А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При г- ОО функция должна стремиться к нулю, поэтому пробную функцию можно написать в виде 1гл. ун ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕНИЙ При вычислении первого интеграла в (51,14) имеем 00 О» о -- ~" ( — — ) е з'т/ое а'гог/г.= — ~ ~ —.е з') гоо/г= — (46) '. ГГд 1О Х 1дг о Второй интеграл в (61,14) легко вычисляется: 0 ~ е-М'гй.=(26) '. о Вычислим энергию первого возбужденного состоянич 2з. Пробную функцию выбираем в вице функции, зависящей от двух параметров: а и ч, аг фо,=В (1+ т — )е (61,16) Из условия ортогональности ) фо,ог1о 1$ = 0 находим о — у — (1+ а). ! з Подставляя это значение в (51,16), определяем из условия нор» мировки Во= аао(1 — а+а*) ' Теперь можно вычислить интеграл .~ ~ "о ~ 2 6 2(~~ — ~+1) 1' Из условия минимума Х(со) следует ао = 1/2.
Подставляя это значение в (51,17) и (51,16), находим Г в' -Ъг г Ем = — —, оуо,=(8пао) '(1 — — )е ' . Подставляя эти значения в (51,14), получаем Х (6) — — еоб. Лооо 2и Из условия минимума Х(И определяем вариационный параметр 1)о = 1/а, где а = во/(1оео) — атомная единица длины. Подставляя значение бо в (51,15) и (51,13), находим энергию и волновую 'функцию основного состояния атома 1 1 г1 Ем=Х(бо)= — —, ф„== ехр~ — — ). 2а аао '1 а/ т 62! метод кАнОнических пРеОБРА30ВАнии 227 ~,'Г Кроме рассмотренного выше прямого вариационного метода, при котором пробная функция выбирается в виде функции, зависящей от некоторого числа параметров, нахождение минимума интеграла .
(51,18) при условии ) Ф'Ф 6=1 (51,1Е ) может быть сведено к задаче подбора самого вида волновой функции.!Покажем, что в этом случае нариационный метод эк( вивалентен решению уравнения Шредингера. Пусть бф есть вариация функции ф. Тогда уыовие минимума интегпддд (51,18) сводится к равенству 1й"Нф а+ 1ф'Нбф (5=О.
Используя эрмнговость оператора Н, последнее. равенство мож. но преобразовать к виду ~ бфн"ф (8+ ~ бф'Нф (8 = О. Уравнение (51,19) должно выполняться при всех вариациях Ьф' и Ьф удовлетворяющих условию ~ бфф' а+ ~ бф'ф а = О, (51,20) вытекающему из (51,18а). г Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, можно запйсать уравнеййя" (бг,19)- и-(И,20) -.в аиде- одного-ря-' венства ~ бф(Н вЂ” Е) ф'д$+ ~ бф'(Н вЂ” Е)фд$ ° О (51,21) и считать вариации бф' и бф независимыми. Равенство (51,2!) выполняется при произвольных независимых вариациях бф и бф* при условии, когда ф и ф' удовлетворяют уравнениям Шредингера (Н вЂ” Е) ф =О, (Н' — Е) ф' =О. 8 52.
Метод канонических преобразований Среди приближенных методов вычисления собственных значений операторов в последнее время привлекает все большее внимание метод канонических преобразований, с помощью которого оператор или его главная часть преобразуется к диагональному виду.
<гл. чи твогия Возмущении Пусть, например, требуется определить собственные значения оператора Р(~), Р), являющегося функцией оператора коор. динаты 4 и импульса Д, удовлетворяющих перестановочному со- отношению (), ф)=й. (52,1) С помощью унитарной матрицы 5 заменим операторы ~) н ф но- выми операторами 6=8 45 и Р=Я ФЗ, Я~=Я ~, (52,2) удовлетворяющими тем же перестановочным соотношениям (52,1).
Внд матрицы Я надо выбрать так, чтобы оператор Р(Р, 4) принял диагональный вцд. В матричной форме записи это условие сводится к системе уравнений (пЯ(Р, ОЯгп) =Р„б„, (52,5) тогда Р будут собственными значениями оператора Р. Можно показать, что любые степени ф н 1й преобразуются по тому же закону (52,2). Например, 02= 5'г45ЯФ45 — 51425 и т д. Следовательно, если Р разлагается в ряд по степеням 4 и,б, то Р(О, Р)=5 Р(), ф)5. В связи с этим система уравнений (52,3) преобразуется к виду (и~Я Р(д, с)) Я~гп) =Р„б„„, Х(п~Р(р, )Н ) <Ю~т) =(п~я~гп)Р . илн Метод канонических преобразований особенно удобно применять при нахождении собственных значений гамильтонианов, записанных в представлении чисел заполнения, т, е. выражен. ных через операторы рождения и уничтожения частиц в некоторых одночастичных состояниях.
Полная (частнчная) диагоналнзация гамильтоняана путем канонического преобразования к новым операторам рождения и уничтожения приводит к новым одночастичным (квазиодночастичным) независимым (почги независимым) состояниям. Ниже мы рассмотрим три примера точной днагонализацни га мильтонианов. метод кАнОнических пРВОБРАЕОВАнии 229 1. Диагонализация зрмнтового гамильгоннана Н=,'ЕЕ В'В + Х Е„В'ВВ, а=1 'в Е«В=АВ« (52,4) Хи„,паз=5 В, Хи па«=5,;„ а а проведем каноническое преобразование Ва = Е пааА« Р (52,5) (52,7) к новым операторам, удовлетворяющим перестановочным со- отношениям [Аа, Аа)=ба«, (Аа, Аа) О.
