Главная » Просмотр файлов » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 44

Файл №1120560 А.С. Давыдов - Квантовая механика (А.С. Давыдов - Квантовая механика) 44 страницаА.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560) страница 442019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Взаимодействие частицы нулевого спина с электромагнитным полем Из классической электродинамики известно, что переход от классической функции Гамильтона (энергии, выраженной через импульс) для свободного движения частицы Р )/г)4гсч ) сарг к функции Гамильтона для частицы с зарядом е, движущейся в электромагнитном поле, определяемом потенциалами А„— = (А„Аз, Аз, гАз). (58, Ц можно осуществить преобразованием Е- Š— еАз. Р! «Рн с Ав е Р- Р— — А. с Переход от квантового уравнения для свободного движения (54,6) к квантовому уравнению для движения заряженной частицы можно получить (по аналогии с классической физикой) из (54,6) путем преобразования Рп «Рн АР= — !" д — „, Ан.

е . д е (58,3) (58,2) Таким образом, собственные функции оператора среднего положения частицы не являются б-функциями, а отличны от нуля в области пространства, линейные размеры которого (г 1) порядка комптоновской длины волны частицы й/(Мс) [38). з са1, чдстицд нглввого спина в элвктвомдгннтном пола Таким образом, находим релятивистское волновое уравнение (58,4) или в более подробной записи: —, [(й дс — еАо) аг= ((Р— — А) + Мвсв) вг. ' (58,4а) Функция вр в (58,4) комплексна, так как заряженные частицы описываются только комплексными функциями. Если умножить уравнение (58,4а) слева иа а)* и вычесть из полученного уравнения ему комплексно сопряженное, то снова придем к уравнению непрерывности (54,7); при этом плотность электрического .заряда и тока будет в присутствие электромагнитного поля определяться выражениями всл /, дв) дв)'~ свАо = — ~~ф' — -Ф вЂ” ) — — Ч'1 2Мсв ~ дв, дв ) Мсв 2МГ () в в 'в) Мс (58,6) Из ковариантиой записи уравнения (58,4) следует, что наличие электромагнитных потенциалов не нарушает инвариантности уравнения по отношению к преобразованиям Лоренца.

Как известно, одно и то же электромагнитное поле может быть описано потенциалами, отличающимися друг от друга градиенгныль или калибровочным, преобразованием типа А„= А„+ — О, д дд ° где аг' — произвольная функция. Из равенства мо 1еб (р„— — А„)е "' вг'=е "о ~Є— — А„')вг' следует, что если калибровочное преобразование потенциалов сопровождается унитарным фазовым преобразованием функций р фа), то вид уравнения (58,4) не меняется. Поскольку унитарное преобразование не отражается на физических свойствах системы, то можно утверждать, чго уравнение (58,4) инвариантно относительно калибровочного преобразования потенциалов.

Пользуясь калибровочным преобразованием потенциалов, всегда можно выбрать такие потенциалы, для которых с +ЙчА=О. 1 дАо с М я а, с, давыдов кВАзиРВлятиВистскАя кВАнтоВАВ таоРия !Гл. уит Осуществляя преобразование ЙЯИ ф(г, !)=ф(г, г)е при условиях (58,8) ~й д! ~, 1еАоф!.А.1Мстф1, находим (!й дт — еАо) ф(г. !) аи, — сг о о д . дАот е " ~ М'с' — 2Мс'еАо+ 2Мсо(й — — (ей — о~~ ф. до д! 1 далее, омоо (р — о А) о)(г, !) ' е А ~ро ~~~ + о Ао+ ое !1 А1 Подставляя полученные равенства в (58,4а), получаем, прн условии (58,7), нерелятивистское уравнение Шредингера,описывающее движение частицы без спина в электромагнитном поле: !й —, = ~ — — — Ар+ —,Ао+ еАо) ф.

(58,9) При исследований стационарных состояний движения частицы в электромагнитном поле следует в (58,4а) положить ф(х, !)=ф(х)ехр( — — „!). (58,10) Тогда функция ф(х) будет удовлегворять' уравнению — (е — еАо)'ф(х)=[р' — — Ар+ —,, А'+М'с'~ф(х). (58,11) В стационарных состояниях (58,10) плотность электрического заряда принимает внд о !в,— еАо) Мс' При е = Е) еАо знак плотности заряда соответствует знаку заряда (е) частицы.

Однако в области больших значений потенциальной энергии, когда'е(еАВ знак р противоположен знаку е. Следовательно, в области очень сильных полей одночастичная интерпретация не может быть сохранена. Физический смысл изменения знака р в сильных полях может быть понят только на основе теории, описывающей поведение систем с переменным числом частиц, учитывающей процессы рождения и уничтоже.ния частиц обоих знаков заряда пионов.,В качестве примера использования уравнения (58,!!) рассмотрим движение в кулонов ком поле ядра отрицательно заряженной частицы, имеющей 4 щ НАстица нулеВОГО спинА В электгомАгнитном поля я9 спин, равный нулю. Эта задача возникает при исследовании движения пионов в поде атомных ядер.

