Главная » Просмотр файлов » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 27

Файл №1120560 А.С. Давыдов - Квантовая механика (А.С. Давыдов - Квантовая механика) 27 страницаА.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560) страница 272019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

е. 8(0) 1. Унитарность оператора 3(1), 3~(1) 3(8) =1, необходима для сохранения условия нормировки волновой функ- ции для всех времен: (Иф! 3 й =(ф!3'Зф)- й И). Чтобы определить вид оператора 3(1), подставим (31,1) в уравнение Шредингера (15,1), тогда получим ~1й — ",",) — ОЗ (1)1 ф а = 0. Последнее равенство можно заменить операторным равенством й — = НЗ (1).

(31,9) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (гл. т 146 Если Н не зависит явно от времени, то формальным решением (31,2) будет Е(1) ==ехр(- — Н1). (31,3) Таким образом, изменение состояния с течением времени опре- деляется, согласно (31,1), волновой функцией ф($, 1)=ехр(- — 'Н() ф($). (31,4) Особенностью выражения (31,4) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Чтобы определить действие такого оператора на функцию ф($), необходимо разложить эту функцию по собственным функциям оператора Н.

Если Н~р = Е ц, то (31,4) принимает вид Ф($ т)=а — — Йг) Я ~% = А=О л = ~)~~ а„~р„~)~~ ( — — „Е„$) —, = ~~ а„<р„ехр ( — — Е„(~~. л А л (31,4а) б) Представление Гайзенберга. В этом случае волновые функции не изменяются с течением времени, а изменяются операторы, соответствующие физическим величинам. Пусть фш Д, 1) — волновая функция представления Шредингера, а фг($) — не зависящая от времени волновая функция представления Гайзенберга, тогда, согласно (31,4), переход от представления Шредингера к представлению Гайзенберга будет осуществляться преобразованием ф,(5) =Е-'(т) ф.®, 1), (31,5) где Я(1) — оператор, совпадающий с (31,3). Если волновые функции при переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга преобразуются согласно (31,5), то, согласно общему правилу (30,8) и (30,10) унитарных преобразований, надо одновременно преобразовать операторы по закону Ег (1) = 3 (1) гшЯ (1).

(31,6) Таким образом, если в представлении Шредингера операторы не зависели от времени, то в представлении Гайзенберга они зависят от времени по закону (31,6), а волновые функции не зависят от времени. В связи с тем, что Я(О) = Е '(0) = 1, векторы состояний в представлении Гайзенберга и в представлении Шредингера совпадают в момент времени 1 = О. При 1 = 0 совпадают также н операторы в обоих представлениях. Поскольку энитАРнын пгноВРАзовхния 4 зй 147 (31,9) Рг(0) =Рш.

то уравнение (31,6) будет определять изменение за время Е оператора в представлении Гайзенберга. Таким образом, изменение оператора Гайзенберга за время аЕ определяется уравнением Р (Е+ бЕ) = Ю ' (И) Р (Е) Б (ЛЕ). (31 7) В этом уравнении опущен индекс Г у операторов, так как они оба относятся к одному гайзенберговскому представлению. Используя (30,15), находим Р(Е+ ЛЕ)=Р(Е)+ — (Н, Р(Е)) И+ ... Из последнего соотношения следуцт закон изменения операторов в представлении Гайзенберга с течением времени (31.,8) Это уравнение можно получить и путем дифференцирования по времени равенства (31,6) при учете (31,3). Изменение оператора г за конечное время т определяется, согласно (31,3) и (31,7), формулой Р(Е+ т) =ехр( — „Нъ) Р(Е) ехр ( — — „Нт).

Из (31,8) следует, что все операторы, коммутирующие с оператором Гамильтона Я, не меняются с течением времени н в представлении Гайзенберга. Поскольку при Е = 0 операторы представления Шредингера и операторы представления Гайзенберга совпадают, то вид операторов, коммутирующих с оператором Н, остается неизменным при переходе от представления Шредингера к представлению 1 айзенберга. В частности, это утверждение относится и к самому оператору Гамильтона. в) Представление взаимодействия, В квантовой механике часто приходится исследовать системы, состоящие из нескольких частей, взаимодействующих между собой. В этих случаях оператсф Гамильтона можно представить в виде суммы двух членов Н =Но+ г, (31,10) где Нс — оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей системы, Р— оператор взаимодействия.

В таких системах часто для описания изменения состояния системы с течением времени используется представление взаимодействия. Переход от волновых функций представления Шредингера фш($,Е) к волновым функциям представления взаимодействия ф,з($, Е) осуществляется унитарным оператором 3 (Е) = ехр ( — „НФ), (31,11) [гл. ч эламвнтагнля тногия пгедстхвлннии следовательно, , (31,12) ф„(~, г) = 3 (1) Ф (~, 1). Подставляя в уравнение Шредингера 13 д, ' = (На+ Р) Фш й, Г) функцию $щ($, 1) =ехр~ — — „Нс(1 ф ($, 1), получаем уравнение в представлении взаимодействия (31,13) где Р = Б (г) РЯ~ (() = ехр ( — „Нс() Р ехр ( — — „НэГ) . (31,14) Все операторы в представлении взаимодействия изменяются с течением времени так, что если Р†операт представления Шредингера, то оператор представления взаимодействия Р„= ехр ( — ' Н4) Р ехр ~ — — Нз() .

