А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 31
Текст из файла (страница 31)
мат. дополн. Г). Следовательно, Ж(я)=Г(- и, 2з+-, я). (37,!0) Чтобы функция (37,8) стремилась к нулю при г-+ со, необходимо, чтобы ряд (37,10) оборвался. Это требование осуществляется, если и =.О, 1, 2, ... Из (37,7) следует, что з = '/з(1+ 1). Подставляя это значение в (37,4) при учете (37,6), находим энергетические уровни Е„~ — — йа(2и+1+7з), и, 1=О, 1 2, ... (37,11) и соответствующие радиальные волновые функции Р„~(з)=Л'„гехр~ — — )$~+~г (-и, 1+ ц.
$з). (37,12) ЯМА С КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ РАЦИУСА 1ТЗ где й=г $~рсо/71, /ти1 — множитель нормировки. Полная волновая функцня ф„,.=-,' Я„,(и У1. (О. ф). (37,13) Итак, стационарные состояния в «осцнлляторной потенциальной яме», согласно (37,1!), образуют эквнднстантную (с расстоянием йте) последовательность энергетических состояний. Каждое нз состояний характеризуется двумя каантовымн числами п н 1.
Энергия зависит только от комбинации квантовых чисел: т 2п+/=Л, (37,14) Таблица б Энергии стацноиарнми состоиний сфернчееаой осциллвторной вмм (а+ 111 е /1ео1 3/2 5/2 7/2 9/2 1 1/2 1а 1р 2а, 1о 2р, 1/ Зц 2с/, 1д Четность стационарных состояний соответствует четности нлн нечетностн Л. В табл. 7 приведены явные выражения нескольких радналь ных функций стационарных состояний осцнлляторной ямы. Согласно табл. б, стационарные состояния, начиная со второго, многократно вырождены. Например; уровень" энергии поэтому Л = О, 1, 2, ...
Можно назвать главным квантовым чнслом. Каждое значение Л ) 2 может осуществляться несколькнмн комбинациями значений п н /, следовательно, энергетические уровни (37,11) со значениями Л) 2 являются вырожденнымн. Для обозначения стационарных состояний в сферической осцнлляторной яме ' используются буквенные обозначения з, р, 4 ..., соответствующие значениям 1= О, 1„... Перед буквой ставится число, превышающее на единицу значение п, определяющее степень многочлена г" относительно переменной $а.
Так, например, состоянию 1з соответствуют и = ! = О, состоянию !р соответствуют и = О, 1 = 1 н т, д. В табл. 6 приведены значения энергии первых стационарных состояний в сферической осцнлляторной яме н соответсгвующне квантовые числа. 174 движзнив частицы в поля центральных сил 1гл, ч! ,! еблнца 7 Раднельные волновые функцвн сфернческого осцнллнчорв Ее= — Ьсо шестияратно вырожден. В одном из этих шести со- 7 2 стояний угловой момент равен нулю (з-состояние), остальные пять состояний относятся к !(-состояниям. Онн различаются между собой значениями проенций угловою момента.
Пятикратное вырождение И-состояний является результатом сферической симмегрии потенциального поля. Вырождение, благодаря которому 3-состояние имеет энергию, совпадаю!цую с И-состояниями, является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимостью потенциальной энергии (37,1) от радиуса. Если потенциальная энергия отличается от (37,!), на. пример, членом йг', то вырождение, связанное со сферической симмегрией, сохранится, а случайное вырождение будет отсутствовать.
н!!4 а !и ! $ Ю Састеянне (л + !! ! 2 ехр ( — $Ч2) — з Чр( — $"-!2) 3 ) — ~ $' — — г! ехр ( — хе/2) 31 2) 4 — $' ехр ( — й92) 1р В уравнении Шредингера с потенциальной энергией (37,15) переменные разделяются и задача сводится к трем независимым осцилляторам. Если ввести безразмерные переменные .3 )/ Рв х, !) ~/ йдсе У, й ~/ — "и, го, используя результаты $26, легко показать, что энергия системы выражается формулой 31 Еллл ел = ЙСО (!Пл + ПЛ+ Пл+ 2 ) ю (37,16) Систему с потенциальной энергией (37,1) можно рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор 0(г) = ! Р (хе+ ре+ зе) (37 15) т 371 ямА с кВАДРАтичнои 3АВисимОстью От РАдитсА 175 где ах, л„, л,=О, 1, 2, ..., а волновые функции Фл„!!„в, (хУЗ) = 'Фв„(й) фа (Ч) фР К) (37,!7) Сравннвая (37,16) с (37,11), мы убедимся, что энергии совпадают прн Л = 2п+1= ах+ пт+ и.
