А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 28
Текст из файла (страница 28)
поэтому с помощью Э д$ ' (32,2) и (32,3) их можно выразить через операторы д н д». В частности, ф= — '(д+д»), — = — (д — д»). (32,6) )т2 дй !' 2 Как было показано в $26, действия операторов д и д» на волновые функции»р определяются соотношениями дф„= у'пф„и д»ф„= у'и+ ! фь+ь Выражения (32,2) н (32,3) определяют неэрмитовы операторы д и д» в координатном представлении.
Они действуют на множестве функций ф(Ц, нормированных условием ) ф'(е)ф(Е)Щ; В частности, равенства (32,7) определяют их действие на собственные функции оператора энергии. Указание квантового числа и полностью характеризует стационарное состояние осциллятора. Условимся называть одно- квантовое возбуждение (и = 1) однофононным; двухквантовое — двух»рононным н т. д.
Другими словами, каждый квант возбуждения колебаний осциллятора будем называть фононом. Тогда квантовое число и будет определять число фононов в соответствующем состоянии. Все фононы имеют одинаковую энергию. Стационарное состояние полностью определяется указанием числа фононов, поэтому вместо функции ф„(Е) его можно характеризовать функцией, в которой независимой переменной является число фононов.
Эту функцию будем кратко обозначать символом ~п). Действие операторов д и д» на эту функцию определяется равенствами д! п) =)Гп~ и — !), д»! и) = $'п+! ~ и+!). (32,8) Такое представление функций и операторов называется представлением квантовыя чисел, или чисел заполнения. Операторы а и а» действуют на числа заполнения и (числа фононов). При этом оператор д уменьшает число фоканов на единицу н называется оператором уменьшения числа фононов на единицу или, кратко, оператором уничтожения фононов. Оператор д» увеличивает число фононов на единицу н называется оператором рождения фононов. Операторы д н д» полностью определяются соотношениями (32,4) и (32,8).
Конкретный вид этих операторов не существен. Используя (32,8), можно показать, что действие оператора г»=д»д на функцию ~п) сводится к умножению этой функции ЗЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ !гл. ч 152 ) а) = — (йт)" 1 0). $'а! (32,9) В представлении чисел заполнения, обычно полагают !0) = 1, тогда функция !Е), определяемая (32,9), будет также нормирована к 1.
Основное состояние системы, описываемое функцией )0), часто называют закурмньья состоянием. Вакуумное состояние можно определить условием д !0) О, т. е. оператор уничтожения фононов, действуя на вакуумное состояние, дает О. Энергия вакуумного состояния Ез — '/тйа. Итак, представление чисел заполнения соответствует описанию колебаний осциллятора на языке квантов возбуждения— фононов.
Все фононы в этом случае одинаковы, и состояние однозначно определяется указанием числа фононов. Поэтому волновая функция в представлении чисел заполнения зависит только от одной переменной — числа фононов. .Если в операторе Гамильтона (32,1) заменить операторы $ и ~51 классическими величинами, то получим-гамильтониан классической механики где $ и рА — действительные сопряженные переменные. Перейдем от этих действительных переменных к комплексным переменным а = — ($ — (рт), а' = — ($ + (р!), (32,10) 1 ., 1 Р2 г'2 тогда гамильтониан преобразуется к виду Н„„йааа' = йаа а.
на и. Другими словами, оператор числа фононов Ю в представлении чисел заполнения диагонален и его собственные значения равны числу фононов в данном состоянии. Поскольку оператор Гамильтона (32,5) содержит только оператор Ю = бтб, то в представлении чисел заполнения этот оператор диагонален, и его собственные значения Е„= йа(п+ !!Т) определяют энергию системы.
Если собственная функция основного состояния (состояние без фононов) в представлении чисел заполнения имеет вид !0), то, последовательно применяя л раз оператор рождения дт, можно получить волновую функцию состояния с и фононами А 821- пРедстАвление чисел ЕАполнения для осциллятоРА щ Переход от классического гамильтониана к квантовому оператору Гамильтона (32,5) соответствует замене в симметризованном гамильтоннане Н~= е (аа'+а'а) комплексных величин а и а' операторами й и й», удовлетворяющими перестановочным соотношениям (32,4).
Таким приемом мы сразу получаем оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения. Этот переход от классического гамильтониана' к квантовому носит название вхорцчнойо квангеелния. Это квантование тождественно с обычным квантованием, которое делается в координатном представлении при переходе от координат н сопряженных к ним импульсов к соответствующим операторам.
Операторы гармонического осциллятора в представлении чисел ааполнения можно записать н в виде бесконечных матриц. Так, например, неэрмнтовы операторы уничтожения и рождения фононов имеют вид у'1 0 0 у2 0 О Рз О 0 о о $/! 0 О 1/2 О 0 у3 0 В этом представлении ясно видна эрмитова сопряженность опе- раторов б и дт.
Оператор числа фононов изображается диаго- нальной матрицей 0 0 0 Ю вЂ” йтй = 0 1 0 0 0 2 (32,11) Волновые функции стационарных состояний изображаются ма- трицами, состоящими из одного столбца: 1 0 10) = 1 ~1)=, ~2)= и т.д. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [гл. Р В представлении чисел заполнения легко вычислять средние значения в состояниях [и) любых функций от координат и импульсов.