(31,15) Частным случаем (31,15) является (31,14). Итак, в представлении взаимодействия изменение состояний с течением времени описывается изменяющимися с течением времени функциями и операторами. Изменение операторов происходит по закону (31,15), или эквивалентному (31,15) уравнению (31,16) которое может быть получено из (31,15) путем дифференцирования по времени. Изменение волновых функций с течением времени определяется уравнением (31,13), которое имеет вид ураннения Шредингера, но вместо полного оператора Гамильтона системы стоит оператор взаимодействия.

Представление взаимодействия является промежуточным между шредингеровскнм и гайзенберговским представлениями, Операторы в этом представлении зависят от времени, как операторы гайзенберговского представления для системы с оператором Нэ, изменение во времени вектора состояния в представлении взаимодействия обусловлено только оператором взаимодействия. Кроме рассмотренных выше, существуют и другие способы описания состояний квантовых систем †друг представления состояний и их измейений с течением времени, например пред- е ап УНИТАРНЫЕ ПРНОВРАЭОВАНИЯ 149 ставление вторичнОго квантования или представление чисел заполнения, с которыми мы познакомимся в гл.

Х1т' и Х1Е. г) Различные и р едстив лен н я кв а нто в ого ур а- в пения Лиувилл я. Представление, в котором зависимость от времени статистического оператора определяется уравнением Лиувилля в форме (20,6), носит название представления Шредингера. В этом представлении среднее значение любой динамической переменной А в каждый момент времени определяется равенством (А (Е)) =8р(р(Е) А). (31,17) Иногда удобнее пользоваться представлением Гайзенберга, в котором статистический оператор не зависит от времени, а операторы динамических переменных зависят от времени.

Для перехода в (31,17) к представлению Гайзенберга надо в правую часть подставить значение (20,7). Тогда; используя перестановочность операторов под знаком шпура, находим (А (Е)) = Зр (р (О) А (Е)), (31,18) где А (Е) =ехр (ЕНЕС) А ехр( — ЕНЩ (81,19) — гайзенберговское представление оператора, или в дифференциальной форме *) Ей — =[А, Н]. дА д1 (31,20) ') Следует обратить внимание на рааличия в янеке уравнений (лв,б) и (з(,зо).. Если гамильтониан системы можно представить в виде суммы Н = Но + %ее (Е) (31,21) где Не ие зависит от времени, а Ньа(Е) — гамильтониан, характеризующий взаимодействие системы с внешним зависящим от времени полем, то удобно использовать статистический оператор в представлении взаимодействия р(Е), который связан со статистическим оператором р(Е) в представлении Шредингера соотношением р (Е) = ехр ( — ЕНо([й) р (Е) ехр (ЕНе(Я). (31,22) Подставив (31,22) в (31,17) и используя инвариантность шпура относительно циклической перестановки операторов, легко убедиться в том, что среднее значение (31,17) выражается через статистический оператор в представлении взаимодействия формулой (А (Е)) = Зр (р (Е) А (Е)), (31,23) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 1гл, м где А (1) = ехр ((НЕТИ) А ехр ( — ХНгч'й) (31,24) — оператор в представлении взаимодействия..

Чтобы найти уравнение Лиувилля для статистического оператора в представлении взаимодействия, подставим (31,22) в (20,6), тогда получим (й 'Р (П = (Й,ы (Т), Р (д)), (31,25) где Йы» Я = ехр (!НоЦй) Ньа ехр ( — (НА/й) (31,26) — оператор возмущения в представлении взаимодействия. 2 32*. Представление чисел заполнения для гармонического осциллятора Н(гь) "'~ (Р И ) йе ф+,Аг) (32,1) где $ — безразмерная переменная, связанная с массой частицы т, циклической частотой ы и координатой х соотношением $ = х(та/м) тч . д Операторы координаты $=$ и импульса 16 = — 1 — можно д$ выразить через два других незрмитовых оператора й==~~+ — ~= — 6+4), 12 1 дй~ )~2 г 1г дт 1 бг= — '~- — '= — д-йд) 3/2 1 дй~ 1'2 (32,2) (32,3) удовлетворяющих перестановочным соотношениям (й бт]= — ййт — йгй=1. Тогда гамильтониан (32,1) принимает вид Н = — йа(ййт+ й"3) = йм ~йгй+ — ).

(32,4) (32,5) Знакомство с представлением чисел заполнения мы начнем с исследования одномерного гармонического осциллятора. Прн рассмотрении Этого простого примера будут введены понятия, которые используются в представлении чисел заполнения в других случаях. В $26 было показано, что гамильтониан гармонического осциллятора можно записать в виде $ 34 пРедстАвление чисел зАполнения для осциллятоРА щ Все другие операторы, относящиеся к гармоническому осцилляд тору являются функциями $ и — ! —.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,47 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее