А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ЧЪ совпадать с.собственными функциями У[ операторов л.з и 4„ соответствующими (см. $8) собственным значениям Ез=йз1(1+1), 1=0, 1, 2..., Е, Ьт, т=О, -~1, (34,5) (34,6) Квантовое число 1 называют орбигольиь[м квантовым числом, а квантбвое число т называют магнитным квантовым числом. Итак, волновая функция стационарных состояний движения частицы с определенными значениями Ез, Е, в произвольном поле сферической симметрии. может быть записана в виде (., 8, ф)=~„(г)У,.(8.
ф), (34,7) где 1Л[(г) — радиальная волновая функция, вид которой зависит от энергии Е, значения Ез (или 1) и потенциальной энергии 11(г). Поскольку в поле сферической симметрии нет выделенных направлений в пространстве, то радиальная функция 1(г) не может зависеть от значения квантового числа т. Подставляя (34,7) в уравнение Шредингера с оператором (34,2), находим уравнение для функции Й(г) = г[ (г) определяющее энергию системы.
Поскольку функция )'(г) при г = 0 должна быть конечной, то функция 11(г) должна равняться нулю при г = О. Каждое из стационарных состояний с определенным значением 1 будет 21+ 1-кратно вырождено соответственно 21+ 1 значениям т. Состояния, относящиеся к разным значениям 1 = О, 1, 2, ..., принято обозначать соответственно малыми латинскими буквами з, р, [1, 1, л и далее в порядке обычного латинского алфавита. Так, например, состояния с нулевым орбитальным моментом (1=0) называют з-состояниями, состояния с 1= 1 называют р-состояниями и т. д. Оператор Гамильтона (34,2) коммутирует с оператором пространственной инверсии Ф (см.
9 18), имеющим два собственных значения ~1. В связи с этим стационарные состояния рассматриваемых систем могут быть разделены на четные и.нечетные состояния: При операции инверсии координата г не меняется, а угловые переменные преобразуются по закону 8 — и — 8, ф - ф + и, поэтому РУ„„(8, ф) = Уи„(п — 8, ф + и) = ( — 1) Ущ, (8, ф). (34,9) Из (34,9) следует, что сферические функции являются собственными функциями оператора инверсии.
Все состояния с четными 1 166 дан[канна чхстицы в полв цвнтРАльнь[х снл [Гл. Мт и 35. Свободное движение с определенным значением орбитального момента Простейшим случаем уравнения (34,8) является уравнение для свободного (У = 0) движения частицы с определенным значением орбитального момента, т. е. уравнение — ' + ( + К(»)=Ей(») 2в д»' 2вг2 При свободном движении энергия может быть только положительной.
Умножая (35,1) на 2[[»аз и вводя (35,2) (35,1) получаем ~ — „",, — '"+,"+й'~)1,И=О. (35,3) имеет вид (см. мат. дополн. А) ~(») = у — —. 2 3!и И» я» (35,4а) При исследовании общего случая, включающего 1 Ф О, удобнее в (35,3) использовать полную волновую функцию 1(») = [ = — 11(г), тогда 1 У + 2Х+(Ьз — Ц[+Ц)1(И=О Р5,5) Переходя к безразмерной переменной $ а», (35,5) Рассмотрим вначале частный случай з-состояний, которые определяются уравнением ~л г+ йз~ Ло(») =О.
Общее решение уравнения (35,4) можно записать в виде Рз (») = А э[п й» + В соз й». Учитывая граничное условие Рз(0) = О, имеем 11ои= А з[пй». Решение (35,4) возможно при любом значении а. Полная радиальная функция, нормированная условием У 1„(») 1,(.)»за» =6(й»-й), о 168 ДВИЖВНИВ ЧАСТИЦЫ В ПОЛВ ЦВНТРАЛЬНЫХ СИЛ )ГЛ. Ш Две произвольные постоянные А и В в (35,!2) определяются из граничных условий и нормировки функции.
Если движение частицы может происходигь во всей области, включая г = О, го из условия конечности волновой функции при г = О следует В = О. Тогда фАУж= А!У(йг) Угж(8. ф). (35,13) Если частица движется свободно вне сферы радиуса р (например, нейтрон вне ядра), то обе постоянные А и В отличны от нуля и их отношение определяется из условия непрерывности аь и иа сфере радиуса р при переходе из внешней обласги во внутреннюю, где действуют силы. При качественном исследовании решений уравнения (35,3) следует учесть, что член ц1+ !)/гя соответствует «эффективной Ьч (1+ 1) потенциальной энергии» У,фф — †, . Полная энергия 2вгв равна эф~ективной потенциальной энергии при значении .—,-р урр+и.
пр ° «, „, „, ер,~„ли,р убывает экспоиенциально в сторону малых значений г. При г ~> г, в уравнении (35,3) можно пренебречь эффективной потенциальной энергией. Следовательно, ~ф+й') В,(г) =О, где Г)~ГВ Решение этого уравнения имеет вид Я~(г) = А~ з1п(Ь + б~). Обласгь г,м гс называют класснчерис. у.
Эффективнея иотенцивльиен виерпы СКИ ДоетУПНОй О ЛаетЬЮ н волвовен функция для свободного движения дВИжЕНИй. Игах, ПрИ СВО- нестнцы с внеогиеа В и квинтовым числом Ь бодНОм двИжЕНИИ Часгицм в состоянии с квантовым числом ! очейь мала вероятность нахождения частицы в области пространства, где г(гь На рис. У изображена Уфф и значение Яр(г) для частицы, движущейся с энергией Е. й 36. Движение в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме Рассмогрим движение частицы массы р в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины, г. е.
