А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В этой главе будут исследованы границы применимости одночастичного описания при изучении движения электронов, мезонов и нуклонов в не очень сильных внешних полях. Будут найдены приближенные выражения для учета релятивистских поправок (с точностью до оз/сз) к нерелятивистскому движению.
Попутно мы познакомимся с рядом новых понятий, связанных э м1 гвлятив. лхвнвниа для частицы с нхлввым спином хзт с внутренними степенями свободы элементарных частиц, такими, как спин частицы и ее зарядовая переменная. Полученные результаты будут применены к исследованию движения электрона в атоме водорода с учетом релятивистских поправок порядка огсз и к исследованию изменений энергетических уровней атомной системы во внешнем электрическом и магнитном полях. й 64. Релятивистское уравнение для'частицы с нулевым спнном Как было указано в $15, уравнение Шредингера (йф=~ — — "9'+ и (х) ~ф (64,1) соответствует нерелятивистской связи между энергией и импульсом частицы, имеющей массу М: Е= — + 11 (х). (64,2) Уравнение (54,1) можно получить формальным путем нз (54,2) с помошью преобразования Š— ~И вЂ”, р- — И7. д дг ' (54,3) Чтобы получить волновое уравнение для движений частицы с энергией, значительно превышающей ее энергию покоя, надо исходить нз релятивистского соотношении между энергией и импульсом.
В случае свободного движения частицы такая связь имеет вид Е~ — = рз -(- Мзсз (54,4) с' (54,5) Это уравнение обычно называется уравнением Клейна — Гордона. Оно было предложено в 1926 г. Клейном 133), Фоком [341 и Гордоном (351. Релятивистская инварнантность соотношения (54,4) проявляется более явно, если ввести четырехмерный вектор импульса, четыре компоненты которого определяются равенством р„= ~р.
р,, рз,1 — ', ~. Згменяя в (54,4) энергию и импульс операторами, согласно (54,3), получаем релятивистское волновое уравнение для свободного движения' ч КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл. Киг Тогда соотношение (54,4) примет вид з ~ р' = — Мтсз. н Переход к операторам с помощью (54,3) запишется в виде д Р -ь)6 = — И вЂ”, дхн ' где х„— (х, у, з, (сг). Используя новые обозначения, можно записать уравнение (54,5) в коварнаитной форме *) (Х)бх + Мзсз) ф О.
(54,5) Если умножить уравнение (54,5) на ф' и уравнение, ему сопряженное, иа ф, а затем вычесть из первого уравнения второе, то найдем уравнение непрерывности д" +г((У,(=0> (54,Л где 2М1 Ь гй ! * дф дф''1 Р= — 'ф* — — ф — ' 2Мсх ( дз дг (54,8) (54,9) В ковариантной записи зги уравнения принимают вид Х "„= д)н Й 1, дф дф''г — «=О, где у = — р~* — — ф — 1. дхн 2МГ ( дх„дх /' и .)н ()» Ь )зэ (ср).
Переход от релятивистского уравнения (54,5) к нерелятивистскому уравнению Шредингера можно осуществить с помощью ч) Форма уравнения называетсн коаариантной, если все члены уравнения имеют одинаковую теизориую размерность (скаляр, вектор и т. д.), т. е. преобразуются одинаково при преобразовании координатных систем. Уравнение (64,6) имеет коварнаитную форму, так как Мзсх и ~ Рт являются н скалярными величинами по отношению к ортогональным преобразованиям (любым поворотам и отражениям) в четырехмерном пространстве Минковского, т.
е. в пространстве, три намерения которого совпадают с тремя измерениями х,хзхз обычного пространства. а четвертое измерение является мнимым и пропорпионально времени: хз (сй Коварнзнтиая форма уравнения по отношению к ортогональным преобразованиям пространства Минковского автоматически обеспечивает инварнантиость следствий, полученных из уравнения, относительно преобразования Лоренца.
й зч ' СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ ОПИНОМ О43 Итак, переход к релятивистскому квантовому уравнению приводит к появлению дополнительных степеней свободы по отношению к нерелятивистскому уравнению. В нерелятивистской теории состояние свободного движения с определенным значением импульса только одно. В релятивистской теории заряженных частиц с нулевым спином в случае свободного движения с определенным импульсом имеются решения, которые можно сопоставить двум возможным значениям заряда частицы.
Следовательно, новая степень свободы связана с электрическим зарядом частицы. Для более наглядного выделения двух степеней свободы удобно переписать уравнение (54,5) для комплексных волновых функций в виде системы двух линейных относительно временных производных уравнений для двух волновых функций ф и Х. Положим ф (Ф+Х)1 зй дг =от~ (Ф Х)1 дф (55,8) тогда легко убедиться, что система уравнений дг 2М (Р+ Х) дх й' (55,9) будет в точности эквивалентна уравнению (54,5). Для упрощения записи функции.Ф и Х можно рассматривать как две компоненты функции Ч", представляемой в виде матрицы «) =(:) (55,10) имеющей один столбец.