Например, учитывая равенства й=(,) )А(й'+й), 1д„= — ("~ )'*(й — й), имеем (и[Я[и)=(п[~д,[п)=О, (и[У~[и)=[~ )(и[й~й+йй [= —" < 'й!! >= Е. Е.=й ~ + —,) (и [24[и)=3 ( — ) [1+2и(п+1)] и т. д. Из этих равенств, в частности, следует (п [(йх)~ [ п) (п [(йр„)~ [и) = [п + — ) †.
Уже в первой работе по квантованию электромагнитного поля Дирак [13] предложил ввести для операторов рождения аг и уничтожения а представление фазовой переменной с помощью преобразования а=е"' ]'й, аг=)'йе-Ж, (32,12) где й= ага — эрмитов оператор числа частиц. Здесь и далее значок над операторами а и ат опускается. ф — эрмитов оператор фазы.
Однако, как показали Сусскинд и Глогдвер [14], введение эрмитова оператора ф приводит к противоречию. Действительно, если верно (32,12), то должно выполняться соотношение [е'с, й]=е"', или [й, ф]=й (32,!3) Тогда следовало бы (см. $13) соотношение неопределенностей 4 ((й<р)') ((Ьп)х) ~ 1. (32,14) Легко, однако, убедиться, что соотношение (32„13) приводит к противоречию. Возьмем от (32,13) матричный элемент на функциях [п) оператора й, тогда (и' — п) (и' [ ф [и) = й„„. Следовательно, при и'Фи (и'[ф[п) = О, т. е. оператор ф диагонален одновременно с й, но тогда они коммутнруют, что противоречит (32,13). Это противоречие связано с тем, что эрмитов оператор ф ие существует.
Оператор числа частиц и в представлении фазовой переменной имеет вид 6=1 †. Ои действует д<р ' $ эз1 пРедстАВлеиие чисел ЗАГюлнения для осциллятоРА щ в пространстве функцрй, удовлетворяющих условию периодич- ности ф (ф) =ф(ф+2 ), (32,15) и имеет собственные функции ф„(ф) = (2п) Че-'"т и собственные значения О, 2, 3, ...
Оператор ф = ф ие определен на простран стве функций (32,15), так как его умножение на ф(ф) приводит к функциям, не удовлетворяющим условию (32,15). В простпан- стве функций (32,15) определены, например, операторы Ф= =ехр((ф) и Ф =ехр( — (р).
Однако они не унитарны. В самом деле,если записать (32,12) в виде а=Ф)Я, ат=)ЯФ, то можно показать (15), что )п — 1), если пчьО, Ф1п) = О, если п=О. а оператор числа частиц 1 й=П. — —. 2' (32,16) Оба оператора определены на пространстве функций, удовлетворяющих условию ф(ф) = — ф(ф+2п), и имеют собственные функции ф х=(2п) Аехр~1) ~п+ — )ф~,' И.А=Аф и Х= 1. Из (32,16) находим ((3 )'> =((»-(.>'=(~.> -(( >+-,')'. Учитывая равенство ((МА)А> =(1.,'> — (Т.,)~, имеем ((ас„) ) = 1 12 '= ((бп)А>+ ~(п) + 2) — (С,)з. Подставив это значение в соотношение неопределенностей (13,8), получаем соотношение неопределенностей для числа частиц и фазы ((Лф) > Г((' ) >+ 1( >+ О-(~*)'1-%1 - —.', ((йф)'>Г Следовательно, (01Ф~Ф10) = О, что противоречит условию унитарности.
В работе. Файна (16) отмечается, что в переменных и, ф энергия осциллятора вырождена по знаку ф, поэтому его состояние следует характеризовать ие только значением энергии, но и знаком ф (знаком вращения). Знаку вращения сопоставляется оператор 1 (Р = 1), коммутирующий с гамильтонианом. Тогда гамильтониан следует выбрать в виде 11 а и =па(Д+ 2)=гысА А-А= — (п л ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 156 тогда (см. 118)) 1А 1е= — ", где й=.— (до+ го Ао1 — среднее число фононов в состоянии (32,17).
Когерентные состояния можно также определить [Щ как собственные состояния неэрмитового оператора уничтожения фононов, т. е. как решения уравнения а!Р>=Р!й, (32,19) где р — некоторое 'комплексное число. Если ввести унитарный оператор и(8) =и (-8) — ехрф)3а' — (За), (32,20) то собственные функции уравнения (32,19) определяются равен- ством 1 13) = 11 (р) 10).
Действительно, учитывая тождество аУ (8) = У (р) (а + р), имеем (32, 21) (32,22) а 1р) = а(г' (р) 10). У (р) (а + (3) 10) = )3 1 13). Разложим когерентное состояние ~р) по собственным осциллятора, т. е. положим ~В=ХА.1л). функциям (32,23) тогда А„=(л! Р) =(и !(7(Р)!0) = — 1ехр1 — ~! он)е) ° При вычислении А мы использовали выражение 11 (р) = ехр ( — -1 8 Р) ехр ()Заг) ехр (р "а), '3 Когерентнме состояния впервые рассметрнвавнсь Шредннгером [173. Перейдем к исследованию так называемых когерснтных сосжнний осцилляторае) (18). В этих состояниях соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет наименьшее значение, равное ое/4. Как было показано в 5 13, такие состояния в координатном представлении характеризуются функцией гр„„(х) =12п((дх)')) Аехр~ — 4 с,) + — „~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
