А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е, прн наличии двукратного вырождения. Легко обобщить эти результаты и на случай многократного вырождения. Допустим, что уровень Е! имеет вырождение 1-й кратносги. Тогда в качестве функции нулевого приближения можно взять линейную комбинацию з з01 твогия возмтпщнии пан наличии выл ождвиия 221 уравнений Х(Н з — Е,Ь з)аз=О, т=1, 2, ..., 7. (50,2) з-! Эта система уравнений имеет отличные ог нуля решения при условии равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных ам т. е. Нн — Е, Н,з Н~з * ° . зз тз г зз ° ° ° 0 (50,3) Нзз Нзз Нзз — Ез ° ° ° Раскрывая определитель (50,3), получим уравнение степени 1 относительно неизвестного значения Еь Это уравнение называют вековым, нли секулярным уравнением.
Оно имеет 1 действительных корней. Если все корни уравнения (50,3) различны, то о 1-кратно вырожденный уровень Ез невозмущенной задачи распадается на ) различных уровней Ем, каждому из которых будет соответствовать функция фм — — ~а зф, (50,4) коэффициенты а з которой определяются из системы уравнений (50,2) при подстановке вместо Ез значения Езд. В этом случае говорят, что возмущение г* полностью снимает вырождение.
Если один или несколько корней уравнения (50,3) .являются кратными, то снятие вырождения является неполным. Волновые функции, соответствующие кратным корням уравнения (50,3), определяются уравнениями неоднозначно. Однако их всегда можно выбрать взаимно ортогональными. Волновые функции, относящиеся к разным корням уравнения (50,3), 'взаимно ортогональны.
Таким образом, все недиагонаяьные матричные элементы полного оператора Н, вычисленные с помощью функций (50,4), будут равны нулю, что позволяет использовать эти функции наряду с функциями, соответствующими другим уровням, для отыскания попрапок к уровням Ем в следующих приближениях. Эти поправки могут быть найдены с помощью формулы (47,11) . В главе Ч111, Я 69 и 70, мы применим теорию возмущений для определения изменения энергегических уровней атома при действии на него постоянного внешнего электрического и магнитного поля. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [гл.
\ч! й 51. Применение вариационного метода к приближенным расчетам В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных значений оператора Гамильтона не использует теории возмущений и пе требует знания всех решений более простых уравнений. Вариационный метод вычисления энергии Еч основного состояния системы сводится к использованию неравенства Ез4 ~ ф Й!Рс!5, (51,1) где ф — произвольная функция, удовлетворяющая условию нор.
миров ки ) Ф"ф!$ =1, (51,2) Н вЂ” полный оператор Гамильтона системы. Доказательство неравенства (51,1) легко провести путем перехода к энергетическому представлению. Если мы обозначим полный набор собственных функций оператора Н через !р„, то любую функцию !р можно разложить по системе функций !р„, т. е. (51,3) Используя (51,3) находим ~ Ф'Н!р с(В = ~! п«Р ЕР ~) Ед ~Р ~ а«Г= Ео. «=в если ) !у!у 1в 1. Практическое вычисление энергии основного состояния с помощью выражения (51,4) сводится к выбору «пробной функции», Полученное неравенство совпадает с (51,1). Таким образом, вычисление энергии основного состояния квантовой системы сводится к вычислению минимума интеграла ~ ф'Нфса при варьировании нормированной волновой функции !р.
Следовательно, Ео = мин ~ ф'Нф с(5, (51,4) $6п пРименвние ЕАРНАционного методА содержащей некоторое число неизвестных параметров а, р, ... После вычисления интеграла ) ч!'($; а, (3, ...) Оф($; а, р...,) ае получают выражение Ца, (1, ...), зависящее от этих параметров. Определение искомых значений параметров, вследствие (51,4), сводится к отысканию минимума Х(а, р, ...), т. е. к ре° шению системы уравнений дХ дХ да дй При удачном выборе вида пробной функции, получаемое значение Е = У (а!ь О!ь ...) будет близко к истинному значению Еч даже при сравнительно малом числе использованных параметров.
Волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с функцией фо(Е, а!ь рм ".). Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, или метода Рит~а Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаются уже.при использовании одного параметра. Если обозначить через ф, волновую функцию основного состояния системы, то вычисление энергии первого возбужденного состояния Е! сводится к решению вариационной задачи Е, = ппп ~ ф,Йф! Щ (51,5) при дополнительных условиях ~ фЖ !4=1, ~ ф!фон =О.
(51,6) Доказательство этого утверждения можно провести таким же Образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем, что, в силу условия ортогональиости (51,6), разложение функции !р! по собственным функциям оператора Н .не содержит функции <иь т. е. ЮО Ф! = Х Ььгй„Х ! Ь !' = 1 и-! л=! Вычисление второго возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи Е =т1п ( !Р'Йф !1$ (51,7) теОРия возмущеннй [гл. Тп прн дополнительных условиях .
~ 'О'х~(~=1 ~ фее~ г(~= ~ ф'Фоа$=0. (51,8) оо Лх рого О + хо 21г дх~ 2 При выборе пробной функции учтем, что прн х-о ~со волновая функция должна обращаться в нуль. Далее волновая функция основного состояния не должна иметь узлов. Поэтому по- ложим (51,9) ф (х, а) = А ехр ( — — ахо) .
(51,10) Из условия нормировки функции находим А = (а/п)чь С помощью (51,10) и (51,9) вычисляем интеграл 1(а) = ~ фНФ~Ь= — 1',— + 1 г' Ггоа ВоР1 41 гг а г'' Минимум У(а) соответствует значению ао = 1гго/а, поэтому энер. гия основного состояния Е =Х(ао) = —. а соответсгвующая волновая функция имеет внд фо(х)=ф(х, ао)=(-$;-) ехр(- а ). В данном случае значения энергия н волновой функции, полученные варнацнонным методом, совпадают с точными выражениями, найденными н $ 26.
Вычисление третьего возбужденного уровня сводится к реше. нию вариационной задачи при четырех дополнительных условиях. Следовательно, прн вычислении высоких возбужденных состояний варнационная задача значительно усложняется. В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу свойств симметрии. Например, при исследовании состояний дви жения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам, обеспечивается ортогональностью соответствующих сферических функций. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применео ние вариацнонного метода к вычислению собственных значений н собственных функций оператора Гамильтона.
Вычислим вариационным методом энергию основного состояния одномерного гармонического осциллятора, т. е. системы, имеющей оператор Гамильтона пРименение ВАРНАциоиного метОдА $ зп Для вычисления энергии и волновой функции первого возбужденного состояния надо взять пробную функцию ф, ортогональную к фо. Простейшей функцией, удовлетворяющей этому условию, будет $1(х, р) =Вхехр~ — — 'рх'). (51,10а) Из условия нормировки находим вз = —. 2Р Л )я Далее вычислим интеграл Из условия минимума /1(р) определяем значение варнационного параметра ро = рв/Ь. Подсгавляя это значение в (51,11), находим энергию первого возбужденного состояния осциллятора 3 Е~ — — Х, (Я = -6в.
2 Волновая функция этого состояния, согласно (51,10а), имеет вид ф(к)=(=) Н кехр( — ~ ). В качестве следующего примера вычислим энергию и волновую функцию основного состояния атома водорода. Оператор Гамильтона в этом случае имеет вид О = — — Ч' — — '. (51,12) 2и ф = А ехр ( — бг). (51,13) Из условия нормировки имеем А' = р'/я. Используя (51,12) и (51,13), находим Ю 00 /(р) = — ) е "Юзе "'г'дг — 4(1зе' е ~~гй'. (51,14) г и а В центрально-симмегричном поле имеет определенное значение угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть только от г н не зависит от углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
