А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таблицы этих коэффициентов можно найти в специальных руководствах *). «) значения коэффициентов векторного сложения для 12~2 даны в книге Кондона и Шортли 127). При этом следует учесть, что обозначения Кон. дона н Шортли несколько отличаются от обозначений, используемых в этой книге. Укажем наиболее унотребительныо обозначения коэффициентов вектор.
ного сложения (),ангина~( ) ~Ц лгггнз ~Луги) = С~~, '„ см. также 128 — 301. сложение дВух момвнтов количестВА дВижения 187 4 л! Из (41,9) следует, что коэффициенты векторного сложения являются матрицами преобразования от представления, в котором заданы проекции моментов подсистем, к представлению, в котором задан полный момент системы н его проекция. Коэффициенты векторного сложения играют большую роль в приложениях квантовой механики, поэтому мы укажем основные свойства этих коэффициентов, чтобы облегчить нх использование для практичаских целей.
Коэффициенты векторного сложения отличны от нуля только при условии т=т, +ты (41,10) поэтому в сумме (41,9) суммирование по одному из индексов носит формальный характер. Так как ги~ = гн — тм то при заданном лт в (41,9) можно вести суммирование только по ть При заданных 11 и )д квантовое число 1 может пробегать последовательность отличающихся на единицу значений, удовлетворяющих неравенству Каждому значению 1 соответствует (21+ 1) значений гл = ~), ~(1 — 1), ..., поэтому общее число состояний со всеми воз- можными значениями 1 будет равно лвл (2)+ 1) =(21, + 1) (21г+ 1), 1=! н л! (41,12) (41,13) Числа 1Н 1А н 1 входят в условие треугольника (41,11) симметричным образом. Если условие треугольника (41,11) не выполнено, то коэффициенты векторного сложения автоматически равны нулю. Коэффициенты вектоРного сложениЯ (Н)ь лт — тз, |п~11гн) можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются числом 1, а столбцы — 'числом гпв В таком виде обычно приводятся коэффициенты векторного сложения в таблицах.
Если 1з является наименьшим нз значений 1~ и 1В то число строк и столбцов равно 21А+ 1. т. е. совпадает с общим числом состояний, описываемых функциями (41,4). Неравенство (41,11) можно интерпретировать на геометрическом языке как неравенство, которому удовлетворяют три стороны треугольника. В связи с этим неравенство (41,11) часто называют соотношением треугольника и кратко записывают в виде !88 движения частицы в пола ивитгхльных сил !гл. 22 Коэффипиенты векторного сложения удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности и нормировки: ~ (1,!зт,тз!1т)(1,12т',т,,'~1т) =б б, (41,14) Х ()!12тьтз! !т) (1!12т~тз! ! т') = 31лбзз " (4!,15) зьзь Эти соотношения ортогональности выражают унитарный характер преобразования (41,9). Поскольку коэффициенты векторного сложения действительны„то обратное к (41,9) преобразование осуществляется теми же функциями преобразования, т.
е. ! !2т,) ! 12тз) = Х (1!12т,тз! 1т) ! ),)2)т). (41,16) л. Свойство ортогональности коэффициентов векторного сложения можно выразить также равенством -~~ (!112т!тз! 1т)(Ы~~!т~~ )т) = .~ 31 (бв т' (41,!7) 63,ВФ 2!2+1' 22 2 2 Симметрии условия '.треугольников (41,13) относительно квантовых чисел 11121 соответствуют простые соотношения между коэффициентами векторного сложения для сложения моментов в разном порядке. Эти соотношения называют условиями симметрии.
Например, (Л(зт!тз! 1т) =( — 1)г+ь 2(12!!азт~! !т). (41,18) Из (41,18) непосредственно следует соотношение между волновымн функциями ! 1!121т) ( 1) !!2!!1т)' (41,19) В некоторых случаях вместо коэффициентов векторного сложения удобнее пользоваться 3)-символами Вигнера, которые определяются через коэффициенты векторного сложения формулой !! 12 )з ~ 1 !)Уи-й-~за /= р —. Й12т!тз! 1з, — тз). (4!,20) зпз 1 2!а+ ! Удобство 31-символов Вигнера заключается в их высокой степени симметрии. Они отличны от нуля, только если выполняются условия т +т +тз=б, Л(11!212) ° Значение 31-символа Вигнера остается неизменным при четном числе перестановок столбцов символа. При нечетном числе перестановок столбцов надо умножить символ на ( — 1)дьдьь„ А 4Н сложение тРех моментОЕ.
