А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поэтому система уравнений типа (46,2) распадается на систему независимых уравнений, относящихся в отдельности к каждому из неприводимых пред- ставлений группы Вв При преобразованиях, соответствующих элементам симмет- рии группы Вь обобщенные сферические функции В А и, сле[ довательно, функции (45,5) преобразуются следующим образом: СЕВ,,А (ару) В„А (ару + а) = ( — 1) В„',А (а()у). (46,5) Далее, с„В~,А(аиду) =(-!)[ А В~~„, А (айу).
(46,6) Последнее выражение может быть получено, если -вспомнить определение функции (43,12) и соотношение (43,15). Действи- тельно, ф А(ару)=В А(а, р+а, — у)=е ~~'.~[( А (())деА (л) е = ( — 1)[ "В,[„, А (а, 5, у). Таким же образом получим сьВ~~„А(аиду)=В,иА( — а, 8+а, у)=( — 1)~В~„, А(а(!у). (46,7) Учитывая свойства преобразования (46,5) — (46,7), можно построить из функций (45,8) — (45,10) такие линейные комбина- ции, которые будут преобразовываться по неприводимым пред- ставлениям группы симметрии Вз.
Простейший случай соответ- ствует ! = 1. В этом случае сами функции (45,8) — (45,10) пре- образуются по неприводимым представлениям группы Вх р, (ц=! Вй> — представление Ни Фт(0 ==(! 11) + 1 1 — 1)) — представление В, 1 )г2 фз (!) == (! 11) — ! 1 — 1)) — представление Ем 1 )2 Поскольку все три функции принадлежат различным представ- лениям группы, вращательная энергия трех возможных состоя- ний со спином ! (мы здесь отвлекаемся от вырождения по кван- товому числу т) определяется средними значениями Н. Исполь- зуя значения матричных элементов (46,3) и (46,4), имеем Е, (!) = (10! Н ! 10>) = Г~ ( + Ь), Е (1> = (11 ! Н ! 11) + (11 ! Н ! 1 — 1) = — (а + с), й' Ез(!) =(!1! Н ! П> — (!1! Н ~ ! — !>= —,(5+с>.
ВРАщение твевдого телА. АсимметРичныи ВОлчок 2ов уровень энергии Е,(1) соответствует неприводимому представлению Вь симметрия которого по отношению к осям $, т! одинакова, поэтому энергия выражается формулой, симметричной относительно моментов инерции 12 и $ч. Со значением момента 1= 2 имеется пять стационарных состояний, их волновые функции могут быть записаны следующим образом: ~, (2) ==(!22) — ! 2 — 2)) 1 1' 2 — представление Во Фт(2) ==(!21) — (2 — 1)) 1 )г2 — представление Вм фз (2) — И 21) + ! 2 — ! )) — представление В„ ф4 ь(2) =!20) д, + — '(!22) + !2 — 2)) дз — представление А 1. уравнение второй степени для определения уровней энергии — й (а — Ь) 1Гз 2 — л'(а+ Ь) — Š— й (а — Ь) )'з 2 (46,9) Р— (а+ Ь+ 4с) — Е 2 (46,8) где д~ и йз — коэффициенты.
которые будут определены ниже. Каждому из неприводимых представлений Вь Вм В, соответствует только одна функция, поэтому энергия этих состояний вычисляется непосредственно, если использовать матричные элементы (46,3) и (46,4): 'Ь' Е, (2) = (22 ! Н ! 22) = — (а+ Ь+ 4с) — представление В„ Ь' Ег (2) = — (а+ с+ 4Ь) — представление Вм Ь' Ез (2) = — (с + Ь + 4а) 2 — представление Вм Неприводимому представлению А соответствуют две функции (46,8), отличающиеся значениями коэффициентов д~ и дв Подставляя функцию фвз из (46,8) в уравнение Шредингера, получим систему двух уравнений для определения этих коэффициентов ((20! Н !20) — Е! д, + )l 2 (20! Н ! 22) аз = О, )/2 (20 ! Н ! 22) д, + ((22 ! Н ! 22) —.
Е! д, = О. Используя значения матричнП1х элементов из (46,3) и (46,4), из условия разрешимости полученной системы уравнений находим 210 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ. 73 Решая уравнение (46,9), находим Е4 е(2)=йз((а+Ь+с) -~ $/(а+Ь+с)т — 3(аЬ+ас+Ьс) . (46,10) Из семи состояний, соответствующих 1= 3, только одно состояние относится к неприводимому представлению А. Его функция имеет вид ч~, (3) = — (! 32) — ) 3 — 2)) 1 1' 2 и энергия Е, (3) =2лт(а+ Ь+с).
(46,11) Интересно отметить, что энергия этого состояния равна сумме энергий двух состояний с моментом 1'= 2, относящихся также к неприводимому представлению А, т. е. Е, (3)-= Е, (2)+,Е, (2). Каждому из трех других неприводимых представлений (В„ВН Ва) соответствуют две функции состояний с моментом 1=3. Энергии этих состояний можно найти при решении уравнений 2-й степени. ГЛАВА УП ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ й 47. Теория возмущений в стационарных состояниях с дискретным спектром Точное решение уравнения Шредингера, определяющего энергию стационарных состояний систем;возможно только для некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам (см. гл.
ЬЧ и Ч1). При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений н собственных функций операторов Гамильтона. В последнее время вследствие появления электронных вычислительных машин большое значение приобретают численные методы решения задач квантовой механики. Такие методы излагаются в специальных руководствах. В этой книге мы рассмотрим только аналитические методы приближенного отыскания собственных значений и собственных функций реальных систем, не очень сильно отличающихся от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этом случае приближенные методы решения могут быть сведены к вычислению поправок к точному решению.
