А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 34
Текст из файла (страница 34)
гг г г В \ г Рас. 9. Углы Эйлера. Пусть при вращении координатных осей координаты точки преобразуются по закону г-+р'=йг, (43,1) где д — линейный оператор. Новая функция, зависящая от новых координат, должна иметь в данной точке такое же значение, как и старая функция от старых координат, т. е. ф'(г') = ф(г). 3аменяя в правой части этого равенства г через г с помощью обратного преобразования к (43,1), находим ф'(г') =ф(а 'г').
Следовательно, закон преобразования функций прн преобразовании координат (43,!) определяется равенством )1хф (г') = ф' (г') = ф (д '«') = ф (г). (43,2) Сравнивая (43,2) с преобразованием (18,4), мы убедимся, что преобразование функций при преобразовании координат, осуществляемом вращением координатных осей и вращением тела, происходят по одинаковому правилу. Следует, однако, иметь В виду, что если д — оператор, соответствующий преобразованию координат при вращении координатных осей, а 5 — оператор, соответствующий преобразованию координат при вращении тела, то эти операторы являются взаимно обратными. Например, поворот координатных осей вокруг единичного вектора и на угол «р . Эквивалентен повороту тела на угол — ~р'.
При последнем 194 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ. ЪЧ повороте, согласно $18, преобразование функций осуществляется оператором (18,11), если положить в нем а = — у. Таким образом, изменение функции при повороте координатных осей на угол ~р вокруг и осуществляется оператором й", = ехр ~ 1ХЛ а '(. (43,3) где Х вЂ” оператор момента количества движения.
Оператор (43,3) преобразует вид волновой функции. Он определяется углом поворота р н проейцией оператора момента на ось поворота. Следовательно, прн повороте координатных осей на три угла Эйлера волновые функции подвергаются трем последовательным преобразованиям с помощью операторов: К вЂ” оператор поворота на угол а вокруг оси г; 1»З — оператор поворота вокруг нового положения оси у на угол р и й„ вЂ” оператор поворота на угол у вокруг нового положения оси е.
Итак, оператор, преобразующий волновые функции при повороте системы координатных осей на три угла Эйлера, должен иметь вид В( () у)=В.*Вй'В: (43,4) где а а .- » 1а =е * ", йа=е "", В»=е*" '. (43,5) Обратное преобразование к (43,5) осуществляется поворотами (в обратном порядке) на углы — у, — р, — а. Следовательно, обратное преобразование определяется оператором 11 '(ару) й:,Р,"рК*» = Я (ару). (43,6) Операторы (43,4) и (43,6) коммутнруют с оператором 4"1, поэтому при действии этих операторов на функции 11т), являющиеся собственными функциями Р, они преобразуют их в линейные комбинации функций 11т) с тем же значением 1, но с разными значениями т, Следовательно, 11(ару) ~ 1т) = Х! 1т) (1т'! 11(ару) Цт). (43 7) Коэффициенты преобразования '(43,7) являются матричными элементами матрицы конечного вращения в 1-представлении.
Эти матричные элементы являются функциями углов Эйлера. Их обычно называют функциями Вигнера, обоби(енными сферическими функциями, или О-функциями, и вводят обозначение 0~щ;(ару)— = ((т'1й(ару) ((т). (43,8) При повороте координатных осей координаты фиксированной точки гй»р преобразуются в координаты гй'~р'.
В равенстве взв1 ПОВОВОХЗОВХНИН ЕГНКЦИН,ПВИ ВГХЩЕНИЯХ КОООД. ОСНИ 1ВХ (43,7) функции ~ ут) являются функциями углов в повернутой системе координат, что можно записать в явном виде с помощью выражений (О'~р'(ует) и (О'~р')ут'). На основании (432) имеем Уу (ару) (О'ср' ! ут) = (Овр ~ ут). Подставляя это значение и (43,8) в (43,7), находим окончательно (Ор1ут) = ~~Р1Р~ в(ару) (О'вр' ~ УУв).
(43,9) Легко убедиться, что матрица конечного вращения с матричными элементами (43,8) является унитарной матрицей, т. е. (Ру)'Р1=1, или (Ру)'=(Ру) '. В более подробном виде унитарность Р-функции занишется так: Х Р увР„', =,.в,Рву Рв =б ;(43,10) Пользуясь (43,10), находим обратное преобразование к преобра- зованию (43,9) где в(~~в (р) = Ру в (Орб) = (уй ! е " " ~ ут) — действительные матричные элементы. Матрица конечного вращения для у = 1 имеет вид + В 1Р— 111 1' 2 (43,13) 2 в1и О 1' 2 1 — сов Р 2 з1и Р У2 1+сов(1 су (р)=(су в(р))= соз р (43,14) з1и Р )Гя (О'вр'!уй) =~(О~р !ут) Р 1ы .
(43,11) если функции (О~раут) = Фу (Оср) представить в виде одно- столбцовой матрицы Ф;(О, <р) (Фу ) с 2у+ 1 строками, различающимися значениями т, то преобразования (43,9) и (43,11) можно записать в матричном виде Ф.,(Ор)=Р'Ф,(О р), Ф,(О'р')=(Ру)'Ф,(Ор). Учитывая, что функции Цт) являются собственными функциями операторов уь и принимая во внимание определение (43,8), можно написать явное выражение матрицы конечного вращения Р1 через эйлеровские углы а, у) и у Ру в (ару) = е™в(„'в (р) е' т, (43,12) 196 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 1ГЛ, 71 Матрицу конечного вращения 11„Аф) для /= 1/1 можно записать 'Ь в виде соз — шп— Р . Р ЫА ф) =(с(ВА ф)) = '+ .
