А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(32,17) Найдем разложение (32,17) по собственным функциям стационарных состояний осциллятора ф„(х) $.ог (х) = Х Аи р~ (х), (32,18) е которое следует из тождества Вейля *) [19] — !А В1 1 ехр(А+ В)=е а ' ехрА ° ехрВ, справедливого для любых операторов, удовлетворяющих равен- ствам [А, [А, В]] =[В, [А, ВП=О. Легко убедиться, что (32,23) совпадает с найденным ранее (32,18) выражением функции когерентного состояния, если й =РР'.
(32,25) Вычисление средних значений в когерентных состояниях (32,21) ет любых операторов, представленных в виде упорядоченных полиномов операторов ат и а (операторы рождения должны стоять слева от операторов уничтожения), сводится к простой замене оператора а на р и оператора ат на [)*. Например, ([).[~]~)=ф' —," [й]ат+ ]й=~à —,'„([)" +~). (] ]рх[[)= ~ГДЕ]"- Ю= ~Г-'7-а'-[). (~ г+ 2)' ') Простое доказательство тождества Веяла предложил Глаубер. Пусть А и  — операторы, удовлетворяющие условию [А, [А, В]] = [В, [А, В]] =О.
(а) Рассмотрим фуняпию Р(х) е е Имеем "" =(А+ ел»Ва-л!»!) Р(,). г(х Учитывая (а), получим (б) (в) [В, А"] =лА" ' [В, А], следовательно, [В а-л»], ч1ч ( ) . [В Ал] -Ак[В А] х л! л и дифференниальное уравнение (в) принимает вид — = (А+ В + [А, В) х) Р (к). ЛР а» Его решение, при учете (а) и условия Р(0) 1, Р(х) е»р [(А+ В) к]енр ! — [А, В] ха). /! 12 Из (г) при х 1 получаем тождество (32,24) (г) $ а21 пгедстлвленин чисел ВАпОлнения для Осциллятогл 157 элвмвнти нля твояия пкадстлвлвнни ~гл.
ч Из последнего равенства следует, что средняя энергия в ко- герентных состояниях может принимать произвольное значение, так как ~ Из — любое положительное число. Далее, 2мв [(11 + ~) + Следовательно, ((Лх)з)„=(6 ~л' ٠— (р ! х1р)' Щ2та. (32,26) Таким же образом получаем (32,27) С помощью (32,26) и (32,27) находим соотношение неопределенностей для когерентных состояний ((Лх)з)„,„((Ьр,)з)„= йз/4. Как было показано Глаубером [20[, Сударшаном н Мета [21, 221 когерентные состояния очень удобны при квантовомеханическом описании когерентных источников света. Зги состояния также использовались для описания сверхпроводимости и сверхтекучести [23) и для описания фононов в кристаллах [241.
Когерентные состояния 1р) как собственные функции неэрмитового оператора уничтожения фононов не ортогональны друг другу, однако они обладают условием полноты, т. е. произвольное состояние можно разложить по состояниям )р) (подробнее об этом см.
[26, 26[). Весьма интересно, что, в то время как оператор уничтожения имеет собственные функции, у оператора рождения ат таких функций нет. Доказательство этого важного утверждения можно провести от противного. Допустим, что имеет место равенство ат1у) = у! у). ' (32,28) Тогда с помощью собственных функций 1и) осциллятора можно образовать систему уравнений (и 1ат1у) =у(и1у), из которых следует О=у(01у), (32,29) (и — 11у)=у(и1у), если и чьО. (32,30) Если у = О, то нз (32,30) находим, (и [ у) = 0 при всех и.
Если у чь О, то из (32,29) следует (О~у) = О, поэтому равенство (32,30) дает (и1у) = 0 при и = 1, 2, ... Таким .образом, показано, что в (32,28) ~ у) — = О. В заключение покажем, как выражается когерентное состояние осциллятора через матрицу плотности. Для гармонического 4 зя пРедстАВление чисел БАполнення для кОлеБАний АтОИОВ !хр осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре !3 = 'ЛТ, матрица плотности в координатном представлении, согласно (14,13), имеет внд р (х, х') = Х М7„~р„(х) <р„(х'), где ехр ~ — — ") ехр ( — — ) %'— (32,3Ц 1~~ ( Еа 1 — ехр~ — ~ ) о й 33". Представление чисел заполнения для колебаний атомов-в одномерном кристалле Исследование квантовых систем в представлении чисел заполнения часто называют методом вторичного квантования.
