переход от квантового уравнения к классическому соответствует формальному переходу к пределу «-~О, подобно переходу от релятивистской механики к нерелятивистской при с- оо. Поскольку л — величина постоянная, то такой предельный переход следует понимать условно. Он оправдывается только тогда, когда в уравнении (21,2) члены, содержащие й, малы по сравнению с остальными членами уравнения.
Чтобы упростить исследование условий возможности классического описания квантовых систем, рассмотрим стационарные состояния. В стационарных состояниях энергия системы имеет определенное значение, и зависимость волновой функции от времени целиком определяется этим значением". ф(г, 1) =~) (г) ехр( — 1 — „~. Ег 1 3(г, 1)=о(г) — Е(. При этом уравнение (21,2) переходит в уравнение — + У (г) — Š— — = О. (7О)' ~ВЕ2В 2В 2В (21,5) Переход от квантовой механики к классической состоит в замене уравнения (21,5) уравнением классической механики — +(У(г) — Е=О (ЕО0Р 2В (21,6) для функции ом зависящей только от координат и связанной с импульсом частицы соотношением р = угаси Оа.
(21,7) Замена уравнения (21, 5) уравнением (21, 6) возможна, если био)Я» й ( Роо!. (21,8) Таким образом, неравенство (21,8) можно рассматривать как условие, при котором квантовая механика переходит в классическую. Поэтому для стационарных состояний в (21,1) можно в функцив З(г,() выделить в явном виде зависимость от времени, т. е. положить (21,4) КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 93 Учитывая (21, 7), можно переписать неравенство (21, 8) в 'виде р' » й! б(ч р !. (21,9) В частном случае одномерного движения неравенство (21„9) можно преобразовать к виду 1 » РР 2л дк ' (21,10) л ех или Х » — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