Потребуем, чтобы в результате преобразования (52,7) гамильтониан (52,4) имел диагональный вид относительно новых операторов. Следовательно, должно выполняться равенство Н = Х Е Ви««и«ВА«АР—— ,'~ ЕЕ«А«АР (52 8) аа,«а а Тогда операторы А~ ~и А„будут соответствовать новым, уже не взаимодействующим возбуждениям.
Равенство (52,8) выполняется, если Х 1.,Ви.*аи«В = Еаба . а,В С помощью (52,6) можно преобразовать эту систему уравнений к виду Х(7.„ — Е„ба„) И„В=О. В Из условия нетривиальной разрешимости сисгемы уравнений (52,9) находим уравнение каз — Еб.В1-о, (52,9) Индексы а, р нумеруют одночастичные состояния и пробегают значения 1, 2, ..., Ф, операторы Ва удовлетворяют перестановочным соотношениям [Ва~ ВВ] =баВ, (Ва> ВВ) =О.
(52,5) Первая сумма в (52,4) характеризует систему Ф типов элементарных возбуждений с энергиями Е„. Оператор «« определяет число таких возбуждений. Вторая сумма в (52,4) учитывает взаимодействия между возбуждениями. С помощью магрнцы и„а, удовлетворяющей условиям уни- тарности ТЕОРИЯ ВОЗМУВШНИП [гл. 22! соз <р — зш !р 1 зш !р соз !р/ Значении Е„и параметра !р тогда определяются при решении системы уравнений (Еи Е) сов!р Е!221п!р =О, Ез,зйп!р+ ٠— Е) соз!р=О. Следовательно, 1 ! Е!.
2 — 12 !! + Е22 ~ 2 Каждому значению Е„соответствует !р„, определяемое равен- ством Е,о — ЕР 1й Ч!Р = !! П. Диагонализация гамильтониана вида Н=ОА А+ 5В В+ у[А В + АВ1, (52,10) в котором операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям [А, А [=[В, В 1=1, [А, В[ (А, В)=0. (52,11) Операторы 'Ат и В2 рождают соответственно возбуждения с энергиями 22 и 5, а операторы А и В уничтожают эти возбуждения. Последнее слагаемое в (52,10) характеризует взаимодействие между возбуждениями типа а и р. Проведем каноническое преобразование к операторам рождения рт и уничтожения р! (1 = 1, 2) новых невзаимодействующих возбуждений с помощью соотношений р!=АОЬ!у+В ЕЬ<р, 122=А з)2<р+Вс)!<р (52,12) н эрмитово сопряженных к ним.
Преобразование (52,11) является унитарным при любом значении !р, поэтому новые операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям [рв рт) =б„„[ре ра)=О. (52,13) определяющее спектр энергий ЕР новых невзаимодействующи» возбуждений. Для каждого уровня Е„из (52,9) тогда получим значения и„з. В частном случае, когда в (52,4) входят только два типа операторов (а, 5 = 1, 2), унитарную матрицу преобразования удобно выбрать в виде мвтод кАнонйчнскнх ПРвОБРАБОБАннп 231 Значение ф в (52,12) определим из условия, чтобы оператор (52,10) после преобразования принял вид Н=Ео+ Х Ер',"рн (52,22) Используя (52,1.3) и (52,!4), находим 11А„Н) Е, 1А(.
,(52,15) С другой стороны, этот же коммутатор можно вычислить под- становкой значений (52,10) при учете перестановочных соотно. шений (52,11), тогда (р(, Н)=А(а~6(р — увЬф)+В (усЬф — рзЬ(р). (52,16) Если подставить в (52,15) значение 1А( из (52,12) и сравните результат с' (52,16), то получим систему уравнений (Е, — а) сЬ ф + у БЬ ф = О, у сЬ ф — (Е, + 5) БЬ ф = О. (52,17) Эта система уравнений имеет нетривиальное решение Е( = — ((а — Р) + Йа+ Р)х — 4уз3 ' (52 18) В (52,18) знак перед корнем выбран так, чтобы прн у-+0 энер- гия Е, — а.
Далее, из (52,7) находим !Ьу = — ($(- ( — (((6+т(~-4~'( О. А2,19( т 2т Проведя аналогичное вычисление коммутатора (рг, Нь получим систему уравнений (Ех+ а) БЬ(Р— У сЬ (Р = О, У'БЬ ф+ (Е, — Р) с)( ф = О, из которой следует е.- —,'(ф — (+г(,(-(г:4у~. (62%( Для вычисления энергии Е(( вакуумного состояния системы (т. е.
состояния без новых элементарных возбуждений), надо подста- вить в (52,14) значения (52,!2) н результат приравнять (52,10); тогда получим е — (е,(-а( РФ (г( (-(а Р— — 44ъг'. ((А2(( В частном случае при а=р имеем а — Е, Е, Е,= у'а' — у', О= —, у 2РвЕ( ° 2 (а — Е,)з Е, Ео= Ри — ! (а — Е(1~ — т' ' 232 теОРия Возмушеиии 1гл. \ч! ПБ Каноническое преобразование Боголюбова — Тябликова *). Пусть гамильтониан представляет общую квадратичную форму операторов рождения Ва и уничгожения В„возбуждений Ф типов: ~~ ЕааВаВр + 2 ~~~~ [МазВаВа + МааВ«ВЕ[, (52,23) а,р а,а где Е,О=Е1ки М,а=Ма, а, р=1, 2, ..., Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
