А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. 8(0) 1. Унитарность оператора 3(1), 3~(1) 3(8) =1, необходима для сохранения условия нормировки волновой функ- ции для всех времен: (Иф! 3 й =(ф!3'Зф)- й И). Чтобы определить вид оператора 3(1), подставим (31,1) в уравнение Шредингера (15,1), тогда получим ~1й — ",",) — ОЗ (1)1 ф а = 0. Последнее равенство можно заменить операторным равенством й — = НЗ (1).
(31,9) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (гл. т 146 Если Н не зависит явно от времени, то формальным решением (31,2) будет Е(1) ==ехр(- — Н1). (31,3) Таким образом, изменение состояния с течением времени опре- деляется, согласно (31,1), волновой функцией ф($, 1)=ехр(- — 'Н() ф($). (31,4) Особенностью выражения (31,4) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Чтобы определить действие такого оператора на функцию ф($), необходимо разложить эту функцию по собственным функциям оператора Н.
Если Н~р = Е ц, то (31,4) принимает вид Ф($ т)=а — — Йг) Я ~% = А=О л = ~)~~ а„~р„~)~~ ( — — „Е„$) —, = ~~ а„<р„ехр ( — — Е„(~~. л А л (31,4а) б) Представление Гайзенберга. В этом случае волновые функции не изменяются с течением времени, а изменяются операторы, соответствующие физическим величинам. Пусть фш Д, 1) — волновая функция представления Шредингера, а фг($) — не зависящая от времени волновая функция представления Гайзенберга, тогда, согласно (31,4), переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга будет осуществляться преобразованием ф,(5) =Е-'(т) ф.®, 1), (31,5) где Я(1) — оператор, совпадающий с (31,3). Если волновые функции при переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга преобразуются согласно (31,5), то, согласно общему правилу (30,8) и (30,10) унитарных преобразований, надо одновременно преобразовать операторы по закону Ег (1) = 3 (1) гшЯ (1).
(31,6) Таким образом, если в представлении Шредингера операторы не зависели от времени, то в представлении Гайзенберга они зависят от времени по закону (31,6), а волновые функции не зависят от времени. В связи с тем, что Я(О) = Е '(0) = 1, векторы состояний в представлении Гайзенберга и в представлении Шредингера совпадают в момент времени 1 = О. При 1 = 0 совпадают также н операторы в обоих представлениях. Поскольку энитАРнын пгноВРАзовхния 4 зй 147 (31,9) Рг(0) =Рш.
то уравнение (31,6) будет определять изменение за время Е оператора в представлении Гайзенберга. Таким образом, изменение оператора Гайзенберга за время аЕ определяется уравнением Р (Е+ бЕ) = Ю ' (И) Р (Е) Б (ЛЕ). (31 7) В этом уравнении опущен индекс Г у операторов, так как они оба относятся к одному гайзенберговскому представлению. Используя (30,15), находим Р(Е+ ЛЕ)=Р(Е)+ — (Н, Р(Е)) И+ ... Из последнего соотношения следуцт закон изменения операторов в представлении Гайзенберга с течением времени (31.,8) Это уравнение можно получить и путем дифференцирования по времени равенства (31,6) при учете (31,3). Изменение оператора г за конечное время т определяется, согласно (31,3) и (31,7), формулой Р(Е+ т) =ехр( — „Нъ) Р(Е) ехр ( — — „Нт).
Из (31,8) следует, что все операторы, коммутирующие с оператором Гамильтона Я, не меняются с течением времени н в представлении Гайзенберга. Поскольку при Е = 0 операторы представления Шредингера и операторы представления Гайзенберга совпадают, то вид операторов, коммутирующих с оператором Н, остается неизменным при переходе от представления Шредингера к представлению 1 айзенберга. В частности, это утверждение относится и к самому оператору Гамильтона. в) Представление взаимодействия, В квантовой механике часто приходится исследовать системы, состоящие из нескольких частей, взаимодействующих между собой. В этих случаях оператсф Гамильтона можно представить в виде суммы двух членов Н =Но+ г, (31,10) где Нс — оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей системы, Р— оператор взаимодействия.
В таких системах часто для описания изменения состояния системы с течением времени используется представление взаимодействия. Переход от волновых функций представления Шредингера фш($,Е) к волновым функциям представления взаимодействия ф,з($, Е) осуществляется унитарным оператором 3 (Е) = ехр ( — „НФ), (31,11) [гл. ч эламвнтагнля тногия пгедстхвлннии следовательно, , (31,12) ф„(~, г) = 3 (1) Ф (~, 1). Подставляя в уравнение Шредингера 13 д, ' = (На+ Р) Фш й, Г) функцию $щ($, 1) =ехр~ — — „Нс(1 ф ($, 1), получаем уравнение в представлении взаимодействия (31,13) где Р = Б (г) РЯ~ (() = ехр ( — „Нс() Р ехр ( — — „НэГ) . (31,14) Все операторы в представлении взаимодействия изменяются с течением времени так, что если Р†операт представления Шредингера, то оператор представления взаимодействия Р„= ехр ( — ' Н4) Р ехр ~ — — Нз() .