В действительности, как увидим ниже, никакого вторичного квантования не происходит и это название следует понимать в условном смысле. Для более полного знакомства с представлением чисел заполнения рассмотрим колебания атомов в одномерном кристалле. Пусть кристалл состоит из одинаковых нейтральных атомов массы их, равновесные положения которых определяются век- тором (33,1) а=иа, и=1, 2, ..., У. Направим ось х вдоль вектора а и обозначим через х„смещение из равновесного положения атома, занимающего узел п. При учете взаимодействия только соседних атомов потенциальная н кинетическая энергии колебаний атомов имеют вид (I а .)'! (Ха — Ха-а) е К аа а ~~ Ха и а (33,2) Следовательно, статистический оператор можно записать в виде Ю р = ~ 1Р'„! а) (и 1.
(32,32) о Чистое состояние !и) осциллятора получается из (32,32) при %', = 6 . Когерентное состояние осцнллятора определяется формулой (32,32), если )Р„ задано распределением Пуассона, т. е. )е„ = йае-а(и1) '. Тогда среднее число фононов в когерентном состоянии (й) = зр (йр) = й. злементАРн»я теОРия пРедстАВлений ~гл. ч где х — скорость смещения. Для упрощения вычислений введем циелические граничные условия Хл = Ха+Фа. (33,3) От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым комплексным обобщенным координатам А» с помощью преобразования х —. лт' А» ехр (1йп), А» — — А' », (33,4) где суммирование выполняется по всем У значениям волнового вектора й= ~~, а, р=О, ~-1, ь2, ..., +1Ч/2. (33,5) Наг Обобщенные координаты характеризуют коллективные колебательные состояния всего кристалла. Учитывая (33,1) и (33,5), находим равенства — ~~)~~ ехр (1л (й — й')) = 6»», — ~)~~ ехр (1й (и — и')) = 6;.
(33,6) характеризующие унитарность преобразования (33,4). Вследствие (33,6) преобразование, обратное к (33,4), имеет вид А»= — ~~~~ х ехр( — 1йи). (33,7) 1~У Проведя преобразование (33,4) в выражениях (33,2), получим классическую функцию Лагранжа 6=К вЂ” 0= — )~~(А»А-» — ИвА»А в~, .
(33,8) где лт(1» =т(1» =4у з)п» вЂ”. йа -» 2 Значение й = 0 соответствует смещению всего кристалла как целого, при этом 11» — — О. Обобщенный импульс Рм соответствующий обобщенной координате Ав, определяется обычным путем: ас ° 1 ъ~ Рв= —.=тА в= — т рлехр((йл). (33,9) дА» - ) Ф где рл = тих — импульс„сопряженный смещению х . Согласно (33„8) и (33,9), энергия колебаний как функция обобщенных координат и импульсов имеет вид Е=К+У= — ~~ ~ — лл+)и()~А„А „~, (33,10) » <в;ви в зя пввдст»влепив чисел з»полнения для колввднии»томов >Ь> Значение й = 0 исключается как не соответствующее колебательному состоянию.
