А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 35
Текст из файла (страница 35)
вращения твердого тела. Онпз!ЦЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ динатных осей $т1~ относительно лабораторной системы хуе, то повороты твердого тела тоже описываются функциями В»(пру). ! Пусть Х.— оператор момента количества движения твердого тела, действующий на углы Эйлера. Проекции оператора Е на координатные оси хуе удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям (44, 1) Результат действия оператора Х. на В-функции можно вычислить, зная собственные значения оператора Х вЂ” момента количества движения одной частицы в состояниях, определяемых функциями ~Хгл). Для этого введем вспомогательную частицу, не связанную с твердым телом.
Оператор момента Х действует только на угловые' координаты' частицы 8'!р', определяемые относительно системы осей $Ч~, закрепленных с телом. Пусть функции (О'!р'!Х!и) являются собственными функциями Хз и Хс То же движение частицы описывается относительно системй координатных осей хуе с помощью функций (Оф1!и). Связь между этими функциями, согласно (43,9), определяется В-функцией, т. е. (О!р Цт) = Х В' ь(аду) (Яр')Я. (44,2) Повернем систему координатных осей, связанных с телом, вокруг единичного вектора и на бесконечно малый угол б. При таком повороте, согласно (18,11), волновые функции В преобразуются по закону ми— (В~,к(ИЯ) =е "В'ь = (1 — Юп —,)В~мы (44,3) Волновые функции (О!р))ги), определенные относительно неподвижных осей хуг, при этом не меняются, т.
е. (Огр ! Х!и)' = (8<р) Х!и). (44,4) Функции (О'<р'~Х!и) определены относительно системы осей $т1Д, поэтому при повороте их изменение определяется с помощью оператора (43,3), т. е. ь (8<р'!Х/г)'=е " (Оср' ~уй) = (1+ !ХИ вЂ” ) (8<у'!ХА). (445) После поворота соотношение (44,2) преобразуется к виду (8<р!Хгп)'=~(В~ма(айу)) (О !р !Хйх. 200 движение чАстицы В пОле центРАльных сил 1Гл. Ю1 Подставляя в это равенство (44,3) — (44.5), после простых преобразований получаем равенство Х!Хй)( Х)Р' ='.РР-' ( Х) 111й). (44,6) направлен вдоль оси ь, то (44,6) принимает вид Х1®ХсР'А=',р,Р1АЫ я.
(44,7) Це) является собственной функцией оператора Если вектор п Учитывая, что Хот. е, Х1) Хе) =лХ1 '1ХЕ), „ Х~ Хй)(Х.,Р1 А — ййР'А)-О. имеем КсР~„А =Х1Х1Р1А. (44,8) Вместо Х,А, Х,ч, Хм Х„удобнее рассмотреть их линейные комбинации Ф 1 1 Х, = Х+ = — (Хе — ХХ„), Х~ — Х.р = — — (Хе+ ХХЧ), г'2 э + )/ "2 1 1 Х-1==(Х1 — ХХЧ) 11= — — (Х-в+' ч) 1/'2 ' 1~2 Тогда из (44,6) получаем Х!Хй) Х.,Р1А=ХР„',Х,)Хй). (44,11) (44,9) Используя (44,9) н (40,22), можно преобразовать правую часть этого равенства ~~)~~ ] )я)К1Р1 А = — й~~)~~ Рйь [ (1 ~) (1+ ~+ 1) 7~! Х, 7г + 1).
Заменяя в правой части индекс суммирования Й на й'= 2+1, получим после простых преобразований р р~ р1Р+ЕР-~ ~ РРр| . Р4 в 2 Э Таким же образом можно получить Х,,Р1 А Х1 ((1 )(1+ + ) ) Р1 (44,13 2 Это равенство должно выполняться для любых функций ))й), следовательно, ОВОВЩЕНИЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2О) Операторы !. ~, !.з=!.с, ~, называют сферическими проекцияии оператора !.
на координатные оси $т)ь. Пользуясь (44,10), находим Ее= — '(Е, — !,,), Е = — '(Е, + !".,). (44,14) 'г" 2 ч 'г' 2 Используя (44,12), (44,13) и (44,14), легко определить правила действия операторов !.ь н !.„на обобщенные сферические функции О ы ! Действуя на (44,12) и (44,13) операторами Х, и Е„соответственно получаем р!  — А)В+а+1) 1ЕР! 2 Е. 0' = — 1!+ И! + ) дзР! (4416) 2 Вычитая из (44,15) равенство (44,16), находим (!.и Ь Д Рта = Й АР~А. Учитывая (44,8), из последнего равенства находим перестановочнос соотношение (Ео !.,)=Щ. (44,17) Подставляя в (44,17) значения (44,10), находим перестановочные соотношения (!".ы Е.ч) = — !М.с, ..., отличающиеся знаком от перестановочных соотношений (44,1) между проекциями !.
