А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Здесь кУ(1) — действительные положительные числа, удовлетворяющие соотношению ~а й7 (1) = 1. Словами «некогерентная смесь» при этом выражается то, что при вычислении среднего значения (1.) какой-либо физической величины 1. в смешанном состоянии необходимо определить значения этой величины в чистых состояниях ф0, т. е. вычислить (1.п1) = ~ ф*'вКфю 1«, (14, 1) и полученные величины усреднить, используя статистический вес й7(ю'); тогда *) (Ц = Х Я7 (1) (Лю) (14,2) Рассмотрим теперь чистые состояния, которые определяются конечным числом, собственных функций некоторого оператора.
Например, поляризация света определяется двумя состояниями поляризации чрг и чра, соответствующими двум взаимно перпендикулярным линейным поляризациям или двум круговым. Состояния с определенной проекцией углового момента л. на направление оси г определяются 21+1 различными функциями ф„, соответствующими разным значениям 1,, = йт. В таких случаях произвольное чистое состояние чрп> изображается линейной суперпозицией фю = ~~ аючр ~2~ а' юа~~~ = 1. (14,3) н л ') Здесь и ниже для изображения квантовомеханнческого среднего исвользуется символ (-), а статистическое усреднение изображается чертой над соответствующим выражевиен. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ [Гл.
1 Подставляя (14,3) в '(14,1), мы убедимся, что квантовомеханическое среднее значение в этом состоянии величины У., соответствующей оператору б, будет находиться по правилу (т."7 = ~ 7.„„,а„'[[[а[в, где (см. й 28 и 'мат. дополн. В) 7.„„, = ) ф'„Еф„, от (14,5) — матричные элементы, определяемые собственными функциями ф и оператором Е. Теперь с помощью (14,2) находим (Ц ~2~ 1[7 (1) ~~ 7.„„.а„'[Ва[В. (14,6) Введем далее матрицу с матричными элементами р„,„= ~ 1[7 (1) а'„['[а~9. (14,7) Тогда, учитывая правило умножения матриц, равенство (14,6) можно записать в виде (Ц = Х 7 „„.р„,„= Х ((-р)„„, или более кратко (Ц=Зр(М) =Зр(рй)* где знаком' «Зр» (шпур) обозначена сумма диагональных элементов матрицы, образованной произведением матрицы 7. с матричными элементами (14,5), и матрицы р с матричными элементами (14,7).
Матрица р является квадратной, обычно она называется иатрпцей плотности, определяющей данное смешанное состояние. Матрица плотности впервые была введена в работах Ландау [6) и Неймана (7). Зная матрицу плотности р, можно вычислить среднее значение любой физической величины, характеризующей систему (например, состояние поляризации). Следовательно, смешанное состояние системы может быть описано с помощью матрицы плотности р.
Равенство (14,8) можно рассматривать как определение матрицы плотности. Оно позволяет путем измерения средних значений некоторых величин в смешанном состоянии найти матрицу плотности данного состояния, т. е. определить все (вообше говоря, комплексные) элементы этой матрицы. Число строк и столбцов в матрице плотности соответствует числу независимых состояний, используемых для характеристики чистого состояния в (14,3).
Это число может быть в некоторых случаях и бесконеч- Ч И! ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОШЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ В! ным (см, ниже). Состояние поляризации фотонов, протонов и нейтронов характеризуется двумя функциями, следовагелыю, !т'= 2. В частности, при отсутствии поляризации матрица плот- ! (! 01 ности диагональна и имеет вид Р = — ~ '~0 1/' Комплексная квадратная матрица с й! строчками имеет № комплексных элементов. Однако не все эти элементы являются независимыми. Из условия действительности средних значений (14,8) следует эрмитовость 'матрицы плогности, т.
е. (14,9) Рп'и Рлп" Далее из условия, чтобы единичный оператор имел среднее значение, равное 1, находим условие нормировки матрицы плотности ВРР=1, (14,10) которое получается из (14,8), если мы учтем, что при 1 = 1 матрица ~ пп' ил' Условие (14,9) сводит № комплексных элементов к № независимым действительным параметрам. Условие (14,10) уменьшает число независимых действительных параметров до № — 1. Итак, если в квантовой системе возможно !у независимых чистых состояний, то определение произвольного смешанного ее состояния сводится к измерению № — 1 независимых величин, которые полностью определят матрицу плотности этого состояния.
Например, состояние поляризации нейтронов (!Ч = 2) полностью определится вектором поляризации Р (три независимых параметра) (см. 5 110). В случае чистых состояний в сумме (14,2) сохранится только одно слагаемое (например, (-е), тогда (~ > = (~ ) = Х К,„„, а'„шаю ли' Следовательно, матрица плотности чистых состояний Р, =а'<оап), и'и л и' При учете нормировки ~а„'юг=! получаем л ' (Р !ии=рпл ° Это равенство является необходимым и достаточным условием чистых состояний. Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний поляризации или других состояний, определяюпгихся конечным ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ [ГЛ.