Такую систему называют я-мезонныег атомом. Если пренебречь размерами ядра, то Хео ЕАг,= — —, А=О г и уравнение (58,1!) принимает для случая е = Е ) О следующий вид: ~(Е+ се ) А(зсе + йзсзрз1 о]о(х)= О. Переходя к сферическим координатам и рассматривая решения, соответсгвующие определенному значению орбитального момента частицы, могкно написать о]о (Х) = — 1С1 (г) 1 1 (891), ! = О, 1, 2, '... (58,12) При этом радиальная функция 1Г1(г) удовлетворяет уравнению — о — г] ']и 1.1-о. его го о- о'г ] где а = е'! (йс) — так называемая постоянная тонкой структуры. Вводя обозначения 4 (Моео — со) (58,18) зоео и новую переменную р = рг, можно преобразовать последнее уравнение к виду ! — + —— а Л 1!1+ Ц вЂ” гоп о49о Ро — — ] )Г1 =О.

(58,14) 4] где Л= — > О. 2ХаЕ йей (58,!5) Подставляя 1 ггг — — р'+1)у (р)е з' в (58,14), получим уравнение, определяющее функцию яг" (р), ре — ~-+ (2з+ 2 — р) =„+ (Л вЂ” г — 1) йг = О, (58,16) если з(з+1)=1(1+1) — Ятпз. (58,17) Уравнению (58,16) удовлетворяет вырожденная гипергеометрнческая функция (см. мат. дополн. Г) йг (р) = Р ( — Л + з + 1„2з + 2, р).

(58,18) Чтобы функция )т1 убывала при.р- ОО, необходимо, чтобы степенной ряд, изображаемый гипергеометрической фуикцщ1й КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл. члн (58,18), был полиномом конечной степени. Последнее условие выполняется, если Х вЂ” г — 1 = т = О, 1, 2, ..., следовательно, А=э+а+1.

ЕО Хэа2 л- ЬЕл2 = а ~4л т+т'2З (58,24) определяет релятивистские поправки к энергии. Мы видим, что поправка к энергии (58,24) зависит от квантового числа 1, что приводит к снятию вырождения, которое наблюдается в нерелятивистском приближении. Относительная величина расщепления уровней лз и лр выражается формулой Ел — Еле 4Уеае лр ле за Решая уравнение (58,17) относительно г и выбирая корень — — ф+ ~/ (1+ф)' — г; (58,1В) обеспечивающий положительность Х (см. (58,15)), находим 8=т+ 2 + ~/ ~1+ — ) — (Уа)~, т, 1=0, 1, 2, ... (58,20) Из (58,13) и (58,15) получаем, исключая 8, Е = — . (58,21) ~/2+ гта'Х-2 ' Вследствие малости постоянной тонкой структуры (и 1/137) параметр Ха для всех атомов (за исключением очень тяжелых) будет мал по сравнению с единицей.

Подставляя (58,20) в (58,21) и разлагая в ряд по степеням Уа, находим Е=М~ ~1 — 2„2 2л' (т '/ 4)+ '.. ~, (58,22) где л = т'+1+ 1 является главным квантовым числом. Подставляя (58,22) в (58,13), имеем — если Уа 4. 1. 2АМе' (58,23) л лле Первое слагаемое в (58,22) соответствуег энергии покоя частицы. Второе слагаемое Меехеае Мхее' - о = — — = Е„ 2ле 2ьеле л совпадает с энергией движения частицы массы М в кулоновском поле в нерелятивистском приближении (см. $38).

Третий член З м1 члетнпа Нтяввото спина в элвитГОМАГНнтиом полн 2Г1 Следовательно, расщепление увеличивается с ростом Л и уменьшается с ростом главного квантового числа л. При п = 1 имеется только одно значение 1= О, и вырождение отсутствует. При и = 2 наблюдается наибольшее расщепление. Система уровней, соответствующая разным значениям ЬЕ ь при одинаковом и называется тонкой структурой. При данном и «полная ширина тонкой структурью, т. е. расстояние между крайними уровнями (1= а — 1 и1 0), равно В = — „,, а~ ( — ) . (58,24а) Рассмотрим далее поведение волновых функций (58,12) при р- 6.

При 1ФО и малых значениях заряда ядра Ю'сд « 1, а ж 1 и волновые функции (58,12) обращаются в нуль при р- 0 так же, как и волновые функции нерелятивистской теории (3 38). При 1= 0 волновые функции (58,12) сингулярны в начале координат. Однако при малых значениях Уа эта сингулярность очень слабая. Для атомов с большими значениями У эта сингулярность уже значительна, и отличие релятивистских функций от нерелятивистских становится сущесгвенным. Из (58,12) следует, что при малых Ъх наиболее вероятное значение р в состоянии 1з равно 2.

Тогда, учитывая (58,23), находим для наиболее вероятного значения радиуса 2 3' 'и а г = — = в=р ХМе~ М Х' где боровский радиус аж0,5 10-' см, р — масса электрона. Поскольку для п=мезона М ж 270 р„то 2 ° Ю г = см. в х Таким образом, уже для атомов с малыми значениями 2 сравни тельно велика вероятность пребывания и -мезона внутри ядра.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,47 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее