А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Чтобы пояснить вышесказанное, вычислим в явном виде оператор импульса и координаты в импульсном представлении. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. В код ординатном представлении оператор импульса 6'= — й —. д» В импульсном представлении оператор (28,6) изображается непрерывной матрицей с элементами (р' 1,61р) = ! сЬ (р'1»),6 (»1р).
(28,7) Учитывая, что функции (х!р) являются собственными функциями импульса, т. е.б(х!р) = р(х!р), и свойство ортогональности (28,4), преобразуем (28,7) к виду Ф161Р) = рб (о' — р). (28,7а) Таким образом, оператор импульса в импульсном представлении изображается диагональной непрерывной матрицей. Подставляя (28,7а) в (28,6), имеем (р1Ь) = р(р1а). (28,8) Учитывая явный вид собственных функций оператора импульса (х 1р) =(2пй) *екр(юр — „"), легко убедиться, что умножение на х этой функции сводится к преобразованию ( 1р)=-й д (х!Р).
Итак, согласно (28,8), действие оператора импульса на функции в импульсном представлении сводится к умножению этик функций на значение импульса. Этот результат легко обобщается на трехмерный случай — достаточно заменить р векторной величиной. Определим вид оператора координаты в импульсном представлении, Пользуясь обшим выражением (28,6), имеем (р'1 Х 1р) = ~ Нх (р'1») х (х1р). (28,9) РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ Поэтому матричный элемент (28,9) преобразуется к виду (Р'1х!Р) = — 1й — "лх(Р' 1х) (к!Р) = — И вЂ” Ь(р' — р), (28,9а) др Е др Таким образом, бесконечная непрерывная матрица, соответствующая оператору координаты в импульсном представлении, имеет матричные элементы (28,9а).
Подставляя (28,9а) в (28,5), находим после интегрирования по частям (Р'Я= — гй~ 1Р(РЮ вЂ” Ь(Р' — Р)= й д,(Р'Н. др . др' Следовательно, можно сказать, что координате х соответствует в импульсном представлении дифференциальный оператор 2=1й —,' . (28,10) дл Итак, явный вид операторов зависит от вида представления. В $ 30 будет показано, что перестановочные соотношения между операторами не меняются при переходе от одного представле- ния к другому. В частности, используя полученные выше ре- зультаты, можно убедиться, что перестановочное соотношение [2, Р.>=.18 выполняется как в координатном, так н в импульсном пред- ставлениях.
В обшем случае условие самосопряженности (эрмитовости) операторов в матричных обозначениях сводится к равенству (а'~Р~а)=(аР!а')*=— (а'!Р!а)~, (28,11) выражающему эрмитовость соответствуюшей матрицы. Из (28,11) следует, что диагональные элементы операторов кванто- вой механики, изображаемых матрицами, являются действитель- ными числами. Выше мы показали, что операторы координаты н импульса в импульсном представлении могут изображаться либо непре- рывными матрицами, либо функциями от импульсов и производ- ных по импульсам. Для трехмерного случая эти выражения имеют вид Р = Р, или (р' ~ Р ~ р) = РЬ (Р' — р), (28,12) г =1ПЧР, или (Р' ! Р!р) = — ЖЧРЬ (Р'- р).
1 Значок Р у оператора Чр указывает, что производные берутся по д . д компонентам импульса, т. е. 2=1л —, у=18 — и т. д. дрх ' дРР 11ользуясь (28,12), легко можно написать в р-представлении явный вид операторов, соответствуюшнх физическим величинам, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ГЛ. Н выражающимся в кзассической физике через функции от коор- динат и импульсов.
Так, например, оператор Гамильтона, имеющий в координат- ном представлении вид Ь' я Н=- — уг+)г(г), в'импульсном представлении принимает вид Й= —,"'+ р (ат,), 2р (28,13) или в матричной форме (р'!Н (р) = — Ь(р' — р)+ Р(- гл7р) Ь(р' — р). Выпишем, наконец, матричную форму операторов в координатном представлении. Оператор координаты изображается диагональной непрерывной матрицей : (г' (г (и) =»Ь(г' — г).
Оператор любой физической величины, зависящей только от координат, также является диагональной матрицей (г'У(г) (г) =7(г)Ь'(г' — г). Оператор импульса изображается матрицей (г' ! р ! ») = й7»Ь (»' — г). В практических приложениях наиболее часто используется координатное представление. Это обусловлено тем, что энергия взаимодействия выражается функцией от координат частиц н в координатном представлении совпадает с соответствующим оператором. Кинетическая энергия является простой функцией от импульса. Поэтому ее оператор в координатном представлении также имеет простой вид. При исследовании систем, состоящих из слабо взаимодействующих частиц, часто используется импульсное представление.