на координатные оси хуе. Складывая (44,15) и (44,16), получаем К,!.,+ Г,Гд0' = — (!()+ Ц вЂ” й'1 Р~ . (44,18) Из (44,10) следует Е,Е, +Е Д= — (!ч+!3. Поэтому, используя (44,8) и (44,18), имеем Х~Р~ ь = (Я + !.ч + !.с~) 0~ ь = й~! (! + 1) Р~~д. (44, 19) Для вывода правил действия проекций Ь„, !.з, !., оператора Х на обобщенные сферические функции предположим, что вспомогательная частица, которую мы вводили для получения равенства (44,6), жестко закреплена с телом; тогда оператор ! будет действовать только на функции (Оу)!пг).
В этом случае "Ри вращении системы осей $т)Ь вокруг единичного вектора и 202 движение частицы в пола цвнтехльных сил [гл. тч на бесконечно малый угол б функции Р по-прежнему преобразуются по правилу (44„3). Однако (О'р'! 1т> =<О ч'1хт>, (44,20) (Оф Хт>' "- ~1 — |п| — „) (Оф ~ йл>, (44,21) Знак минус в (44,21) связан с тем, что вращение тела на угол б зквивалснтно повороту системы координатных осей хух на угол — б.
Подставляя (44,3), (44,20) и (44,21) в равенство (О<р~ Хт>'= ~,(Р~ ь(абу)) (О'<р') 1А>', получаем (пХ) (Оюр~ Хт> = ~х~~~ (О'ср')ХА>(п|) Р„',и (44,22) Если и совпадает с осью г и Х,(Хгз>=Ьп)1гп>, то из (44,22) следует Х! 1А>|.,Р! ь= ать!т>. Подставляя в правую часть полученного равенства значение (44,2), мы убедимся, что оно выполняется при условии Х-,Р~ ь = йтР~ к.
(44,23) Образуем далее операторы Х ~==(Մ— ~Ха). Х)= — =(Х,+Й„), (44,24) | — 1 = =(|х — Йх), Хч = — =(Х,~+ 1|,„) ° (44,25) 2 " 12 Учитывая (40,7) и (40,22), имеем Х',~1 >=- й[" 1(' '"+')~")Х 1). (4420> Подставляя (44,2б) в (44,22), находим, учитывая (44,2), Х~|й>"* -' ='~" ""'"Г~Х "-'>= г| ~~ Р( лГ (/ ~ м)11 ~ м+ 1) ~ЬР1 Следовательно. ововщвнныв свегичвскиа ээнкции Формулы (44,8), (44,19) и (44,23) указывают, что обобщенные сферические функции в)~в являются собственными функциями операторов Ев, Е, и Ес и соответствуют собственным значениям квадрата момента Ьв1(1+1), проекции момента влв на ось г лабораторной системы координат и проекции момента лл на ось | вращающейся системы координат. В координатном представлении проекции оператора Е на осн хуг выражаются через углы Эйлера при помощи формул ' д д сова дт — !л ( — з!па — — с!и рсоа а — + —.
дй да Мп Р дт1' — Й(сова — — с!8~з(па — + —,р д ). (44,28) —  —. Е = в При этом оператор квадрата момента (44,29) (1й1Ео1!й) = ((й! Ес)Я = йй (44 32) + ! ~! ) (! ! в ' + ) ~ 2 1 (44,33) Проекции оператора момента Е на ось ь имеет вид д Ев = — 1л —. дт ' Уравнениями (44,8), (44,19) н (44,23) собственные функции операторов Ев, Е, и Ес определяются с точностью до постоянного множителя !~та)=ф в(ару)=!у!Е!~в(ару). (44,30) Множитель !у~ вычисляется из условия нормировки волновой функции (44,30) (!ото 1)тй)— = ) вг ввЬ чгз1п)141 с!ас!у=6!гб бвв . (44,31) Подставляя (44,30) в (44,31) и используя (43,23), находим Используя (44,8), (44,12) и (44,13), легко вычислить матричные элементы (при пв' = пв) от сферических проекций оператора момента Е: ЯИ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. Ю С помощью матричных элементов (44,33) и соотношений (44,14) находим матричные элементы декартовых проекций моментов (1, й+ П1.1~15>=(15(Е1~1, й+ 1>=ай) — й)((+5+ Ц.
(44,34) + ) 2 (44,35) Пользуясь значениями матричных элементов (44,32), (44,34) и (44,35), легко определить матричные элементы квадратов операторов: ()й~Е',~15>= й'К ((йЯ1~ 'й>=((йГ((й>= — ", И((+ ) — й'), (1, 5+ 2(1.,'~15>= — (), 5+ 2(Е'„(15>= = — 1/(( — й) Π— й — 1) (1 + й + 1) Ц+ й + 2). (44,38) (44,36) (44,37) й 45. Вращение твердого тела. Симметричный волчок Понятие твердого тела, т.
е. системы, внутреннее состояние которой (форма, равновесные положения частиц и т. д.) не меняется, является идеализацией, отражающей свойства некоторых систем вести себя как твердое тело при малых внешних возмущениях. Эта возможность есть проявление квантовых свойств систем: если энергия внешнего воздействия меньше энергии возбуждения первого внутреннего состояния системы, то система будет находиться в основном состоянии. К таким системам относятся, например, молекулы и атомные ядра.