для случая, когда потенйнальная энергия, отсчитывае« т ае СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЧНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ЯМА 169 мая от «днаа ямы, может быть представлена выражением При г ~ а частица движется свободно, поэтому, согласно 3 37, состояние движения с определенным значением орбитального момента характеризуется волновой функцией флак=Ай(йг) Ур (8, ~Р), (36,2) где л определяег энергию частицы соотношением Е= —. Заах (36,3) Прн г е а волновая функция равна нулю, так как частица не может проникнуть в область бесконечно большой потенциальной энергии.
Из условия непрерывности функции следует 1,(й )=О. (36,4) Если обозначить корни сферической функции Бесселя 1-го порядка через Х„ь где и = 1, 2, ... — главное квантовое число, т. е. номер корня в порядке возрастания его величины, то из (36,4) получим дискретные значения ! й = — Хаи а Подставляя это значение в (36,3), находим энергию стационарных состояний Лгха (36,5) Состояния п1 кратко обозначают малой латинской буквой, соответствующей значению 1, перед которой ставится число, указывающее значение п. Таким образом, говорят а состоянняк типа 1з, 2з, 1р н т.
д. В табл. 5 приведены значения корней Х„~ сферических функций. Бесселя для первых шести состояний. Пользуясь табл. 5, легко вычислить энергии частицы с помощью формулы (36,5). Таблица 6 Значенне кернеа сфернчесянх функцна Бесселя движение частицы в поле центгальных сил 1гл. ю по- — — „, +(Š— 0) 11=0.
ь ф2р (36,6) Пусть — Ум если г(а, У(г) = О, если г«а. (36,7) Найдем решения (36,6), соответствующие отрицательным значениям энергии. Положим е =' — Е б, тогда можно написать — „,,'+а%)=0, если г(а, (36,8) — „,' — Щ=О, если г«а, (36,9) где = — )тр(Π— ), ) ~)'2р . )36,)0) Решения уравнения (36,6), удовлетворяющие условию конечности функции 1(г) = Я/г в нуле и исчезающие при г-+ со, имеют вид )т)=Аз)паг, если г(а, Ю,=Ве в', если г«)а.
Г) дг~ Приравнивая логарифмические производные ) — — ) обоих ре- 1А' дг )' шеннй при г = а, получим условие ас1паа= — 6, (36,11) сисгемы. на а и вводя величины и т1 = ай «) О, определяющее уровни энергии Умножая уравнение (36,11') В=ап)0 находим, учитывая (36,10), Ч= — $с18'$, р + т 2)) оо))' г)) (36,12) Уравнения (36,12) можно решить либо численно, либо графически.
При графическом решении значения $ и ть удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям (36,12), определяются точками пересечения кривой т) = — 3 с18 3 с окружностью радиуса Исследование случая движения частицы массы р в сферически симметричной прямоугольной погенциальной яме конечной лубины представляет значительно ббльшие математические рудности. Рассмотрим здесь только энергетические уровня, соответствуюшие з-сосгояниям. В случае э-состояний уравнение, определяющее функцию К(г) = г)(г), согласно (34,8), имеет вид 4 зн ямА с кВАдРАтичнон зАвисимостью от РАдиусА 171 а ~/йр0~. На рис. 8 изображены кривые 8) =-$с(3$ и трн 3 окружности. Окружность 1 соответствует неравенству ',' < 2вггоа' ян < —, В эгом случае отсутствует пересечение,и, следовательно, нет стационарных состояний с отрицательной энергией.
Частица не задерживается в яме н может уходить в бесконечность — отсутствуют связанные состояния. Окружность 2 соответствует радиусу и глубине ямы, при которых выполняется неравенство вн 2н11оан Звн 4 йн 4 В этом случае имеется одно.пересечение †од состояние с отрицательной энергией. Эта энергия может быть определена по значению 8)ь соответствУющему точке пересечения кривых по формуле 118 2 Е, = — е= — ',, (36,13) 2нао ' ' О х Р я которая получается при помощи (36,!0).
КрИВая 3 СООтастетзуст Рнс,з. Грнфоноскоерешеннеуравнений таким значениям 18(18ан, цри ко- ч 1,~ 1 М+ч, нвонн торых в яме имеется два связанных состояния. -Итак, наличие или отсутствие связанных з-сосгояний в прямоугольной сферической потенциальной яме определяется вели- ниной произведения массы частицы на глубину ямы и квадрат ее радиуса. 5 8 г. Сферически симметричная потенциальная яма с квадратичной зависимостью от радиуса Для исследования некоторых свойств атомных ядер представляет значительный интерес изучение движения частицы массы р в поле с потенциальной энергией 2 которую иногда называют осцилляторной сферической ямой. В этом случае для состояний с определенным значением углового 81омента радиальная волновая функция гг(г) удовлетворяет гтз движвнив члстицы в пола цвнтгхльных сил !гл, и уравнению — — — + д + д, — Ер, ~)7ы (г) = О. (37э2) вг Ф на~а~ Йи (г+ 1) Если отсчитывать энергию от минимума потенциальной энергии, то стационарные состояния будут соответствовать положи.
тельной энергии. Образуем из ы и р величину, имеющую размерность длины Г й (37,3) вм и перейдем к безразмерным величинам Е и Е— а' вв' Тогда уравнение (37,2) примет вид ~ — „, — В' —, + 2е~ЯЩ=О. (37,5) (37,4) Полагая е =2 (и+а+ — ), (37,6) ( 2) (37,7) и переходя к новой переменной з = Р и новой функции !г'(г), определяемой соотношением Л($) =ехр(- — )зЧГ(г), (37,8) получаем уравнение для Ж(з) ~ ф+(2 +ф — Я+ Р!У()=О. (37,9) Уравнение (37,9) совпадает с уравнением для вырожденной гипергеомегрической функции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
