А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(26,25) С другой стороны, согласно определению операторов (26,24), имеем й»й+ йй»=$»+ йз Таким образом, Н = ~ ф+ Р)„„= ~ (й»й+ йй'),„=й ('и+ Яй „=Е„й „, или Е„= л»з (л+-). ГЛАВА Ч ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ й 27. Различные. представления вектора состояния В эз 2 и 3 для изображения состояния мы использовали волновую функцию ф,(5, 1), являющуюся функцией совокупности координат 5 в определенный момент времени й Индексом а у волновой функции обозначают набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые определяют состояние. В связи с этим индекс а обычно называют индексом состояния.
Описание состояния с помощью функции, зависящей от координат (волновой функции), называется координатным представлением. Квадрат модуля нормированной волновой функции координатного представления определяет плотность вероятности обнаружения в данном состоянии определенных значений координат $. Буква 5, обозначающая совокупность значений переменных, от которых зависит волновая функция, называется индексом представления. В первых трех параграфах этой главы мы будем исследовать состояния в один определенный момент времени, поэтому время явно не будет указываться.
Наряду с ранее использованным обозначением волновой функции ф,(э) в координатном представлении будем пользоваться введенным Дираком скобочным обозначением (Ца), т. е. положим ф«(в) и (Ца). (27,1) Удобство скобочных обозначений проявится о дальнейшем изложении. Согласно Дираку (1Ц, любое состояние а квантовой системы можно описать '(независимо от выбора представления) некоторой величиной, которая называется «кет»-вектором и обозначается символом ~ а). Вследствие принципа суперпозиции ($3) «кет»-векторы можно складывать.
и умножать на комплексные скалярные величины и получать новые «кет»-векторы. Совокупность всех возможных «кет»-векторов образует абстрактное комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений, которое называют гильбертовым пространством. Каждому «кет»-вектору 1а) можно сопоставить дуальный вектор состояния «бра», который обозначается символом (а~ и связан с «кет»-вектором простым соотношением (а~=)а)е. Поэтому любое состояние динамической системы можно описать как «кет»-вектором, так и «бра»-вектором.
Совокупность всех возможных «бра»-векторов образует пространство, дуальное к гильбертовому.пространству «кет»-векторов. «Кет»- и «бра»-векторы имеют'различную природу, поэтому их нельзя складывать. Следовательно, они не могут быть разбиты на чисто вещественную и чисто мнимую части. Это комплексные величины особого рода. Эрмитовые операторы Р = Р~ действуют на «кет»-векторы слева, а на «бра»-векторы — справа и преобразуют их в другие векторы состояний соответственно «кет» или «бра». Например, если 1Ь) =Р!а), (Ь!=(Р~ а))" =(а !РТ =(а !Р. то Названия «бра» и «кет» соответствуют двум частям английского слова Ьгаске1 — скобка, так как скалярное произведение двух «кет»-векторов )а) и 1Ь) обозначается скобкой (Ь)а). Оно образуется путем умножения «кет»-вектора [а) на «бра»-вектор, дуальный к «кет»-вектору ~Ь).
Скалярное произведение (Ь)а) является обычным комплексным числом и удовлетворяет равенству (Ь|а) = (а)Ь) *. Вследствие принципа суперпозицин состояние квантовой системы характеризуется только направлением вектора ~а) в гильбертовом пространстве, а не его величиной.
Поэтому обычно векторы состояний нормируются к единице *) условием (а)а) = 1. Последнее условие определяет вектор состояния с точностью до фазового множителя ехр(йр) с вещественным ф, так как векторы ~а) и )а)ехр(мр) имеют одну и ту же длину. Координатное представление вектора состояния ~а) изображается волновой функцией (27,!), зависящей от координат В. Согласно определению скалярного произведения, волновую функцию координатного представления (27,1) можно рассматривать как скалярное произведение вектора состояния )а) и векторов состояний ~ Д для всех значений координат $, рассматриваемых как индексы состояний. Другими словами, совокупность значений (Ца) представляет собой совокупность проекций вектора состояния на полную базисную систему ») В й 1О было показано, что собственные функнин операторов с непрерывным спектром нельзя нормировать обычным путем, Соответствующие зтим состояниям «кет»-Векторы также имеют бескочечную длину.
э зп РАЗЛИЧНЫВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 125 элвивнтАРНАЯ тногия пгвдстзвлании 1гл. у векторов ~$). Волновая функция (Ца), как и другие скалярные произведения, является обычным комплексным числом. Координатное представление (27,1) вектора состояния не является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном пространстве любой трехмерный вектор может быть определен своими координатамя в некоторой произвольно выбранной системе трех ортогональных единичных базисных векторов еь ез, е», так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определен через значения «своих координат» — волновых функций.