Как известно, переход к квантовому описанию сводится к замене х» и р„операторами, удовлетворяющими йерестановочным соотношениям 1>1», Рв,) = 1ЬЬ»;. (33,11) [А», Р» ) = (ааб»» . (33,12) Ф От операторов А», Р» перейдем к новым операторам Ь», Ь» с помощью равенств А =)/ — >ь .>а,>» а ~ Г' — >а — Ь>. »313) Чтобы выполнялись соотношения (33,12), операторы Ь», Ь» должны уловлетворять перестановочным соотношениям [Ь„ЬЦ=Ь»,ч (Ь>ь Ь )=О. (33,14) Произведя в (33,10) с помощью (88,13) преобразования Ф А», Р»-и А», Р» — Ь», Ь», получим оператор энергии колебаний атомов О=3 ')', и,[Ь~Ь,+Я. (33,15) »< о> То же самое преобразование дает оператор смещения У = ~~)~~ )/ — (Ьа+Ь «)ехр(йи), (33,16) »! вво> Сравнивая (33,15) с (22,5), мы убедимся, что оператор энергии (38,15) представляет собой сумму операторов Гамильтона (й> — 1) независимых гармонических осцилляторов с частотами Й>ь Если ввести числа фононов т» —— О, 1, ..., т.
е. числа заполнений квантовых состояний каждого осциллятора, то в представлении чисел заполнения функции колебательного состояния кристалла имеют вид (33,17) В А, с. давидов Используя (83,7) и (83,9), находим, что при таком преобразова- нии обобщенные координаты А» и импульсы Р» следует заме-' нить операторами, удовлетворяющими перестановочным соотно- шениям [гл. ч ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Операторы Ь», Ь» определены на множестве функций (33,17). Введем краткое обозначение ] т») ! О, О, .
° ., О, т», 0 ..., (у7, тогда действие операторов Ь», Ь» в соответствии с правилами коммутации (33,14) будет определяться правилами Ь»! Т») = )/т»+ 1 ~ т»+ 1), (33,18) Ь»! Т») = Ут» 1 т» — 1). Оператор Ь»а увеличивает, а оператор Ь» уменьшает число фоно- нов т» на единицу. С помощью (33,18) находим уравнение Ь»Ь» 1 т») = т» 1 т»), из которого следует, что ~ункции 1т») являются собственными функциямн оператора Ь»Ь», соответствующими собственным значениям т».
Поэтому оператор Ь»Ь» можно назвать операто- ром числа фононов типа й. Основное состояние кристалла (все т» = О) описывается функцией ~0). В этом состоянии энергия кристалла (нулевая энергия) Е» (0!Н 1О) = е ~~~ Ж». (33,19) Функция 1т») состояния с т» фононами с волновым вектором й может быть получена путем последовательного применения оператора рождения фононов Ь» к функции нулевого (ват куумного) состояния ~0) ! Т») =(т»!) *(Ь») !О).
В состоянии 1т») энергия кристалла Е„» = Е»+ т»311». (33,20) В том же состоянии среднее смещение и-го атома (т»~х ~т») равно нулю, а среднее значение квадрата смещения не зависит от номера атома Ьт» Ь » ~,»э ГЛАВА рр1 двИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ 6 ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ $34. Общие особенности движения частицы в поле сферической симметрии Стационарные состояния частицы, движущейся в сферически симметричном поле, описываются уравнением Шредингера с опе- ратором Гамильтона И= — — 2"„Ч'+и(), =тра'.рр'+г — р * р нр . г симметрию поля, решение уравнения Шредингера следует искать в сферической системе координат.
Используя результаты $16, можно написать и = — — г — ~г' — ) — — + У(г), «р д 2 д «рл 2вг дг 1 дг ) 2вгг (34,2) где оператор Л определен (16,18). Из (34,2) следует, что оператор квадрата углового момента Х2 = — АвЛ (34,3) и оператор проекции момента на произвольно направленную ось я (34,4) коммутируют с Н. Следовательно, системы, описываемые оператором Гамильтона (34,2), могут находиться в стационарных состояниях с определенной энергией, определенным значением квадрата углового момента и определенным значением проекции углового момента.
Волновые функции этих состояний являются одновременно собственными функциями всех трех вышеперечисленных операторов. Временная зависимость волновых функций стационарных состояний характеризуется множителем 1Е ехр( — — 1), где Š— энергия системы. Поэтому мы будем далее а интересоваться только зависимостью волновых функций отг,б,ф. Зависимость волновых функций от углов 6, рр целиком определяется значениями Тз и Е„так как эти функции должны [64 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
