А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 32
Текст из файла (страница 32)
поэтому прн больших рР(р) еэоэ н функции [с(р) е вор + еэоо при р-ь оо стремилась бы к бесконечности. л зя движение в кулоновском поле, дискретныи спектР 179 т = О, ~.'-.1, ~2, ..., поэтому общая кратность вырождения стационарного состояния с квантовым числом п будет равна л-1 ~ (21+ 1) и'.
Случайное вырождение в кулоновском поле является следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сферической. Такая симметрия допускает разделение переменных в уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных вращений О (4).
Всякое отклонение от кулоновского потенциала снимает «случайное» вырождение. Например, если в (38,8) за- ВХ менить кулоновскнй потенциал 2Я~р на — (1+ фр), то получим уравнение где величина Р теперь уже не целое число и связана с орбитальным квантовым числом 1 соотношением 1'(1'+ 1) = 1(1+ 1) — 2лр. Уравнение (38,18) по форме совпадает с (38,8), поэтому оно определяет энергию в атомных единицах х х 1м ~ е ~!у и ете+цр ' которая зависит как от главного квантового числа н = л, + 1 +. + 1, так и от орбитального й В табл. 8 указан явный вид (для случая л = Т) первых радиальных функций )(р) = 1г(р)1р, нормированных условием ) 1"-(р) р'пр- 1, о В общем случае для произвольного состояния нормированная радиальная волновая функция выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию формулой 1ы (р) = )Уы ( — ~) Г ~ — а + 1+ 1, 21 + 2, — Р) з где 1 Т (и+ 1)! 11а ( лг 1'а (и+ В1 (В1(л — 1-11~1 1а ) ' Квантовое число л,=н — 1 — 1 1зо движвннв частицы в поли центральных снл 1гл.
чэ определяет число узлов волновой функции, т. е. число пересечений этой функцией оси р (исключая значение р = 0). Таблица З Радиальные функции атома водорода Састовене 1(г) е 2е 1 =(1 — р/2)е етэ У2 =ре е1 1 2~ 6 2 l 2 2 — ~1 — — р+ — р')е е1э зУз~ з 27 — (1 — 6 Р)е е~ 4 — р'е 61Узо Р' 2р зр. (38,17б) (38,17г) Для ряда приложений полезно знать средние значения некоторых степеней р в стационарных состояниях а1. Ниже приводятся некоторые нз них: (р) = — [Заэ — 1(1+ 1)1, (рэ) + 15аэ+ 1 — 31(!+ 1)]. ( —,')= ( —,')= (38,17д) э(1+ 1)(1+ )1 Из (38,17в) в частности, следует, что при учете (38,!5) среднее значение потенциальной энергии электрона в кулоновском поле равно удвоенному значению полной энергии (в атомных единицах) (В=(- — ')=- — ".
= ' Ее р Пэ ам) движения в килоновском полн, нвпгввывныи спвктв 1з1 й 39. Движение в кулоиовском поле. Непрерывный спектр Перейдем к исследованию стационарных состояний движения электрона в кулоновском поле (38,1) при положительной энергии й~=2е) О, (39,1) тогда уравнение (38,6) для функции )1(р) примет вид Асимптотическое значение при р-+ со функции )г(р) Ае11е+ Ве 1ьг остается конечным при любых значениях й и отличных от нуля значениях А н В. Следовательно, собственные значения энергии при е ~ О соответствуют непрерывному спектру. Асимптотическое значение К(р) при р- О должно определяться так же, как и в случае отрицательных энергий )т(р) = рн' Таким образом, решение (39,2) можно искать в ~виде О~ )1 (р) = е*мерыл .~~ р,р".
(39,3) (39,2) Подставляя (39,3) в (39,2) и приравнивая нулю коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях р, находим рекуррентное соотношение 211(т+ е+ 1) а — 21 ( +1+ 2П +1+ Н вЂ” 1(г+ П й"' При больших значениях ч 2Уг (2И) + Рч+1 = (, (., ( 2) р» (, ( 1 ).