(31,15) Частным случаем (31,15) является (31,14). Итак, в представлении взаимодействия изменение состояний с течением времени описывается изменяющимися с течением времени функциями и операторами. Изменение операторов происходит по закону (31,15), или эквивалентному (31,15) уравнению (31,16) которое может быть получено из (31,15) путем дифференцирования по времени. Изменение волновых функций с течением времени определяется уравнением (31,13), которое имеет вид ураннения Шредингера, но вместо полного оператора Гамильтона системы стоит оператор взаимодействия.
Представление взаимодействия является промежуточным между шредингеровскнм и гайзенберговским представлениями, Операторы в этом представлении зависят от времени, как операторы гайзенберговского представления для системы с оператором Нэ, изменение во времени вектора состояния в представлении взаимодействия обусловлено только оператором взаимодействия. Кроме рассмотренных выше, существуют и другие способы описания состояний квантовых систем †друг представления состояний и их измейений с течением времени, например пред- е ап УНИТАРНЫЕ ПРНОВРАЭОВАНИЯ 149 ставление вторичнОго квантования или представление чисел заполнения, с которыми мы познакомимся в гл.
Х1т' и Х1Е. г) Различные и р едстив лен н я кв а нто в ого ур а- в пения Лиувилл я. Представление, в котором зависимость от времени статистического оператора определяется уравнением Лиувилля в форме (20,6), носит название представления Шредингера. В этом представлении среднее значение любой динамической переменной А в каждый момент времени определяется равенством (А (Е)) =8р(р(Е) А). (31,17) Иногда удобнее пользоваться представлением Гайзенберга, в котором статистический оператор не зависит от времени, а операторы динамических переменных зависят от времени.
Для перехода в (31,17) к представлению Гайзенберга надо в правую часть подставить значение (20,7). Тогда; используя перестановочность операторов под знаком шпура, находим (А (Е)) = Зр (р (О) А (Е)), (31,18) где А (Е) =ехр (ЕНЕС) А ехр( — ЕНЩ (81,19) — гайзенберговское представление оператора, или в дифференциальной форме *) Ей — =[А, Н]. дА д1 (31,20) ') Следует обратить внимание на рааличия в янеке уравнений (лв,б) и (з(,зо).. Если гамильтониан системы можно представить в виде суммы Н = Но + %ее (Е) (31,21) где Не ие зависит от времени, а Ньа(Е) — гамильтониан, характеризующий взаимодействие системы с внешним зависящим от времени полем, то удобно использовать статистический оператор в представлении взаимодействия р(Е), который связан со статистическим оператором р(Е) в представлении Шредингера соотношением р (Е) = ехр ( — ЕНо([й) р (Е) ехр (ЕНе(Я). (31,22) Подставив (31,22) в (31,17) и используя инвариантность шпура относительно циклической перестановки операторов, легко убедиться в том, что среднее значение (31,17) выражается через статистический оператор в представлении взаимодействия формулой (А (Е)) = Зр (р (Е) А (Е)), (31,23) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 1гл, м где А (1) = ехр ((НЕТИ) А ехр ( — ХНгч'й) (31,24) — оператор в представлении взаимодействия..
Чтобы найти уравнение Лиувилля для статистического оператора в представлении взаимодействия, подставим (31,22) в (20,6), тогда получим (й 'Р (П = (Й,ы (Т), Р (д)), (31,25) где Йы» Я = ехр (!НоЦй) Ньа ехр ( — (НА/й) (31,26) — оператор возмущения в представлении взаимодействия. 2 32*. Представление чисел заполнения для гармонического осциллятора Н(гь) "'~ (Р И ) йе ф+,Аг) (32,1) где $ — безразмерная переменная, связанная с массой частицы т, циклической частотой ы и координатой х соотношением $ = х(та/м) тч . д Операторы координаты $=$ и импульса 16 = — 1 — можно д$ выразить через два других незрмитовых оператора й==~~+ — ~= — 6+4), 12 1 дй~ )~2 г 1г дт 1 бг= — '~- — '= — д-йд) 3/2 1 дй~ 1'2 (32,2) (32,3) удовлетворяющих перестановочным соотношениям (й бт]= — ййт — йгй=1. Тогда гамильтониан (32,1) принимает вид Н = — йа(ййт+ й"3) = йм ~йгй+ — ).
(32,4) (32,5) Знакомство с представлением чисел заполнения мы начнем с исследования одномерного гармонического осциллятора. Прн рассмотрении Этого простого примера будут введены понятия, которые используются в представлении чисел заполнения в других случаях. В $26 было показано, что гамильтониан гармонического осциллятора можно записать в виде $ 34 пРедстАвление чисел зАполнения для осциллятоРА щ Все другие операторы, относящиеся к гармоническому осцилляд тору являются функциями $ и — ! —.