! В общем случае эта сумма содержит более одного слагаемого, поэтому состояние подсистемы не может описываться волновой функцией, зависящей голько от координат этой подсистемы. Если 7.— некоторая физическая величина, относящаяся к подсистеме х, то соответствующий ей оператор А.„действует только на переменные к. Согласно общему правилу (7,1), среднее значение величины (..в состоянии (!4,11) определяется интегралом (Ц= ~ ф'5, х)Г„фЯ, х)г(хЩ. Подставим (14,11) в (14,12), тогда можно написать (~) = арки(з'! 7. !з), (14,12) (! 4,13) где (з'! 1.
|з) = — [!'[р,',(х) Е„~р, (х)нх — матричные элементы оператора Е„, т. е; з-представление оператора Е„ (см. 5 28); ' р„. = ) Ф,",, й) Ф,($) 6 — матричные элементы матрицы плотности в з-представлении. Формула (14,13) совпадает с формулой (14„8). Непосред,ственно из определения (14,!4) следует эрмитовость матрицы числом собственных функций некоторого оператора. В более общем случае матрица плотносги характеризует произвольное состояние любой системы, являющейся частью большой системы. Как уже указывалось раньше, вследствие взаимосвязи физических явлений, понятие изолированной системы является идеализацией.
Все реальные системы являются частью больших систем, и их состояния Описываются матрицей плотности. Покажем это на примере простейшего случая — изолированной системы, состоящей из двух подсистем $ и х. Буквами $ и х здесь н далее обозначаются полные наборы координат (включая спины) соответствующих подсистем. Полная система изолирована, и ее состояние описываегся волновой функцией [р($, к). Если подсистемы взаимодействуют между собой, то эту функцию нельзя представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая только от $.
Если, например, функции ~р,'(х) образуют полную ортонормированную систему собственных функций некоторого оператора Я„, действующего на координаты подсистемы х, то ф(', х)=ХФ.(з)~,(х). (14,11) э н! описании состоянии с помощью маттицы плотности плотности р„, = р,'., Если оператор 8 имеет непрерывный спектр собственных значений, то в (14,11) и (14,!3) надо суммы заменить интегралами. В этом случае матрица плотности (14,14) будет непрерывной функцией э и з', т.
е. рие =р(зз'). Чтобы получить матрицу плотности как функцию координат подсистемы х (координатное представление (см. 5 28)), перепишем (14,12) в виде (Л) = ) р (хх') (х' ! 1.„( х) а'х ах', р (хх') = ~ ф'(х', $) ф(х, $) г$ где (14,15) — матричные элементы матрицы плотности в координатном представлении; (Е! Ь„!х) =Х„б( — ) — матричные элементы оператора Е„в координатном представлении (см. $ 28). Подставляя (14,1!) в (14,15) и учитывая '(14,14), находим следующее выражение для матрицы плотности, характеризующей состояние малой части большой системы р (хх') = ~ р„лр',, (х') ~р, (х).
(14,16) Я-' (9, $~, Ф) ехр ~ — — ') . Весьма важным является применение матрицы плогносги к малой части системы, которая находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой (большой системой) при температуре 6 (в энергетических единицах). В этом случае матрица плотности или статистический оператор позволяет вычислять средние значения любых физических величин по каноническому ансамблю Гиббса. Канонический ансамбль 'Гиббса представляет собой систему большого числа тождественных динамических подсистем с постоянным числом частиц У и постоянным объемом г'. Подсистемы не взаимодействуют между собой и могут находиться в различных квантовых состояниях !р,. Если ср, являются собственными функциями гамильтониана системы, т.
е. (Н(х) — Е,)г!ь(х) = О, то, согласно статистической механике, состояние подсистемы изображается суперпозицией состояний, соответствующих энергиям Е, с весом, пропорциональным больцмановскому множи- телю основныв понятия квднтовои мвхлники !гл. г Таким образом, в условиях статистического равновесия опера- тор р,„ определяется с помощью канонического распределения Гиббса р„,=б„,_#_(6, $', !ч)ехр( — — '). (14,17) Следовательно, согласно (14,17) и (!4,16), матрица плотности для канонического ансамбля Гиббса определяется формулой р (хх') = Х ' ~~~~ ср,'(х') ~р, (х) ехр ( — — '), (14,18) в операторной форме ей соответствуег статистический оператор р=Я 'ехр( — — ), (14,19) где величина Х= ~~ ехР( — — ')=Бр)ехр( — — )~, (14,20) называемая суммой состояний, обеспечивает выполнение условия нормировки матрицы плотности Зрр= 1.
(14,21) Суммирование в (!4,18) и (14,20) выполняется по всем возможным состояниям подсистем с гамильтонианом Н(х). Логарифм суммы состояний определяет с помощью равен- ства Р(6, 1', !У) = — 6!п Е(6, 1', й) (14,22) свободну!о энергию подсистемы как функцию параметров 6, У, Й. При этом статистический оператор (14,!9) преобразуется к виду р = ехр( — ~. (14,23) При вычислении суммы состояний (14,20) канонического ансамбля нужно учитывать дополнительное условие постоянства числа частиц в системе. Чтобы освободиться от этого условия, можно рассмотреть большой канонический ансамбль Гиббса. Он представляет систему большого числа тождественных подсистем заданного объема У, которые находятся в термодинамическом равновесии с термостатом и обмениваются с ним энергией и частицами так, что в подсистемах сохраняется среднее число частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