2), 1)з. Следовательно, ряд (39,3) всегда сходится. Преобразуем (39,4) к виду . 2И) [т+1+ 1 — —. йч+1 (т+ 1)(ч+ 21+ 2) Р1~' тогда, подставляя это значение в (39,3), можно выразить функцию Р(р) через вырожденную гипергеометрическую функцию )1ы(р) =ееюьгры'~Р(Е+ 1 ш — 21+ 2 1- 2йр)" (39 5) 2 Полученные результаты легко обобщить на случай движения в кулоновском поле отталкивания, например для движения [гл. ю [82 движения частицы в пОле цвнттхльньгх сил позитрона в поле ядра, хе' (Х=— В этом случае полная энергия частицы может быть только положительной. Стационарные состояния движения с определенной 1 р энергией е= — Хг' (в атомных единицах) и определенным орбитальным моментом выражаются линейной комбинацией волновых функций, радиальные части которых выражаются формулой Хгы (р) = е~'~р'+'Р [1+ 1 ~ —., 21+ 2, т- 2йр~, (39,6) которая получается из (39,5) изменением знака у л,.
Радиальные 'функции (39,6) можно испольэовать и для описания движения' протона с энергией Е и определенным орбитальным моментом Х в поле ядра, если положить л1е' в Г 2е (39,7) где М вЂ” масса протона. 0 40". Оператор момента количества движения В предыдущих параграфах этой главы мы видели, что во всех центрально-симметричных полях стационарные состояния можно характеризовать определенными значениями квадрата момента количества движения и его проекции на одно нз направлений в пространстве.
В свяаи с этим представляет интерес исследовать более подробно свойства этих операторов. В общем случае оператором момента количества движения, нли, кратко, оператором момента называется вектор Х, декартовы коордйнаты которого Х~(г = х, у, г или 1, 2, 3) являются эрмитовыми операторами, удов.четворяющими перестановочным соотношениям [Х..
Х„) =йХ-,. [Х-„, Х-.) =юЫ-.. [Х-., Х-.1=аХ-„. (40,1) Частным случаем оператора момента Х является оператор ор. битального или углового момента Х-Е-[»Хр[. В дальнейшем мы познакомимся с операторами моментов, не выражающимися непосредственно через операторы координат и импульсов. Введем оператор квадрата момента 2 2 т 2 = Хл+ Хе+ Хл.
(40,2) 9 4Щ ОпеРАтОР моментА количествА движения 133 Тогда, используя (40,1), находим, что (Х", Х11=0, 1=х, у, а. (40,3) Из перестановочйых соотношений (40,!) и (40,3) следует, что одновременно определенные значения могут иметь квадрат момента и одна из его проекций, Примем в качестве этой проекции Х,. Волновые функции таких состояний являются одновременно собственными функциями операторов Х2 и Х,.
Если обозначить эти функции через (40,4) Ч! =[Хлт), то, следовательно, должны удовлетворяться уравнения Х~! Хт) = Х;! Хлг), Х,11т)= Ьи! Хлг). Введем вспомогательный неэрмитов оператор Х„.==(Х„+ ХХ ),' Х+ ==-(Մ— ХХ,,). (40,5) (40,6) (40,7) либо (40,13) 1 3 5 2' 3' Я' Тогда из (40,1) и (40,3) следуют перестановочные соотношения (Х; Х,)=О, (40,8) (Х., Х+) =йХ+, (40,9) [Х„ХЦ=И,. (40,10) Из (40,5) — (40,!О) следует, что операторы (40,7) имеют диагональные матричные элементы по квантовому числу !.
