А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Взаимодействие частицы нулевого спина с электромагнитным полем Из классической электродинамики известно, что переход от классической функции Гамильтона (энергии, выраженной через импульс) для свободного движения частицы Р )/г)4гсч ) сарг к функции Гамильтона для частицы с зарядом е, движущейся в электромагнитном поле, определяемом потенциалами А„— = (А„Аз, Аз, гАз). (58, Ц можно осуществить преобразованием Е- Š— еАз. Р! «Рн с Ав е Р- Р— — А. с Переход от квантового уравнения для свободного движения (54,6) к квантовому уравнению для движения заряженной частицы можно получить (по аналогии с классической физикой) из (54,6) путем преобразования Рп «Рн АР= — !" д — „, Ан.
е . д е (58,3) (58,2) Таким образом, собственные функции оператора среднего положения частицы не являются б-функциями, а отличны от нуля в области пространства, линейные размеры которого (г 1) порядка комптоновской длины волны частицы й/(Мс) [38). з са1, чдстицд нглввого спина в элвктвомдгннтном пола Таким образом, находим релятивистское волновое уравнение (58,4) или в более подробной записи: —, [(й дс — еАо) аг= ((Р— — А) + Мвсв) вг. ' (58,4а) Функция вр в (58,4) комплексна, так как заряженные частицы описываются только комплексными функциями. Если умножить уравнение (58,4а) слева иа а)* и вычесть из полученного уравнения ему комплексно сопряженное, то снова придем к уравнению непрерывности (54,7); при этом плотность электрического .заряда и тока будет в присутствие электромагнитного поля определяться выражениями всл /, дв) дв)'~ свАо = — ~~ф' — -Ф вЂ” ) — — Ч'1 2Мсв ~ дв, дв ) Мсв 2МГ () в в 'в) Мс (58,6) Из ковариантиой записи уравнения (58,4) следует, что наличие электромагнитных потенциалов не нарушает инвариантности уравнения по отношению к преобразованиям Лоренца.
Как известно, одно и то же электромагнитное поле может быть описано потенциалами, отличающимися друг от друга градиенгныль или калибровочным, преобразованием типа А„= А„+ — О, д дд ° где аг' — произвольная функция. Из равенства мо 1еб (р„— — А„)е "' вг'=е "о ~Є— — А„')вг' следует, что если калибровочное преобразование потенциалов сопровождается унитарным фазовым преобразованием функций р фа), то вид уравнения (58,4) не меняется. Поскольку унитарное преобразование не отражается на физических свойствах системы, то можно утверждать, чго уравнение (58,4) инвариантно относительно калибровочного преобразования потенциалов.
Пользуясь калибровочным преобразованием потенциалов, всегда можно выбрать такие потенциалы, для которых с +ЙчА=О. 1 дАо с М я а, с, давыдов кВАзиРВлятиВистскАя кВАнтоВАВ таоРия !Гл. уит Осуществляя преобразование ЙЯИ ф(г, !)=ф(г, г)е при условиях (58,8) ~й д! ~, 1еАоф!.А.1Мстф1, находим (!й дт — еАо) ф(г. !) аи, — сг о о д . дАот е " ~ М'с' — 2Мс'еАо+ 2Мсо(й — — (ей — о~~ ф. до д! 1 далее, омоо (р — о А) о)(г, !) ' е А ~ро ~~~ + о Ао+ ое !1 А1 Подставляя полученные равенства в (58,4а), получаем, прн условии (58,7), нерелятивистское уравнение Шредингера,описывающее движение частицы без спина в электромагнитном поле: !й —, = ~ — — — Ар+ —,Ао+ еАо) ф.
(58,9) При исследований стационарных состояний движения частицы в электромагнитном поле следует в (58,4а) положить ф(х, !)=ф(х)ехр( — — „!). (58,10) Тогда функция ф(х) будет удовлегворять' уравнению — (е — еАо)'ф(х)=[р' — — Ар+ —,, А'+М'с'~ф(х). (58,11) В стационарных состояниях (58,10) плотность электрического заряда принимает внд о !в,— еАо) Мс' При е = Е) еАо знак плотности заряда соответствует знаку заряда (е) частицы.
Однако в области больших значений потенциальной энергии, когда'е(еАВ знак р противоположен знаку е. Следовательно, в области очень сильных полей одночастичная интерпретация не может быть сохранена. Физический смысл изменения знака р в сильных полях может быть понят только на основе теории, описывающей поведение систем с переменным числом частиц, учитывающей процессы рождения и уничтоже.ния частиц обоих знаков заряда пионов.,В качестве примера использования уравнения (58,!!) рассмотрим движение в кулонов ком поле ядра отрицательно заряженной частицы, имеющей 4 щ НАстица нулеВОГО спинА В электгомАгнитном поля я9 спин, равный нулю. Эта задача возникает при исследовании движения пионов в поде атомных ядер.
