А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При этом фаза функции синуса при изменении х от х~ до х, изменяется, согласно (23, 12), от и/4 до (и+э/4)п, следовательно, функция ф обращается п раз в нуль на этом интервале. Таким образом, квантовое число п в формуле (23,12) определяет число узлов волновой функции в области между точками поворота.
Согласно (22,9), квазиклассическое приближение' справедливо лишь на расстоянии нескольких длин волн от каждой из точек поворота. Поэтому решение (23,13) является хорошим приближением только в том случае, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн, т. е. Х ~ ха — х,. Другими словами, пользоваться квазиклассическим приближением можно лишь для состояний, характеризующихся большими значениями квантового числа и. Интеграл в (23,12) определяет площадь, охватываемую в фазовом пространстве классической траекторией. Из равенства (23,12) следует, что одному состоянию в фазовом пространстве соответствует площадь 2пй.
Поскольку кннзиклассическая функция (23, 13) является быстроосцнллирующей функцией, то при определении постоянной й щ условия нормировки функции на отрезке хь хз можно заменить квадрат синуса его средним значением, равным '/,. Тогда получим ч ь т Если учесть, что и ~ — = — есть время прохождения частик, цей отрезка хз — хь то можно ввести циклическую частоту периодического движения частицы о = 2п/Т. .Выражая А через эту частоту, находим из (23,13) нормированную функцию квазиклассического движения ф (х) = ь — з(п — ~1 р Нх+— /зн .
1~ Г Я кр ~я3 В качестве простейшего применения квазиклассического метода для определения энергии стационарных состояний рассмотрим гармонический осцнллятор, т. е. систему с потенциальной энергией (/(х) = ргььзхз/2. Если обозначить точки поворота ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ЕАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА ш1 х = ~- а, то Е = ргбзбаа12 и р = )Ибо $Га' — х'. Следовательио, — ° рб(х=2Й вЂ”. Е мо ' Подставляя полученное значение в (23,12), находим значение энергии стационарных состояний для больших и: Е= йгбо~л+ — ).
(23,14) Как будет показано в гл. 1Ч, при точном решении уравнения Шредингера энергия стационарных состояний гармонического осциллятора выражается формулой (23, 14) для всех значений и. Развитию метода ВКБ для приближенного вычисления собр ственных значений энергии частицы, движущейся е центрально- симметричном поле, посвящены работы А. Соколова и др. (9, 101. й 24.
Прохождение через потенциальный барьер. Движение частицы над потенциальным барьером и потенциальной ямой Как уже отмечалось, квазиклассическими решениями (22,7а) для классически доступной области движений и (22, 10) для классически недоступной области движений можно пользоваться для значений х, удаленных от точек поворота, если потенциальная энергия б является плавной функцией х. Если потенциал претерпевает скачок в точке, удаленной от точек поворота, а вне .е 11 .И скачка он является плавной функцией от х, то в обла- 0 а Х стях, разделенных скачком, также можно спользовать Рн а.
ДНЮ"ЕИИЕ Чаатнны НРН на~она ИетЕН. и циаааното бернара. квазиклассические волновые функции. Связь волновых функций с обеих сторон скачка потенциала определяется нз условий непрерывности волновой функции и ее производной при значениях х, соответствующих месту скачка. Для пояснения метода использования квазиклассического приближения прн наличии скачков в потенциальной энергии 'рассмотрим условия движения частицы в поле с потенциальной энергией, изображенной на рис. 4. Согласно классической механике, если полная энергия Е частицы меньше, чем максимальное значение Уиаио потенциальной энергии, то часпща отражается 102 сВязь кВАнтОВОи мехАники с клАссическои мехАникои [гл.
Н! от потенциального барьера, если же Е) Пи»хо, то частица свободно. проходит. Можно сказать, что потенциальный барьер для классического движения частицы полностью прозрачен, если Е) 1!нх«о, и является совершенным зеркалом, если Е «;. У„,о„о. В квантовой механике, однако, оба эти утверждения, вообще говоря, не являются правильными. Всегда имеется некоторая вероятность того, что частица пройдет через барьер прн Е( «1!Во„о и частично отразится от барьера при Е) 0„»„о. Для вычисления этйх вероятностей разобьем всю область движения частицы иа три части ), П и !П, указанные на рис. 4. В областях ! н П! частица движется свободно. Будем считать, что частица с определенной энергией и импульсом р = яйо приходит из области отрицательных значений х.