Оператор Х+ увеличивает, а оператор Х+ уменьшает квантовое число пг на единицу. Квантовые числа, определяющие собственные значения оператора У, в уравнении (40,6) пробегают отличающиеся на единицу значения, лежащие в интервале — Хч лт~~Х. (40,11) Неравенство (40,1!) для чисел т, отличающихся друг от друга на 1, будет выполняться при условии, что 21 является целым положительным числом. Следовательно, возможные значения Х определяются либо целыми положительными числами, либо полуцелыми положительными числами, т. е.
1=0,1,2,..., (40,12) 44!1 слох4ение дВух момвнтОВ кОличестВА движания ~а5 только целые значения О, 1, ..., т. е. реализуется случай Х.з=йз((1+1), 1=0, 1, 2, ... В этом случае собственные функции оператора углового момента в координатном представлении совпадают со сферическими функциями от полярных углов ф4,„= ! (т) = У4м (О, ф). В последующих главах мы познакомимся с другими операторами моментов, для которых 1 принимает только полуцелые значения, т. е.
реализуется случай (40,13). в 41. Векторное сложение двух моментов количества движения Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, состояние которых определяется соответственно моментами Х(1) и Х(2). Допустим далее, что операторы проекций этих моменгов коммутируют, т. е. (Х4 (1), ХА (2)] = О, 1, й = 1, 2, 3. (41,1) Тогда полная система может находиться в состояниях, в которых одновременно имеют определенное значение квадраты моментов Хз(1)=йз) (1 +1), Хг(2)=йг)' () +1) (41,2) и их проекции на одну из осей координат, которую мы примем за ось га Х,(1) =йтп Х,(2) =йтг. (41,3) Такие состояния опиСываются волновыми функциями 1!Р'~ЬЫ = !!4т4)! 1Еп4з)э (41,4) представляющими произведение собственных функций каждого из операторов в отдельности. При фиксированных 14 и 1з имеется (214+1) (21з+ 1) различных функций (41,4), отличающихся значениями пары чисел т4 и тз.
Определим теперь оператор Х=Х(1) + Х (2). (41,5) Поскольку проекции каждого из операторов правой части (41,5) удовлетворяют перестановочным соотношениям (40,1), то легко убедиться, что тем же перестановочным соотношениям удовлетворяют и проекции оператора (41,5). Будем называть оператор (41,5) оператором полного момента системы. 186 дзищние чАстицы в пОле цент'РАльных сил. [Гл. чг Легко убедиться, что волновые функции (41,4) являются собственными функциями оператора проекции полного момента Х.= Х. (1) + Ха(2)> (41,6) соответствующими собственному значению Хз — йгн — й (гл! + гл2) (41,7) Оператор квадрата полного момента Хе=Ха(1) + Хз(2) + 2Х(1) Х(2) (41,8) коммутнрует с операторами Хя(!) и Хз(2), следовательно, квадрат полного момента может иметь определенное значение одновременно с квадратами моментов каждой из подсистем.
Однако функции (41,4) неявляются собственными функциями оператора (41,8), так как третье слагаемое в (41,8) будет смешивать состояния, отличающиеся по лтг и лтз на единицу. Можно показать, что из функций (41,4) можно образовать такие линейные комбинации, которые будут собственными функциями и оператора Хз. В силу линейности оператора Х, эти линейные комбинации будут одновременно н собственными функциями оператора Хь Таким образам, состояние системы, соответствующее определенным значениям квадрата полного момента, проекции полного момента и квадратам моментов Х1 и Хь можно записать в виде 2 2 !1112)гп) = ~~ (у112лт1лтз~ 1т)1 11глг) ! 12лте). (41,9) м,т, здесь (Цтлг1лгя~рп) — коэффициенты, определяющие вклад различных функций (41,4) в (41,9).
Они называются коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша — Гордина. Фазовые множители у функций (41,9) выбираются так, чтобы коэффициенты векторного сложения были действительны. Коэффициенты векторного сложения определены для целых и полуцелых значений квантовых чисел 12121.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