В связи с этим возникает задача изучения движения идеализированных систем — твердых тел. Движение гвердого тела можно подразделить на поступательное движение тела как единого целого и вращение тела вокруг центра масс. В этом н следующем параграфах мы рассмотрим вращение твердого тела вокруг закрепленной точки, совпадающей с центром масс. Закрепим систему координатных осей $Т1~ с твердым телом, тогда ориентация тела будет определяться тремя углами Эйлера ару, характеризующими положение системы $т~~ относительно лабораторной системы хуе. Если координатные оси направлены вдоль главных осей инерции твердого тела, то классическая энергия вращения твердого тела выражается формулой т Щ ВРАЩенИЕ тВЕРдого ТЕЛА. СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 2ОЗ где 1ы 1ч, 1с — главные моменты инерции твердого тела; 1.В, 1.„, 1.1 — проекции момента~ количества движения на оси фт1~.
Оператор Гамильтона получается из (45,1) заменой классических моментов соответствующими операторами Х~, 1.ч, Е~. Эти операторы должны совпадать с рассмотренными в предыдущем параграфе операторами 1.ы 1.„, 1.т, характеризующими поворот системы $т1~ относительно хуе. Таким образом, вычисление энергии вращающегося твердого тела сводится к определению собственных значений оператора Н = —,' (аЦ+ Ь1.ч+ сЕ,'). (45,2) -! -1 -1 где а=11, Ь=1,, и с=11, а операторы 14, 1,ч, 1С удовлетворяют перестановочным соотношениям (1,1, Кч]= — 15ХС, (45,3) Твердое тело с тремя одинаковыми моментами инерции а=Ь= =с=111 называют шаровым волчком. В этом случае оператор Гамильтона (45,2) имеет простой вид т2 Н =*в 2! (45,3а) Следовательно, собственные функции оператора энергии совпа- дают с собственными функциями оператора квадрата момента Х~, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Соб- ственные значения оператора Гамильтона равны Е1= . ) О 1, ЬТ1(1+ 1) (45,4) Каждому собственному значению (45,4) соответствует (21+ 1)А собственных функций ф"А (а" т) Р в~' ~'"ь (а('у)' / 21+1 1 где Ь,Та=О, +1,..., й1; Н 2 (аХ + (с — а) Я. (45,6) Твердое тело с одной осью симметрии более чем второго по'- рядка имеет два одинаковых момента инерции. Такое тело на- зывают симметричным волчком.
Пусть, например, а=Ь час, тогда (45,2) можно переписать в виде врашвиив тварного твлм аснммвтрнчиьгн ~олчок пот шие полному моменту с квантовым числом 1, можно искать в виде линейной комбинации функций (45,5) фг= Х аа! Ю. (46,1) Подставляя это выражение в уравнение Шредингера (Н вЂ” Е)ф;=О с оператором (45,2), получим систему 21+1 уравнений ~ (()й~ Н ~ 1й') — Ебее.) дм = О. (46,2) Условие разрешимости этой системы сводится к уравнению 21+1-й степени относительно Е. Корни полученного уравнения и определяют уровни энергии асимметричного волчка, соответствующего моменту 1'. Используя значения матричных элементов (44,36) — (44,38), легко вычислить матричные элементы оператора (45,2), полученные с помощью волновых функций (45,5) (уЦ Н Ци) = 4 ((а+ Ь) [1 (1+ 1) — ле) + 2сй'), (46,3) ()и+ 2~ Н ~1й)=(1/г~ Н ЦА+ 2) = Лг = (а — В) — )Г(1 — А) (1 — й — 1) О+ А + 1) (1 + й + 2) .
(46,4) Из (46,4) следует, что матричные элементы оператора В связывают только состояния со значениями й, отличающимися на 2. Поэтому линейная комбинация (46,1) распадается на Таблица 9 две независимые части: од- Харахтеры иеприведимых на содержит только функ- препставлеиий группы Эе ции Цй) с четными значениями Й, другая — только с нечетными значениями й. Дальнейшее упрощение вычислений возможно при учете свойств симметрии системы.
При этом, кроме упрощения решения, мы получим возможность класси-. фикации вращательных состояний по неприводимым представлениям соответствующей группы симметрии (э 19). Оператор Гамильтона (45,2) и перестановочные соотношения (45,3) остаются иивариантными при преобразованиях группы симметрии Вв которая содержит (табл. 9), кроме тождественного элемента, три операции поворотов на и вокруг трех декартовых осей координат.' При каждом таком повороте меняют знак два из трех операторов ~".ь, Е„, Ер 208 двгокеиие чАстицы В поле цеитРАльиых сил [Гл. Т[ Матричные элементы оператора (45,2),.образованные с по- мощью функций, относящихся к разным неприводимым пред- ставлениям группы Вм равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
