А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Операторы В„удовлетворяют перестановочным соотношениям [Ва, Ва[=баа» (Ва» Вр)=0. (52,24) Проведем каноническое преобразование А|»= Х(ираВа — Ор«Ва), Р= 1, 2, ..., Н, (52,25) а от операторов В„к новым операторам А„, относительно которых операгор (52,23) имеет вид Н = Ес + „'.1 ЕРАРАр. (52,26) Новые операторы должны удовлетворять перестановочным со- отношениям [Ар, А«1=бр«, (Ае» Аа)='О. (52,27) Эти соотношения выполняются, если элементы матрицы преобразования (52,25) удовлетворяют условиям унитарности Х (Прая«а — Ораота) = брт, ~и~~ (ираоеа — Орааеа) = О. (52,28) С помощью (52,28) легко найти преобразование, обратное к (52,25): Ва = с~~(нраАр+ Ор«АР).
(52,29) р С помощью (52,26) и (52,27) получаем (Ар, Н1=ЕрА„. (52,30) С другой стороны, подставив в левую часть (52,30) значения (52,23) и (52,25), имеем (Ар» Н) = Х [Ва [праЕаа + ОрзМаа[ + Ва [ОРЕЕР« + ОрзМааЦ, ') Н. Н. Во гол гобов, Лекнни но квантовой статистике, Киев, 19Ф9, $11; С. В. Тн бликов, Методы квантовой теории магнетизма, «Науки», 1965, $13.
метод клноничвских пгвои хзовхнии Если сравнить это выражение с (52,30) прн учете (52,25), го по- лучим систему уравнений, определяющих при условиях (52,28) элементы матриц преобразования и н о и энергии Е„новых эле- ментарных возбуждений с~(Е;Де — 1'а) ира = 2~ опаМа, ) в а Х (Евбаа+ Еаа) она = Х пэаМаа. а а (52,3 1) Рассмотренный ранее гамнльтониан (52,4) является частным случаем (52,23) прн М„В = О. В этом случае из (52,31) следует о„а —— О.
Следовательно, Ез = 0 н элементы матрицы преобразования определяются системой уравнений Х(Епб.а — Е„.) и„,=О. а Наконеп„подставив (52,29) в (52,23) и сравнив с (52,26), найдем энергию вакуумного состояния новых невзаимодействующих элементарных возбуждений Ео = ~~'.~ Екоааоаа. (52,32) а,в ГЛАВА УИ! ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ й 53.
Элементарные частицы в квантовой механике В настоящее время известно сравнительно большое число частиц: электроны, протоны, нейтроны, и-мезоны, п-мезоны, К-мазаны и др., которые называются «элементарными частицами», так как на современном этапе -наших знаний нельзя говорить о «структуре» этих частиц. Такие частицы характеризуются определенными значениями массы покоя и могут быть либо нейтральными, либо электрически заряженными (положительно и отрицательно). Абсолютная величина электрического заряда всех устойчивых заряженных частиц одинакова.
Кроме электрического заряда элементарные частицы характеризуются и другими «зарядами». Так,, легкие частицы нейтрино, электроны и р-мезоны (мюоны) имеют лептонный заряд. Протоны, йейтроиы и более тяжелые частицы — гипероны имеют барионный заряд. я-мезоны (пионы), К-мезоны (каоны) н другие более тяжелые мезоны не имеют лептонного и барионного зарядов. Одной из наиболее характерных особенностей элементарных частиц является возможность их рождения, уничтожения и взаимных превращений в результате взаимодействий. Так, фотоны рождаются при изменении характера движения электронов в атомах или протонов в атомных ядрах.
При столкновении нуклонов большой энергии рождаются пионы. Нейтрон, излучая Электрон и аитинейтрино, превращается в протон. С другой стороны, прогоны, входящие в состав атомных ядер, испуская нейтрино и позитрон, могут превращаться в нейтрон. Нейтральный 'пион превращается в два фотона; заряженный пион превращается в нейтрино н мюон. Фотоны в поле ядра могут превратиться в электрон и позитрон и т.
д. Открытие возможностей (в соответствии с законами сохранения энергии, электрическою заряда и некоторых других законов сохранения) рождения, уничтожения и взаимной превращаемости элементарных частиц является одним из наиболее существенных достижений в познании объективных свойств окружающего иас мира и взаимосвязи различных явлений природы. В связи с этим понятие «элементарности» и «изолирован- ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ хзз ности» одних частиц от других становится все более и более неопределенным.