= О, 1, 2.... Волновые функции, соответствующие каждой тройке чисел и, а„, п„имеющих сумму, равную Л, относятся к одному энергетическому уров т ню. В частности, уровню с Л=2~Š— йв) соотвегствуют 3 шесть различных состояний (37,17), которые характеризуются наборами квантовых чисел в~2 О О 1 1 О п„~ О 2 О 1 О 1 п,~О О 2 О 1 1 В общем случае кратность вырождения уровня с определенным значением 1 равна т4з(Л+ 1) (Л+ 2). Вырождение уровней с разным 1 («случайное вырождениеь) в трехмерном гармоническом осцилляторе связано с тем, чго уравнение Шредингера (37,2) допускает разделение переменных как в прямоугольной, так и в сферической системе координат, следователыю, оно инвариантно относительно группы преобразований, более широкой, нежели группа трехмерных вращений.
В этом легко убедиться, если записагь уравнение Шредингера с потенциалом (37,15) в представлении чисел заполнения 7 з Н=йз!~ ~л'.! и!О!+3! (37,18) ! ! где а! и а! — операторы рождения и 'уничтожения возбуждений, удовлетворяющие перестановочным соотношениям !а!, абак)=бп, (аю, аР1=0. ! амильтоннан (37,18) ннвариантен относительно преобразования операторов з з а!=ьп!= ~ ииап ~~'„', и!!и!! би,' ! 1 1~1 осуществляемого унитарными матрицами (ии) третьего порядка (группа (7(3)).
Обычная группа вращений — группа 30(3)— содержится в 11(3) в качестве подгруппы. [76 ДВИЖЕИИВ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕИТРАЛЬИЫХ.СИЛ [ГЛ. Ч! $ 38. Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр Исследуем движение электрона в кулоновском поле с потенциальной энергией Е/ (г) = — —. хв' (38, 1) Удобно в уравнении (38,2) перейти к безразмерным перемен. ным. Для этого введем атомну>о единицу длины — боровский радиус а †„„ = 5,292 ° 10 см, 82 -э (38,3) и атомную единицу энергии вт Вв« Е = — = [„, = 27,21 эВ. (38,4) Переходя к безразмерным величинам г Е р = — 3=— о' Ев' (38,5) «) Уравнение (38,2) написано в предположении, что ядро атома является неподвижным. В действительности н электрон и ядро атома движутся вокруг ик обп[его центра инерции.
Чтобы учесть движение ядра атома, достаточно в уравнении (38,2) ваменить массу электрона И приведенной массой ми где М-масса идра атома, М+[« ' Эта задача имеет большое значение в теории ато>яа водорода (Е = 1) и других многократно ионизированных атомов (Не+, !.1++ н т. д.), содержащих один электрон, так как потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром может быть представлена формулой вида (38,1) для всех расстояний, превышающих радиус ядра. На меньших расстояниях (внутри ядра) энергия взаимодействия электрона с ядром не выражается кулоновским законом (38,1), з стремится к конечному пределу при г- О. Вследствие малости радиуса ядра по сравнению с размерами атома отличие реальной энергии взаимодействия ог (38,1) можно в первом приближении не учитывать.
В этом 'параграфе мы исследуем движение электрона в поле (38,1) без учета релятивистских эффектов. Оии будут рассмотрены в гл. Ч!!!. Стационарные состояния движения электрона в кулоновском поле с определенным значением орбитального момента Определяются уравнением Шредингера ) для радиальной волновой функции )с(г) г!(г) ат.й + (2[Е + 2И«~' >(>+1»
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