кОЕФФициенты РАКА 189 Имеет место также равенство В силу ортогоиальности козффициентов векторного сложения 31-символы также удовлетворяют условиям ортогональности „(Ь А Ь)(Л А А), Х~ )( ) 224. (41,21) (41,22) $42*. Векторное сложение трех моментов. Козффициенты Рака Рассмотрим трн коммутирующих между собой оператора Х(1), Х(2), Х(3), которым соответствуют собственные функции Ьгп1), )12п22), )12л22~. описывающие состояния трех подсистем некоторой сложной квантовой системы. Оператор Х=Х(!) + Х(2) + Х(3) (42,1) также будет оператором момента. Этот оператор называют оцератором полного момента системы.
Последовательно применяя результаты предыдущего параграфа, можно из функций )11л21), )!2п22), )122нз) для состояний подсистем С определенными значениями (ь !2 и 12 построить волновые функции, являющиеся собственными функциями операторов Х2 и Х„соответствующие собственным значениям Х =62(И+1) и Х.=Ьп. (42,2) Такое построение можно осуществить двумя путями: а) вначале сложить Х(1) и Х(2) и к их сумме прибавить Х(3); б) вначале сложить Х(2) и Х(3) н к их сумме прибавить Х(1).
Рассмотрим вначале случай а). Для суммы Х(1) и Х(2) имеем ! И2!юл2ю) Х ! ЛМ ! )2л22) (И22Е1тл2 ! 112л2ю) п212 = гл~ + л22 теперь, складывая Х(12) и Х(З), находим ! 0112)!!2)2(лй Е ! (~л21) ! 12л22) ! 12л22) (1~12л2~л22! Л2. Е22+ л22) Х Ш~ИфИр Х(Ыз. Е2;+ н22, щз )/л2). (42,3) (90 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ П'Л. \Ч В случае сложения моментов по способу б) имеем ! !з Онз) йт) = Х !(зт1)!(зтз)! )зтз)(ЙУзтзтз!(м тз+тз) Х Х (Цззтн тз+ тз! )т). (42,4) Чтобы упростить дальнейшую запись, введем следующие обозначения: ),=и, (з=Ь, (з=с, !=з(, Лз=е, (зз=1 т,=а, тз=!3, тз=у тогда (42,3) и (42,4) примут соответственно вид ! (аЬ) есг(б) = ~ ! ао) ! Ь!3) ! су) (аЬа(3 ! е, а + р) (ес, а + 6, у ! г(б), (42,3а) ! а (Ьс) ~г(б) = ~ ! аа) ! Ьр) ! су) (Ьс(3у! 7, (3+ у) (а7а, (3+ у! с(б). а,з,т (42,4а) Функции (42,3а) и (42,4а) ' являются двумя возможными представлениями состояния полной системы, соответствующего собственным значениям (42,2), поэтому они связаны между собой с помощью унитарного преобразования ! (аб)ест) =~((аЬ) есс(! а(бс) (с()! а(бс)(с(б).
(42,5) Матричные элементы унитарного преобразования ((аЬ)есс(! (а(бс)Щ не зависят от магнитного квантового числа б. Они могут быть выражены через произведения четырех коэффициентов векторного сложения. Чтобы найти это выражение, обратим (42,4а): ! аа) ! Ьр) ! су) = )'.~ ! а (Ьс) ~г('б) (Ьсру ! ~, (3+ у) (а~а, !3+ у ! с('б). (42 6) Подставляя (42,6) в (42,3а), находим ! (аЬ) ест(б) = = Х (ОЬа(3 ! е, а+ р) (ес, а + 3, у ! з(б) (Ьс(3у ! г, !3+ у) Х ве Х(а)а, р+у! г('б)! а(Ьс! 1й'б). (42,7) Поскольку состояния, отличающиеся квантовыми числами полного момента г(, являются линейно независимыми, в (42,7) в сумме по 0' отличен от нуля только один член г( = Н'.