р ~ ° (43,14а) — з)п — соз— 2 2 Два знака в (43,14а) ставятся в связи с тем, что (с(,'((А ф)) = — (с(„'АА ф+ 2П)). Далее мы увидим, что все матрицы Ф(р) могут быть получены из матрицы с(ь н коэффициентов векторного сложения. Выражение (43,14а) будет выведено в 4 61. Матрица Ф(()) действительна и унитарна, следовательно, она является ортогональной матрицей Ж.е)')=(М.ф)) '=Ы.(-Ю Отметим некоторые свойства матричных элементов 1(~ьф): АСАФ)=( — 1)' 4 Ф)-( — 1)' 4, ( — 6)=( — 1)' 1' Аф). Наконец, отметим еще одно соотношение для частного случая, когда р и и ! — целое: (1.А(п)=( — 1)' Абь, т. (43,15) Из приведенных выше выражений и (43,12), в частности, следует Р' А(аРТ) =( — 1)" и Р 1 А(ору). (43.16) Если либо Е1, либо й равны нулю, то матричные элементы Р~А(ару) при целых значениях 1=1 сводятся к сферическим функциям (43,17) В частности, Рам (0(30) = Р1 (соз ()).
Соотношения (43,17) и позволяют назвать матричные элементы матрицы конечного вращения обобщенными сферическими функ- 1(иял1и 1-порядка. Для упрощения записи введем сокращенное обозначение совокупности трех углов Эйлера б ~ю(а, (), у). Если поворот 0 = з 4»1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИ ВРАЩЕНИЯХ КООРД. ОСЕЙ 127 — б»6! является результатом двух последовательных поворотов вначале дь а затем д», то имеет место равенство '»' Р' А (0») О!» (0!) = Р' ° (б»8!), которое указывает, что матрицы Р А образуют иредставленне 1 трехмерной группы вращения. Представления с целым значением 1 = ! являются однозначными.
Представления с полуцелыми значениями 1 являются двухзначными: каждому значению1 соответствует два матричных элемента, отличающихся знаком (см., например, случай (43,14а)). При 1=1 и т = т'= 0 из (43,18) следует теорема сложения сферических функций: „~~ 1 !»» (ОЧ4) у!4» (8 !р ) 4 р! (соз гз)» (43,18) где соз гэ = соз 8 соз 8'+ з)п 8 з(п 8' соз (»р — »р'). В различных приложениях приходится вычислять произведения от нескольких обобщенных сферических функций разного порядка. Такие произведения всегда можно выразить с помощью коэффициентов векторного сложения через линейную комбинацию самих же обобщенных сферических функций, если использовать равенство !%+у* Р< м(б) Рь (0) ~ (1,1 т,тД)т)0! (0)ЯДй '11й). (43,19) 1-414 Ь! Из свойств коэффициентов векторного сложения (см. 9 41) следует, что в' (43,19) т = и! + т» и й = /г! + Йь Используя свойство ортогональности коэффициентов векторного сложения ($41), можно обратить равенство (43,19) 0~~ (б) = Х (1!1»т»т» ~ 1т) Р~ (д) Р~ (0)(141»й»й, ~ 1й) (43,20) ~1 ! Формула (43,20) позволяет получать обобщенные сферические функции более высокого порядка нз функций более низкого порядка„в частности из РАА.
Например, используя (43,14а), можно, зная матричные элементы 0'~А(о()у) =е'~4(Ф1*»йе' ", ! - вычислить матричные элвменты 0 А(пбу). Для иллюстрации вычислим матричный элемент Рн, Используя (43,20) и значение ! 1111 — — — 2111)=1 имеем 2222 ) Рп —— ~( — — — — 111) (0»1у)з=е соз — е =е е .
! ! 1 1 1 1 ' !» З 4п » 11 »т »а 1 +.ссай 4т 12222 ) 2 198 движвниа частицы в поля цантозльных сил [гл, и В физических приложениях часто приходится вычислять интегралы от произведений обобщенных сферических функций. Покажем, как они вычисляются. Введем сокращенное обозначение ' ~ оЮ... = ~ з(п11 огр ~ На ) о(у .. о о о (43,21) й 44*. Обобщенные сферические функции как собственные функции оператора момента Рассмотренные в предыдущем параграфе обобщенные сферические функции В~о(пру) описывают конечные вращения системы координат Щ на углы Эйлера относительно лабораторной системы координат хуз. Закрепим с системой координатных осей вт)ь некоторое твердое тело. Тогда положение твердого тела относительно системы координатных осей хуа будет характеризоваться тремя углами Эйлера ох, 1) и у. Поскольку обобщенные сферические функции В,ооописывают конечные вращения коор- Отметим прежде всего, что ~ 0',(6) о(6= ~ о('о(р)з(про(р )ге'"оо(а ~еоо'о(у= 3п'быб,бо,.
(43,22) Используя этот результат и формулу (43,19), можно вычислить интеграл пт,(б)рг,м(б)г(о=1( 1)'- И! П!;,,ай= зпо = — Ьп б бом. (43 23) 21+ 1 Используя (43,19) и (43,23), можно далее вычислить интеграл Омх (д) Ооон (б) Ооой (б) ~Ж вЂ” У1(огл!гпо ( УМ) (В(ой!Йо ~ И) (43,24) В следующих параграфах мы убедимся, что обобщенные сферические функции являются не тольао неприводимыми представлениями трехмерной группы вращения, позволяющими преобразовывать собственные функции операторов моментов количества движения от одной системы координат к другой, повернутой относительно первой, ио также являются функциями, играющими большую роль при описании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