Введем далее четыре матрицы ° тз= 0 1 ° г= 01 «) В пешем случае, если частица имеет, кроме трек степеней своболы, связаннык с пространственными перемешениями, дополнительные степени свободы, соответству1ошие дискретным переменным, волновая функция можес быть представлена в виде одностолбцовой матрицы с несколькими компонентами. В случае бесспиновой частицы дополнительная степень свободы связана с заряловой переменной. для зарязкеинык кассии зта персмеинаи принимает два значении' н функция имеет две номпоненты. В $ 61 мы познакомимся с частицами, у козорых дополнисельные степени свободы снязаны не только с заряловой оеремениой, ио н с переменной„ характеризую. Шей две возможные проекции спина частицы. Такие частицы описываются функциями с четырьмя компонентами. [гл.
юп КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 244 удовлетворяющие соотношениям 22=1 т т = — тт =12 в 2 З ~ А д~э где индексы й, 1, сз пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке. Теперь систему уравнений- (55,9) можно записать в виде одного уравнения в гамильтоновой форме ( дз 1) (55, 12) которое мы будем называть уравнением Клейна — Гордона или кратко — уравнением К вЂ” Г. Оператор Гамильтона уравнения (55,12) имеет вид Н1 (Тз+ 122) — + МР~з. Действуя на (55,12) оператором зй — + Нг и учитывая равенство д Н1 =с р + М с, получаем уравнение второго порядка 2 2 2 24 [— дз й' — „+ сзрз+ Мз 4~ Ч= О, др из которого следует, что каждая компонента функции (55,10) удовлетворяет уравнению (54,5).
Подставляя (55,8) в (54,16) и учитывая (55,10), (55,11), находим выражение для плотности электрического заряда р = е (Ф'Ф вЂ” Х'Х) = еЧ2222Ч', (55,14) (55,13) где Чг' = (Ф'. Х') — функция, эрмитово сопряженная к функции (55,10). Таким же образом выражение (54,15) для плотности тока можно преобразовать к виду у= ЕАИ (Ч" тз(тз+ '"'2) ФЧ2 — (Р )тз(тз+ 222) ЧГ). (55,15) Как уже отмечалось выше, из уравнения непрерывности (54,7) следует сохранение с течением времени интеграла ~ рс(т=е ~ Ч" тзЧгс(т> если интегрирование производится по всем значениям переменных функций Чг. При свободном движении одной частицы эта величина может быть нормирована либо к + е, либо к — е в зависимости от знака заряда частицы. Таким образом, условие нормировки функции сводится к равенству Г 1 тзЧ '(т= Г (Ф Ф ХХ)2(т= ~ 1.
т оо> сВОБОднОЯ дВижение чАстицы с нулеВым спином Ела (55,17) (55,21) Таким образом, в нерелятивнстском приближении для положительных заРЯдовых состоЯний Ф~+> >) Хо(<.ь а ДлЯ отРицательных состояний (ро(-> о. Хо( — ). Рассмотрим теперь свободное в объеме 22 движение частицы со спинам О.
Полагая 2« = )' ' ( ) ехр~ — (рх — Вт) ~ и подставляя в (55,12), получаем систему уравнений (В Мс ) Фо = 2М (Фо+ Хо) (В+ МС"-> ХО= — — М (Фо+ Хо).. ~ Эта система имеет отличные от нуля решения при е= ~ Ер, где Ер — — с у'ро+М'с'. В случае, когда В = Е„с функция Ч2«о имеет компоненты Ер+ М«2 Мсо — Ер (Ро<+> = —, ° Хо(+> =,, (55,18) 2 т' Мс2Ер 2)тМсоЕр при этом нормировка функции соответствует равенству Фо (+)Фо (+) Хо (+)Хо (+) = 1.
(55,19) Таким образом, решения, соответствующие е = Ер, определяют движение частицы в положительном «зарядовом состоянии». Такие решения будем называть положительными решениями. Положительные решения соответствуют положительной нормировке в (55,!6). Если е = — Е, то функция 212< ) имеет компоненты Мс2 — Ер Мсо+ Ер При этом Фо(->Фо< > — Хо( >Хо( > — — — 1, и состояние соответствует движению частиц отрицательного заряда. Такие решения будем кратко называть отри«Отельными решениями. Они соответствуют отрицательной нормировке в (55,16). р2 В нерелятивистском приближении Ер = Мс'+ — „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