Сравнивая далее (42,7) н (42,5), находим ((аЬ)ест! О(Ьс)Щ=~~Р~(аЬа(3(е, о+ р) (ес, а+ р, у! г(б) Х аа Х(Ьс(3у!)', р+ у)(а~а, р+ у! Нб). (42,7а) сложение тгех моментов. коэееициенты глкх 191 4 Коэффициенты векторного сложения действительны, поэтому действительны и матричные элементы унитарного преобразования (42,7а). Вместо этих матричных элементов обычно используют в приложениях коэфгрициенты Рака Ру(аЬсй; е)), которые определяются через (42,7а) с помощью соотношения (42,8) Из действительности и унитарности коэффициентов преобразования (42,7а) непосредственно следует, что коэффициенты Рака удовлетворяют следующему условию ортогональностн: ~(2е+1)(21+1)Ю(аЬсй; е~)%7(аЬсй; ед) бг. (42,9) е Из определений (42,8) и (42,7а) вытекает, что коэффициенты Рака отличны от нуля только в том случае, когда выполняются соотношения треугольников Л (аЬе), й (есй), й (Ьс1), Л (а1й), Из свойств симметрии коэффициентов векторного сложения сле- дуют свойства симметрии коэффициентов Рака 11с(аЬсй; е)) =%7 (Ьайс; е)) РУ(сйаЬ; е)) = = В'(йсЬа; е() =(с'(сайЬ", 1е) =(Г(Ьйас; )е) = И'(йЬса; '1е) =Ф(асЬй; 1е), ( — 1)'~~ " ~1)У(аЬсй; еД = Ы7(ае1й; Ьс), ( — 1)'+~ ' ~К(аЬсй1 е)) =ру(Ье~с; ай).
(42,10) Из определений (42,7а) и (42,8) можно получить полезное со- отношение (аЬсф~ еа+ р) (ейа+ 86~ со+ р+ б) =Х)/(2 + 1)(2~+ 1)(Ьййб~~Р+б) >< Х (а1ар+ б! са+ ()+ б) В'(аЬсй; еД (42,11) Если один из шести параметров коэффициента Рака равен нулю, то с помощью свойств симметрии (42,!О) он может быть сведен к коэффициентам 1 с+с-га йг (аЬсй; о1) 1' (2а+ 1) (2с + Ц асье $Г(аЬсо; е1)= 1' (2е+ 1) (21+ 1) 192 движзнив члстицы в поля цвнтгхльиых сял 1гл. ч1 Более полное изложение свойств коэффициентов Рака и их численные значения можно найти в обзорах 'Биденхарна, Блатта и Роуза (311, А. Эдмоидса (32] и в книге Любарского (291.
В ряде работ вместо коэффициентов Рака используют введенные Вигнером 61-символы, которые определяются через коэффициенты Рака соотношением ( а Ь е1 ~ = ( — 1)'+ +'+" И7 (аЬг(с; е(). (42,12) с 6)чсимволы Вигнера обладают очень простыми свойствами симметрии. В них можно любым образом переставлять столбцы без изменения значения 6)чсимвола.
Значение символа не меняется также при перестановке любых двух элементов верхней строки с двумя элементами, расположенными в нижней строке непосредственно под ними. й 43". Преобразование собственных функций операторов моментов прн вращениях координатных осей Собственные функции ((лт) оператора момента количества движения определяют состояния, в которых квадрат момента имеет значение Ьг1(1 + 1) и проекция на ось х имеет значение Ьгл.
В ряде приложений возникает необходимость преобразования волновых функций ((га), заданных в системе координат хуг, к новой системе координат $т1Ь, которая получается из старой при произвольном повороте вокруг начала координат. Произвольный поворот системы координат йт1Ь относительно системы координат хух однозначно определяется тремя параметрами — тремя углами Эйлера а, в и у. Будем пользоваться правыми системами координат и отсчитывать положительное направление вращения по направлению вращения правого винта. Пусть вначале система осей р)Ь совпадала с системой осей хуз — положение К.
Углы Эйлера а, 6 и у определяют три последовательных вращения, с помощью которых система осей Гт(~ перейдет из положения К в конечное положение К'. Эти три вращения осу1(цествляются следующим образом (рис. 9): а) вращением на )гол а (О ( а ~ 2п) вокруг оси х система осей переводится в положение К~(хьюз,) — операция )гч', б) вращением на угол р(0 ( р ~ и) вокруг новой оси у~ система осей координат из положения К, переводится в положение Кэ(хэузхэ)— операция г(З'; в) вращением на угол у(0 = у ~ 2п) вокруг оси хь совпадаюшей с ~, система координатных осей переводится из положении Кз в конечное положение К' — операция )гт.
9 991 ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ВРАЩЕНИЯХ КООРД. ОСЕЙ ~ВЗ В $18 мы рассматривали изменение волновых функций, связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризующих положение точек системы (перемещение тела). При этом базисные векторы, определяющие систему координатных осей, оставались неподвижными. Теперь мы рассматриваем преобразование координат точек фиксированного в пространстве тела прн вращении базисных векторов координатных осей (вращенне координатных осей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