Общий метод вычисления таких поправок носит название тедрии возмущений. В этом параграфа мы рассмотрим теорию возмущений для стационарных задач с дискретным спектром энергии. Предположим, что оператор Гамильтона квантовой системы можно разбить на два слагаемых Н=Н,+Р, (47,1) из которых одно — Нз — представляет гамнльтониан идеализированной задачи, допускающей точное решение, а р — некоторая малая 'добавка, которую принято называть оператором воэмуи1ения. Оператором возмущения может быть часть оператора Гамильтона, которая не учитывалась в идеализированной задаче, или потенциальная энергия внешнего воздействия (поля). 'Задачей теории возмущений является отыскание формул, определяющих энергию и волновые функции стационарных состояний через известные значения энергий Е~ и волновых функций ~р„«невозмущенной» системы, описываемой гамильтонианом Нм теОРия Возмушнний 1гл.
тп 212 Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вырождение, т. е. о НЯ»» Е,,%»». (47,2) Пусть далее (Š— Е )а =Лч~~~~ В' „а„, (47,6) где В' = (<р ~ %7)~р ) — матричные элементы оператора возмущения )г'. Для определения поправок к энергии и волновой функции стационарного состояния с квантовым числом 1 положим Е=Е1 +ЛЕР+ Л'Е)" + а = 6 + Ла"~ + Лза<в + ... »»»»»»» и» Подставляя эти ряды в (47,6), находим систему уравнений [Е)' — Е~ + ЛЕ)о+Л'Е)~+ ...]~6, + Лап+ ...]= = Л ~ йГ „~бы+ Ла<'~ + ...]. Полагая и =1 и приравнивая члены, стоящие у одинаковых степеней Л, получаем совокупность уравнений Е] =(Рюь Ес +Е~ ас = Х)Р'ыаь, г» ю п)»в (47,7) Если и ~ 1, то таким же образом находим Е) ~ащ + (Е~ — Е~~ ) а',„' = ~.", Ю, а~,~» (47,8) '»» = Л(г, (47,3) где Л вЂ” малый безразмерный параметр.
Тогда задача отыскания собственных функций и собственных значений оператора (47,1) сводится к решению уравнения (Нд + Л)Р) ф = Еф (47,4) Перейдем от координатного представления к энергетическому, выбрав в качестве базисной системы систему собственных функций ф„оператора невозмущенной задачи. Тогда ф=Ха.ф. (47,5) и уравнение (47,4) сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений О гн СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ й>3 Из (47,7) следует, что в первом приближении энергия системы выражается формулой Е Ео>+ЛЕ>>в Е>+ Л(рн Е>о+ )>и (47 9) Таким образам, поправка к энергии в первом приближении равна среднему значению оператора возмущения )> в состоянии, соответствующем волновой функции ф> нулевого приближения, Используя первое уравнение (47,8), (47,3) и (47,5), находим волновую функцию состояния 1 в первом приближении ф> = ф>+ Лп) '>Р> +,~~ до Ео Ч> .
,л ~> > т Величина Ла<П определяется из условия нормировки функции. Функции ф> нормированы, поэтому из условия нормировки с точностью до Ло следует уравнение а)»+ ам~> =О. Следовательно, а>>» чисто мнимое и так как волновые функции определяются с точностью до фазового множителя, то можно положить а>о =О. Итак, в первом приближении функция определяйтся равенством >в~ Ео — Е (47,10) ,ллл> > т Подставляя далее значение а>» из первого уравнения (47,8) во второе уравнение (47,7), находим поправку к энергии во втором приближении Е>я 'д >>г>лог»> Е>о — е„ Таким образом, энергия во втором приближении выражается формулой Е> = Е~>+ ~"и+ ~~)~~ '", (47,11) 4~' — Ел ллл> Из (47,11) следует, что поправка второго порядка к уровню энергии основного состояния (т.
е. когда Е> < г~) всегда отрио цательна. При практическом применении метода возмущений обычно используют первое приближение для волновых функций и второе приближение для энергий. Однако в некоторых случаях приходится пользоваться и более высокими порядками приближений. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 214 1гл. Уи Указанный выше метод теории возмущений оправдывается только в том случае, если ряд последовательных приближений сходится. Необходимым условием этого является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Таким образом, условие применимости теории возмущений можно записать в виде )Е, ~=~ Ъ", ) << ~Е1 — Ее ~ длЯ любого и Ф 1.
(47,12) Следовательно, условие применимости метода теории возмущений сводится к требованию, чтобы недиагональные матричные элементы оператора возмущения у' были малыми по сравнению с абсолютной величиной разности соответствующих значений невозмущенных энергий. Для иллюстрации использования метода возмущений вычислим в первом приближении изменение энергии электрона в кулоновском поле — ЕЕ21г при увеличении заряда ядра на единицу (() — распад ядра). В этом случае оператор возмущения ее е'в 1 у в г е' р' (47;13) где р — расстояние, измеряемое в атомных единицах. Согласно (47,8), изменение энергии в состоянии (л1) в первом приближе- нии равно среднему значению (47,13) в состоянии п1, т. е. ЛЕ= — ф(1! —,'~ 1).
Среднее значение оператора 1/р, согласно (38,17в), равно Дпз, таким образом, ЬЕ = — —. е'ях еее' * Это значение можно сравнить с точным значением, если мы учтем, что энергия электрона в кулоновском поле определяется формулой (38,15), тогда имеем 8 48. Условия применимости -теории возмущений Как было показано в $47, метод теории возмущений состоит в разбиении оператора Гамильтона физической системы на две части — одна из которых (Не) соответствует упрощенной (не- возмущенной) системе, а вторая рассматривается как возмущение. Если во второй части выделить малый числовой множитель Х, то метод теории возмущений позволяет получить решение в виде ряда по степеням Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