В глльбертовом пространстве в качестве базисных векторов используются полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже знаем (см. Я 9 и 10), что совокупность собственных функций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему функций, поэтому любую такую совокупность функций можно использовать в качестве базисной системы. Совокупность коэффициентов (Р ~ а) разложения 1а) = = Х1Р)(Р!а) вектора состояния ~а) по собственным векто- Р ам 1Р) оператора Р называется волновой функцией состояния а) в представлении, соответствующем оператору Р, или Р-представлением.
Таким образом, вектор состояния можно записать в энергетическом представлении (Е-представление), в импульсном представлении (Р-представление) и т. д. Поясним вышесказанное примерами. Рассмотрим для простоты состояние движения одной частицы. Для описания состояния выберем две системы базисных функций: 1) собственные функции, соответствующие оператору, имеющему дискретный спектр собственных значений, 2) собственные функции, соответствуюшие оператору, имеющему непрерывный спектр собственных значений.
Полученные результаты легко обобщить на случай операторов, имеюших как дискретный, так и непрерывный спектр собственных значений. а) Энергетическое представление (Е представление). Для изображения вектора состояния 1а) выберем в качестве базисных функций собственные функции оператора Гамильтона, имеющего дискретный спектр собственных значений. Обозначим эти функции в координатном представлении через ча (В) (В 1Е„). (27,2) Для комплексно сопряженных функций используем обозначение р,' (Ю)-(Е„~Ю).
(27,З) Таким образом, (Ез! з) =(ИЕ»)). (27,4) Свойство ортонормируемости собственных функций можно записать в виде з г'ь'рв ®'рв„(ь) бв и„' (27,2) (27,5) или, используя скобочные обозначения для функций, ! оч(Е,л13)($ !Ел) =(Е,л! Е ) =Ьв в„- (27,5а) Чтобы перейти от координатного ф,($) = (Ца) к энергетическому представлению вектора состояния ф ~ !а), разложим функции координатного представления по базисным функциям (27,2); тогда получим в двух формах записи: ф.й)=Хф (Оф.(Е„), (27,р) (й !а,'г= Х (й !Е„)(Е„3а).
вл Набор коэффициентов разложения ф (Е„) ~ (Е„!а) и является волновой функцией состояния [а) в энергетическом представлении. Независимой переменной волновой функции в Е-представлении является энергия системы, пробегающая дискретный ряд значений. Квадрат модуля волноной функции в Е-представлении определяет вероятность найти систему с соответствующим значением энергии, т. е. УР(Е„) = ! ф (Е„) !э лл ! (Е„! а) Р. Если функции координатного представления.
были нормированы, то будут нормированы и функции в новом представлении. В этом легко убедиться, если подставить в условие нормировки функций координатного представления ($-представление) ~ ов(а !Е).(й !аУ=1 значения (а !Е)= ~.", (а !Е„)(Е„]й) и (й !а)= ~~„'~($ !Е„)(Е„!а). Тогда, учитывая (27,ба), находим Х (а ! Е„) (Ел ! а) ли 2~ ! фл (Е„) !т = 1, что и является условием нормировки волновых функций в Е-представлении. Ф эи РАЗЛичный пнйцставлйния вЕКтоРА Спстояння 1йт ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Пользуясь свойством ортонормируемости (27,5а) базисных функций (27,2), можно из (27,6) получить обратное преобразование ф.
(Е„) = 1 Фф," ($) Ч. ($), (27,7) или (Е„1а) = ! д$(Е„1е) (5!а). Из (27,7а) следует, что преобразование функций координатного представления (Ца) в функции (Е„!а) энергетического представления осуществляется с помощью функций (Е„!В) = = ЩЕ„)+. Преобразование (27,6а) переводит функции Е-представления в функции $-представления. Это преобразование осуществляется функциями ЩЕ ), являющимися собственными функциями оператора Гамильтона в координатном представлении, б) Импульсное предст а в л е н не. В импульсном представлении (р-представление) базисными функциями являются собственные функции оператора импульса фр (е) (е1р).
(27,8) удовлетворяющие соотношениям ортонормируемости ) дМ;,(а) ф,(е)-б(р' — р) нли 61а) = ~ Ф 61р) (р !и) (27,10) Функции ф,(р) вм (р!а) определяют вектор состояния !а) в импульсном представлении. Квадрат модуля этих функций равен плотности вероятности в импульсном пространстве р(р) = д =1(р1а) !з= — 1ф,(р) р. (27,П) глР (р) нр Преобразование, обратное к (27,10), имеет вид (р1 а) = ! д$ (р ! й) ($ ! а). ) пй(р 1й)(й!р)=(р !р) — б(р — р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