Согласно современным представлениям', взаимодействия между частицами одного типа передаются с помощью частиц другого типа. Так, например, заряженные и нейтральные пионы передают ядерные взаимодействия между нуклонами. Образно говоря, протоны и нейтроны как бы окружены мезонным облаком, через которое и осуществляется взаимодействие между ними. Это мезоиное облако является составной частью протонов и нейтронов и во многом определяет их свойства. С другой стороны, протоны и нейтроны в свою очередь определяют ряд свойств пионов. В связи с этим теряет смысл понятие изолированной частицы того или иного вида. Следовательно, представление о свободном движении частицы может быть только грубой идеализацией действительности. В явлениях, сопровождающихся взаимодействием частиц большой энергии, теряет смысл представление о неизменном числе частиц.
Так, например, быстрый электрон, пролетая в поле ядра, образует фотоны, фотоны в поле ядер создают пары частиц: электрон н позитрон, которые в свою очередь создают фотоны и т. д. Такое лавинообразное нарастание числа частиц наблюдается прн попадании в атмосферу Земли первичных част из космического пространства. й писание явлений, происходящих при больших энергиях, должно базироваться на релятивистских волновых уравнениях, т. е. На уравнениях, инвариантных относительно преобразования Лоренца. Переход от нерелятивнстского описания к релятивистскому связан с необходимостью пересмотра ряда понятий нерелятивистской квантовой теории.
Прежде всего требует изменения понятие координаты отдельной частицы. Нерелятивистская квантовая механика допускает возможность как угодно точной локализации частицы в пространстве и времени. В релятивистской квантовой механике одной частицы невозможна локализация частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше Щ4лтс), где лг — масса покоящейся частицы, так как в прптивном случае а силу соотношения неопределенностей 8 13) частице будет сообщаться энергия рз/(2гп) > 2гпс', которая достаточна для образования пары частиц.
Таким образом', представление об одной частице можно сохранить только при отсутствии внешних воздействий, приводящих к локализации частицы в пространстве„линейные размеры которого меньше комптоновской длины волны (й/(тс)) соответствующей частицы. Для предельно релятивистских частиц — световых квантов (и = О, о = о)— понятие координаты частицы в обычном смысле полностью отсутствует.
Если имеется неопределенность в положении Ьх ~ Ь/(лтс), то неизбежна и неопределенность во времени Ы Ьх/с ) йДгпс'). КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ англ. чш Итак, в релятивистской теории понятие плотности вероятности р(х,у,х,/) положения частицы в определенный момент времени требует существенного пересмотра.
В нерелятивистской теории с со и б/ может быть равно нулю. Вторым фундаментальным понятием, используемым в нерелятивистской теории, является понятие импульса частицы. Неопределенность значения импульса определяется соотношением Ьр Ь/Лх. Поскольку неопределенность скорости частицы в релятивистской теории не может превышать с, то Лх сЫ„где И вЂ” промежуток времени, в течение которого реализуется данное состояние движения. Таким образом, Лр Ь/(Лх) Ь/(сб/) В случае свободного движения частиц (стационарное состояние) Й/ со. Следовательно, Лр = О. Итак, для свободного движения частицы, когда импульс не меняется с течением времени, в состояниях движения, описываемых волновыми пакетами, имеет смысч плотность вероятности определенного значения импульса р(р) в импульсном пространстве.
В связи с этим в релятивистской теории очень удобно использовать импульсное представление. Последовательная релятивистская теория элементарных частиц в последнее время развивается на основе представления о различных взаимодействующих полях, квантами которых являются частицы. Такое рассмотрение позволяет сравнительно просто объяснить процессы рождения, уничтожения и взаимо- превращений частиц при высоких энергиях. Однако теория элементарных частиц сталкивается с большими математическими трудностями, которые в некоторой степени преодолены только в квантовой электродинамике, изучающей взаимодействие электронов с электромагнитным полем.
Теория взаимодействия мезонов с различными мезонами и другими элементарными частицами (гнперонами), а также теория самих элементарных частиц находятся еше в начальной стадии развития. Хотя представление о системах, состоящих из постоянного числа частиц, н является грубой идеализацией (в явлениях, протекающих при больших энергиях), это представление приходится использовать как первый этап в развитии более строгой теории. Такое упрощение задачи неизбежно связано с появлением ряда трудностей, обусловленных искусственным игнорированием неразрывной связи между различными частицами и их взаимной преврашаемостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