Такую систему называют я-мезонныег атомом. Если пренебречь размерами ядра, то Хео ЕАг,= — —, А=О г и уравнение (58,1!) принимает для случая е = Е ) О следующий вид: ~(Е+ се ) А(зсе + йзсзрз1 о]о(х)= О. Переходя к сферическим координатам и рассматривая решения, соответсгвующие определенному значению орбитального момента частицы, могкно написать о]о (Х) = — 1С1 (г) 1 1 (891), ! = О, 1, 2, '... (58,12) При этом радиальная функция 1Г1(г) удовлетворяет уравнению — о — г] ']и 1.1-о. его го о- о'г ] где а = е'! (йс) — так называемая постоянная тонкой структуры. Вводя обозначения 4 (Моео — со) (58,18) зоео и новую переменную р = рг, можно преобразовать последнее уравнение к виду ! — + —— а Л 1!1+ Ц вЂ” гоп о49о Ро — — ] )Г1 =О.
(58,14) 4] где Л= — > О. 2ХаЕ йей (58,!5) Подставляя 1 ггг — — р'+1)у (р)е з' в (58,14), получим уравнение, определяющее функцию яг" (р), ре — ~-+ (2з+ 2 — р) =„+ (Л вЂ” г — 1) йг = О, (58,16) если з(з+1)=1(1+1) — Ятпз. (58,17) Уравнению (58,16) удовлетворяет вырожденная гипергеометрнческая функция (см. мат. дополн. Г) йг (р) = Р ( — Л + з + 1„2з + 2, р).
(58,18) Чтобы функция )т1 убывала при.р- ОО, необходимо, чтобы степенной ряд, изображаемый гипергеометрической фуикцщ1й КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл. члн (58,18), был полиномом конечной степени. Последнее условие выполняется, если Х вЂ” г — 1 = т = О, 1, 2, ..., следовательно, А=э+а+1.
ЕО Хэа2 л- ЬЕл2 = а ~4л т+т'2З (58,24) определяет релятивистские поправки к энергии. Мы видим, что поправка к энергии (58,24) зависит от квантового числа 1, что приводит к снятию вырождения, которое наблюдается в нерелятивистском приближении. Относительная величина расщепления уровней лз и лр выражается формулой Ел — Еле 4Уеае лр ле за Решая уравнение (58,17) относительно г и выбирая корень — — ф+ ~/ (1+ф)' — г; (58,1В) обеспечивающий положительность Х (см. (58,15)), находим 8=т+ 2 + ~/ ~1+ — ) — (Уа)~, т, 1=0, 1, 2, ... (58,20) Из (58,13) и (58,15) получаем, исключая 8, Е = — . (58,21) ~/2+ гта'Х-2 ' Вследствие малости постоянной тонкой структуры (и 1/137) параметр Ха для всех атомов (за исключением очень тяжелых) будет мал по сравнению с единицей.
Подставляя (58,20) в (58,21) и разлагая в ряд по степеням Уа, находим Е=М~ ~1 — 2„2 2л' (т '/ 4)+ '.. ~, (58,22) где л = т'+1+ 1 является главным квантовым числом. Подставляя (58,22) в (58,13), имеем — если Уа 4. 1. 2АМе' (58,23) л лле Первое слагаемое в (58,22) соответствуег энергии покоя частицы. Второе слагаемое Меехеае Мхее' - о = — — = Е„ 2ле 2ьеле л совпадает с энергией движения частицы массы М в кулоновском поле в нерелятивистском приближении (см. $38).
Третий член З м1 члетнпа Нтяввото спина в элвитГОМАГНнтиом полн 2Г1 Следовательно, расщепление увеличивается с ростом Л и уменьшается с ростом главного квантового числа л. При п = 1 имеется только одно значение 1= О, и вырождение отсутствует. При и = 2 наблюдается наибольшее расщепление. Система уровней, соответствующая разным значениям ЬЕ ь при одинаковом и называется тонкой структурой. При данном и «полная ширина тонкой структурью, т. е. расстояние между крайними уровнями (1= а — 1 и1 0), равно В = — „,, а~ ( — ) . (58,24а) Рассмотрим далее поведение волновых функций (58,12) при р- 6.
При 1ФО и малых значениях заряда ядра Ю'сд « 1, а ж 1 и волновые функции (58,12) обращаются в нуль при р- 0 так же, как и волновые функции нерелятивистской теории (3 38). При 1= 0 волновые функции (58,12) сингулярны в начале координат. Однако при малых значениях Уа эта сингулярность очень слабая. Для атомов с большими значениями У эта сингулярность уже значительна, и отличие релятивистских функций от нерелятивистских становится сущесгвенным. Из (58,12) следует, что при малых Ъх наиболее вероятное значение р в состоянии 1з равно 2.
Тогда, учитывая (58,23), находим для наиболее вероятного значения радиуса 2 3' 'и а г = — = в=р ХМе~ М Х' где боровский радиус аж0,5 10-' см, р — масса электрона. Поскольку для п=мезона М ж 270 р„то 2 ° Ю г = см. в х Таким образом, уже для атомов с малыми значениями 2 сравни тельно велика вероятность пребывания и -мезона внутри ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