Тогда в области ! вол. новая функция изобразится суперпозицией двух волн ф = Ае'" '+ Ве-'" *, (24, 1) где А — амплитуда волновой функции «падающих» частиц, а  — амплитуда волновой функции «отраженйых» частиц. В области П! по условию могут быть только уходящие частицы фш (х) Се'"'". (24,2) Определим коэффициент отражения !1 и коэффициент нрохозсдения 11 потенциального барьера соответственно как.
отношение плотности потока отраженных и прошедших частиц к плотности потока падающих частиц. Тогда, пользуясь определением плотности потока (см. 5 15), находим в нашем случае (24,3) Для вычисления этих величин надо исследовать движение частицы в области П. Рассмотрим вначале случай, когда энергия частицы Е-йойо!(2р) <и„„,. В этом случае область П будет классически недоступной и при плавном потенциале можно будет записать волновую функцию в виде квазиклассической функции (22,10) Используя условия непрерывности ф и — „при х= 0 и х -" 1, оч ех прлучнм четыре соотношения между пятью коэффициентами А, В, С, а и )), которые позволят исключить а и р и определить от- ~Т / ношения В/А и С/А.
Если выполняются условия квазикласснчности, то и(х) является плавной функцией от х, поэтому при вычислении производной — можно учитывать зависимость от х ргор ах только в экспоненте. Таким образом, получаем для х О. у' а (А + В) = а+ 11, йо(А — В)= у' а (а — р), (24,4) где - ео-1о орорророр — оо Соответственно в точке х=1 имеем еще два соотношения ает+ ()е-т С о)Я ЕРеи )ррЬ (оет — ре-Ч И Сееье, (24,б) где 6 трорроро — М ° о т) р'2Д٠— У]о.рор,ор о Из уравнений (24,б) находим 11ЕЬ+ й.)С й= 11 у'Ь вЂ” ' — '1Сехр(1яо1+у).
Поскольку квазиклассическое приближение применимо только для достаточно «широких» барьеров, когда у = и1» 1, то и~(1. Поэтому при вычислениях С1А из (24,4) можно пренебречь а, тогда получим С 4 ехр ( — й4 — т) ( '.— ~)($ р — — '') Подставляя это выражение в (24, 3), находим коэффициент про- хождения потенциального барьера 8 1Е ( е е-, ° р1 —,) ррордроио*о-й!р*~.
— + — е+ — +— а Ьо аЬ Ь (24.7) ь ее потенциАльныи ВАРьеР и потенциАльиАЕ ямА !03 104 связь квАнгОЕОЙ мехАники с клАссическОЙ мехАникои (гл. И1 Формулв (24,7) выведена в предположении, что до и после бврьерв чвстипв движется свободно н у(х< 0) (1(х)1) *=О. Если С1(к(0) О, ()(х ) 1) 01 Ф О, то « ', Й 21 2ме — к» ь т3'Нк. мк В етом случае формулы (24,3) видоизменяются Далее, для доствточяо «шнрохих» барьеров 4 ехр( — 1Ь»1- т) Следовательно, 1 ~ехр — — р2р((У(х)-и) бх )баке тт ГЬ аЬ Ь2 е — + —,+— а Ьо аь Приближенное (с точностью до предэкспоненциального множителя) выражение В ехр — — ~ 2р ((1 (х) — Е) с(х 2 Г к| для коэффициента прохождения остается справедливым и в случае более общего достаточно плавного (чтобы выполнялись условия квазиклассичности) барьера.
При этом точки х1 и хв определяются из условия обращения в нуль классического импульса частицы или Ц (х!) = () (х2) = Е. Коэффициент отражения )1 можно получить из соотношения 1 1(+ 17, (24,Я) которое непосредственно следует из -уравнения непрерывности (15,7) для плотности потока, — плотность потока падающих частиц должна равняться сумме плотностей потоков отраженных и прошедших частиц. Согласно формуле (24,7), коэффициент прохождения потенциального барьера резко уменьшается при увеличении массы частицы.
Так, например, при увеличении массы элект(юна до массы протона прозрачность барьера уменьшится в а«12«е 1йм раз. потен4шАльныи ЕАРъеР и потеицнАльнАЕ яиА 105 Ь 24 фп = =2(п Ь(у) 4(у+ (( 14 Ь(х) Приравнивая функции и их производные в точках х = 0 и 1, на- ходим четыре соотношения: 'у' а (А + В) = а з(п (1, (Ьо(А — В) =а у'а соз(1, аейп((р+ р) =С $~Ь е~~, )(Ь асов((р+ й) =(ЬЬСе ~, (24,10) где теперь а Ь(О), Ь=Ь((), р= Ь ~ ~2р(Š— и(х)) (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