Прн приближенном решении квантовомеханических задач (см. гл. ЧП) часто используется Е-представление. В качестее примера применення импульсного представления решим ааеденное а й 23 одномерное уравнение Шредингера (23,5) Ьт ДЗ вЂ” — — — р (х — х1)~ ф(х — х,)= ц 2Н Лхт Согласно (27,10), с точностью до множителя (2иа)-'Ь, можно написать СФ 1 ДА(х ха ф(х-х~) ~ е(р)е др, (2З,15) 00 где ф(р) -нолноеая фупкпия частинм н импульсном предстанленнн. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ.
Ч 138 В заключение этого параграфа укажем вид выражения, определяющего среднее значение физической величины Р в произвольном состоянии, которое описывается вектором состояния в представлении оператора с дискретным спектром. Пусть, например, состоянию а соответствует волновая функция (Е„[а) в Е- представлении.
Оператор Р в этом же представлений определяется матрицей (Е~[Р['Е„), поэтому среднее значение Р в состоянии а будет (а[Р(а) = ~~'.~ (а [Е )(Е (Р(Е„)(Е„(а). (28,20> (ь) Бр(Р) = ~ (а[)Р(а[>. ! (2о8,21) где Р = йр — произведение матрицы оператора ь и матрицы плотности р. Легко убедиться, что значение (28,21) не зависит от выбора представления. В самом деле, при переходе к новому представлению (ц(Р(ц> =Х(а,(Р(Р[)(31)ц>. 1 Подставляя это значение в (28,2!), имеем (А) ='~я[' (а (Р( а )= ~и~', (а, (Р(р)) ([1 ) а[>= -Х(в,( >(ц(Р(р,>=Х(р,(Р(р[>.
и 1 В случае чистых состонний )а) статистический оператор р имеет вид р (а) (а(. (28,22) Его матричные элементы, образованные иа любой полной ортоиормироваппой системе векторов )и). образуют матрицу плотности рмв — — (ш [ а) (а ) и). (28,23) й 29. Определение собственных функций и собственных значений операторов, задаваемых в виде матриц Операторы Р в представлениях, соответствующих операторам, имеющим непрерывный спектр собственных значений (г-представление, Р-представление и др.), могут быть записаны в виде дифференциальных выражений.
В этом случае собственные функции и собственные значения этих операторов находятся при решении дифференциальных уравнений. Для оператороа, Кроме среднего значения (28.20), в данном квантовом состоявии часто приходится вычислять средние значения по той или иной совокупности состояний, которая в общем случае определяется мэтрицей плотности' (см.
й 14). Таковы, например, усреднения по спиновым состояниям и статистиче. ские усреднения. Прн описании состояния матрицей плотности р среднее значение физической величины А определяется формулой (14,8), которую мы запишем в виде з з9] опеРАтоРЫ, 3АдАВАемыЙ В Виде мАтРиц 139 задаваемых в координатном представлении, такие уравнения исследовались в $8. В общем случае они имени вид Рфл($) =Рфл($). '(29, 1) В представлениях, соответствующих операторам дискретного спектра, операторы выражаются матрицами, и все волновые функции являются функциями переменных, пробегающих дискретные значения. Поэтому эти волновые функции можно изображать одностолбцовыми матрицами. Чтобы определить правила нахождения собственных значений и собственных функций операторов в представлениях с дискретным спектром, перейдем в уравнении (29,1) к соответствующему представлению.
Для примера рассмотрим Е-представление; тогда, подставляя в (29,1) разложение ф„($) — = (51Р) = ~ (е ) Е„) (Е„1Р), умножая на (Е,л[$) и интегрируя по всем значениям переменных $, получаем систему линейных уравнений: Х ((Ем! Р!Ел) — б „Р)(Ел!Р) =О л (29,2) где (Е 1Р1Е„)= ~ (Е ~$)Р($!Е„)сф (29,3) Относительно Р уравнение (29,4) является уравнением бесконечно высокой степени, оно имеет бесконечное число корней Ри Рм ° ° ° Рлл Корни уравнения (29,4) и являются собственными значениями оператора, соответствующего физической величине Р.
Подставляя одно из найденных собственных значений, например Р . в систему уравнений (29,2) и решая ее, мы определим собственную функцию, соответствующую этому собственному — матричные элементы оператора физической величины Р в Е-представлении. (Е ~ Р) — фг(Е ) — волновая функция в Е-представлении. Система уравнений (29;2) является бесконечной системой однородных линейных уравнений относительно неизвестных функций (Е ~Р). Чтобы эта система имела отличные от нуля решения, необходимо обращение в нуль детерминанта, составленного из коэффициентов этой системы уравнений, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
